Алгебраические целые числа. Поля

Если $\alpha$ — целое, то и $\sqrt{\alpha }$ — целое.

Если $r$ и $s$ — рациональные числа и $r+s \sqrt{-1}$ — целое, то $r$ и $s$ должны быть целыми рациональными.

Если $r$ и $s$ — рациональные числа и $r+s \sqrt{-5}$ — целое, то $r$ и $s$ должно быть целыми рациональными.

Если $r$ и $s$ — рациональные числа и $r+s \sqrt{-3}$ — целое, то $2 r$ и $2 s$ должны быть целыми рациональными и $2 r \equiv 2 s(\bmod 2)$; однако сами $r$ и $s$ могут и не быть целыми.

Если числа $\vartheta /\pi$ и $\cos \vartheta$ оба рациональны, то $\cos \vartheta$ должно иметь одно из следующих пяти значений:

Рассмотрим внутренний угол между двумя смежными гранями правильного многогранника и обозначим его через

в зависимости от того, будет ли этот многогранник тетра-, гекса-, окта-, додека- или икосаэдром (гексаэдр — это куб). Показать, что отношения

иррациональны.

Числа $\alpha_1,\alpha_2,\ldots ,\alpha_m$ называются линейно зависимыми, если существуют целые рациональные числа $a_1,a_2,\ldots ,a_m$, не все равные нулю, такие, что $a_1\alpha_1+a_2\alpha_2+\cdots +a_m\alpha_m=0$. Если соотношения такого рода не существует, то $\alpha_1,\alpha_2,\ldots ,\alpha_m$ называются линейно независимыми. Таким образом, если $\beta \neq 0$, то числа $\alpha$ и $\beta$ линейно зависимы или независимы в зависимости от того, рационально или иррационально отношение $\alpha /\beta$. Число $\alpha$ является алгебраическим, если существует такое $n$ (целое положительное рациональное число), что $1,\alpha ,\alpha^2,\ldots ,\alpha^n$ линейно зависимы.

Числа (углы) $T,H$ и $O$ линейно зависимы; в самом деле,

(см. 197.2; это может быть доказано и средствами элементарной геометрии). Тем не менее $T$ и $O$ линейно независимы.

(Продолжение.) Показать, что $T,H,D$ и $I$ линейно независимы. Точно так же линейно независимы $H,O,D$ и $I$, а всякое линейное однородное соотношение с рациональными коэффициентами между $T,H,O,D$ и $I$ может отличаться от приведенного в 197.3 лишь тривиально (т. е. лишь числовым множителем).

Если числа $\vartheta /\pi$ и $\tan^2\vartheta$ оба рациональны, то $\tan^2\vartheta$ должно иметь одно из следующих пяти значений (причем $\infty =1/0$ считается «рациональным»):

За исключением четырех случаев $n=1,2,4$ и 8, число $\tan 2\pi /n$ иррационально при всех целых положительных рациональных $n$.

Существует лишь ограниченное количество целых чисел заданной степени $n$, содержащихся вместе со всеми своими сопряженными в фиксированном круге $\left|z\right|<k$ комплексной числовой плоскости.

Единственным целым числом, содержащимся вместе со всеми своими сопряженными в открытом единичном круге, является нуль.

Пусть все нули полинома с целыми рациональными коэффициентами и старшим коэффициентом 1 лежат в замкнутом единичном круге. Один из этих нулей должен лежать либо в центре, либо на периферии единичного круга; в последнем случае он является корнем из единицы.

Если целое число $\alpha$ со всеми своими сопряженными вещественно и по модулю меньше 2, то $\alpha =2 \cos \frac{2 \pi p}{q}$, где $p$ и $q$ — целые рациональные числа.

Иррациональные целые числа

порождают три различных мнимо-квадратичных поля, в которых целые числа имеют соответственно вид

где $a, b$ — целые рациональные числа.

Множество $\mathfrak {M}$ комплексных (в частности, вещественных) чисел называется «дискретной областью целости», если оно обладает следующими двумя свойствами:

1. Если $\zeta^{\prime }$ и $\zeta^{\prime \prime }$ принадлежат множеству $\mathfrak {M}$, то и $\zeta^{\prime }+\zeta^{\prime \prime }, \zeta^{\prime }-\zeta^{\prime \prime }, \zeta^{\prime } \zeta^{\prime \prime }$ принадлежат этому множеству.

2. Точка 0 не является предельной точкой множества $\mathfrak {M}$ (согласно свойству 1) сама точка $0=\zeta^{\prime }-\zeta^{\prime }$ принадлежит множеству $\mathfrak {M}$). Дискретная область целости состоит либо из всех, либо из части целых чисел некоторого мнимого квадратичного числового поля (например, лишь из чисел $0, \pm 6, \pm 12, \pm 18, \ldots$ или даже из одного единственного числа 0).