Сравнения

Отношение сравнимости между двумя целыми алгебраическими числами по некоторому целому алгебраическому модулю коммутативно и транзитивно, т. е.

Из

следует

Если $\alpha$ и $\mu$ — взаимно простые и $\mu$ не является единицей, то

Пусть $\alpha , \beta , \ldots$ — целые числа, $f(x, y, \ldots )$ — полином с целыми рациональными коэффициентами и $p$ — рациональное простое число. Тогда

Пусть

($\alpha_{k} \neq 0$, $\omega_{k} \neq 0$, $\omega_{k} \neq \omega_{l}$ при $k \neq l$, $k, l=1,2,3, \ldots , m$) — целые числа. Тогда не все числа

могут быть целыми.

Нули полинома деления круга $K_{m}(x)$ [36] являются также нулями полинома $x^{m}-1$, т. е. целыми числами. Они равны $\alpha^{r_{1}}, \alpha^{r_{2}}, \ldots , \alpha^{r_{h}}$, где положено $e^{\frac{2 \pi i}{m}}=\alpha$, $\varphi (m)=h$ и $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{h}$ образуют приведенную систему вычетов по модулю $m$, т. е. $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{h}$ — целые рациональные числа, взаимно простые с $m$ и попарно несравнимые по модулю $m$.

Является ли полином $K_{m}(x)$ приводимым или же неприводимым?

Доказать неприводимость полинома $K_{m}(x)$, не опираясь на теорему Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии. Эту теорему можно обойти при помощи, правда, более громоздкого, но зато и более элементарного построения приведенной системы вычетов по модулю $m$.

Если целые рациональные числа $m$ и $n$ взаимно просты и $n\geq 3$, то $2\cos (2\pi m/n)$ есть целое алгебраическое число степени $\varphi (n)/2$.

(Продолжение.) Вывести отсюда 197.1 [38.1].