Наибольший общий делитель

Если бы мы согласились называть «целыми числами» не любые целые алгебраические числа, а лишь те, которые принадлежат полю, порождаемому числом $\sqrt{-5}$, то числа 3 и $1+2 \sqrt{-5}$ совсем не имели бы в смысле приведенного выше определения наибольшего общего делителя, т. е. в поле, порождаемом числом $\sqrt{-5}$ (и содержащем 3 и $1+2 \sqrt{-5}$), невозможно найти такие пять целых чисел $\alpha , \beta , \gamma , \delta , \vartheta$, которые удовлетворяли бы уравнениям

Квадраты $3^{2}=9$ и $(1+2 \sqrt{-5})^{2}=-19+4 \sqrt{-5}$ обладают наибольшим общим делителем даже при ограничении понятия целого числа, принятом в задаче 204.

Найти (не лежащий в поле, порожденном числом $\sqrt{-5}$) наибольший общий делитель чисел 3 и $1+2 \sqrt{-5}$.

Наибольший общий делитель $\vartheta$ чисел $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{m}$ делится на любой общий делитель этих чисел.

Если $\vartheta$ и $\vartheta^{\prime }$ — два различных наибольших общих делителя чисел $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{m}$, то частное $\frac{\vartheta^{\prime }}{\vartheta }$ является единицей.

Если $\vartheta$ — наибольший общий делитель чисел $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{m}$, то $\gamma \vartheta$ является наибольшим общим делителем чисел $\gamma \alpha_{1}, \gamma \alpha_{2}, \ldots , \gamma \alpha_{m}$.

Если $\alpha$ взаимно простое с $\beta \gamma$, то оно взаимно простое как с $\beta$, так и с $\gamma$.

Если $\alpha$ взаимно простое как с $\beta$, так и с $\gamma$, то оно взаимно простое и с $\beta \gamma$.

Если $\alpha$ и $\beta$ — взаимно простые, то наибольший общий делитель чисел $\alpha$ и $\gamma$ будет также наибольшим общим делителем чисел $\alpha$ и $\beta \gamma$.

Если $\delta$ — наибольший общий делитель чисел $\alpha$ и $\beta$, то $\delta^{n}$ является наибольшим общим делителем $\alpha^{n}$ и $\beta^{n}$ при любом $n=1,2,3, \ldots$

Если $\delta$ — наибольший общий делитель чисел $\alpha$ и $\beta$, то $\sqrt[n]{\delta }(n=1,2,3, \ldots )$ является наибольшим общим делителем чисел $\sqrt[n]{\alpha }$ и $\sqrt[n]{\beta }$.

Если $m$ чисел $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{m}$ — попарно взаимно простые и $\mu =\alpha_{1} \alpha_{2} \ldots \alpha_{m}$, то 1 является наибольшим общим делителем $m$ чисел $\frac{\mu }{\alpha_{1}}, \frac{\mu }{\alpha_{2}}, \ldots , \frac{\mu }{\alpha_{m}}$.

Всякое целое число $\alpha \neq 0$ взаимно просто со всеми рациональными простыми числами, за исключением конечного их числа.

Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ — нули полинома

где $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n-1}, a_{n}$ — целые рациональные числа. Тогда $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ обладают наибольшим общим делителем $\delta$ и притом $\delta =\sqrt[N]{d}$, где $N=n!$ и $d$ — наибольший общий делитель чисел

Если $\alpha$ и $\beta$ принадлежат $K$ и $\alpha$ — делитель $\beta$, то $N(\alpha )$ есть делитель $N(\beta )$.

Пусть поле $K$ обладает тем свойством, что вместе с любыми двумя целыми числами $\alpha$ и $\beta$ оно содержит и их наибольший общий делитель в том смысле, что в $K$ имеются пять целых чисел $\alpha^{\prime }, \beta^{\prime }, \gamma , \delta , \vartheta$, которые удовлетворяют равенствам

(Это имеет место не всегда! См. 204.) Показать, что для этого необходимо и достаточно выполнение следующего требования: если $\alpha$ и $\beta$ — два целых числа поля $K$, не делящихся одно на другое, то в этом поле существуют два таких целых числа $\xi$ и $\eta$, что одновременно

Любые два целых числа поля, порожденного числом $\sqrt{-1}$, обладают наибольшим общим делителем, принадлежащим этому же полю.