Разные задачи

Если функция $f(z)$ в полосе $0 \leqslant \mathrm{Re}\left(z\right) \leqslant \pi$ регулярна, однозначна и ограничена и обращается в этой полосе в нуль в точках $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, \ldots$ $\left(z_{n}=x_{n}+i y_{n}\right)$, то либо ряд с положительными членами

сходится, либо $f(z) \equiv 0$.

Пусть коэффициент $f_{1}(z)$ однородного линейного дифференциального уравнения

является целой функцией. Для того чтобы и общий интеграл этого уравнения был целой функцией, необходимо и достаточно, чтобы целыми функциями были все остальные коэффициенты $f_{2}(z)$, $f_{3}(z), \ldots , f_{n}(z)$.

Пусть функция $w=\varphi (z)$ регулярна (возможно многозначна) в кольцевой области $0<\left|z\right|<\rho$, $\rho >0$, и удовлетворяет в ней тождественно уравнению вида

где $F_{0}(z), F_{1}(z), \ldots , F_{l-1}(z), F_{l}(z)$ регулярны в некоторой окрестности точки $z=0$. Если существует степенной ряд $c_{0}+c_{1} z+\ldots$ такой, что функция $\left(\varphi (z)-c_{0}-c_{1} z-c_{2} z^{2}-\ldots -c_{n-1} z^{n-1}\right) z^{-n}$ ограничена в окрестности точки $z=0$ для бесчисленного множества значений $n$, то $\varphi (z)$ регулярна в окрестности точки $z=0$ и $\varphi (z)=c_{0}+c_{1} z+c_{2} z^{2}+\ldots +c_{n} z^{n}+\ldots$

Пусть функция $f(z)$ регулярна и однозначна в области $R \leqslant \left|z\right|<\infty$, $R>0$. Тогда существуют такие целое число $p \geqslant 0$, целая функция $G(z)$ и сходящийся при $\left|z\right| \geqslant R$ степенной ряд

что

При одновременной замене как в предположении, так и в утверждении неравенства $R \leqslant \left|z\right|<\infty$ на $R<\left|z\right|<\infty$ теорема становится уже неверной.

Пусть $f(z)=f(x+i y)$ — мероморфная периодическая функция с периодом $2 \pi$, имеющая в полосе $0 \leqslant \mathrm{Re}\left(z\right)<2 \pi$ лишь конечное число нулей и полюсов. Обозначим через $M(y)$ максимум и через $\mu (y)$ — минимум модуля $f(x+i y)$ для $0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$. Если

то $f(z)$ наверное является рациональной функцией от $e^{i z}$.

Пусть $f(z)$ — аналитическая функция, $z=x+i y$, и квадрат ее модуля

является алгебраической функцией от вещественных переменных $x$ и $y$. Тогда $f(z)$ сама является алгебраической функцией от $z$.

Не существует аналитической функции, регулярной вдоль вещественной оси и принимающей для вещественных значений переменного все значения внутри фиксированного круга. Короче: не существует «аналитической кривой Пеано».

Исследовать, существует ли $n+1$ аналитических функций $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z), f(z)$, отличающихся друг от друга не просто на постоянные множители, регулярных в некоторой области $\mathfrak {B}$ и связанных в ней соотношением

Исследовать, существуют ли две аналитические функции $f(z)$ и $g(z)$, не тождественно постоянные, регулярные в некоторой области $\mathfrak {B}$ и связанные в ней соотношением

Поверхность модуля (см. том I, стр. 130) целой функции $g(z)$ всюду выпукла снизу только в двух случаях: либо когда

либо когда

где $a$ и $b$ — произвольные комплексные числа, а $n$ — неотрицательное целое число.

Поверхность модуля (см. том I, стр. 130) целой функции $g(z)$ всюду выпукла снизу только в двух случаях: либо когда

либо когда

где $a$ и $b$ — произвольные комплексные числа, а $n$ — неотрицательное целое число.

Говорят, что $f(z)$ и $g(z)$ имеют одинаковые $a$-точки, если функции

обе одновременно являются целыми.

Найти две различные целые функции, обладающие одинаковыми $a$-, $b$- и $c$-точками. (При этом, конечно, предполагается, что $b \neq c$, $c \neq a$, $a \neq b$.)

Существует ли целая функция $G(z)$, удовлетворяющая условиям

где последовательность $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ задана произвольно? (По поводу аналогичной интерполяционной задачи для полиномов см. VI 75, VI 76.)

Даны числа

при $n=1,2,3,\ldots$, подчиненные условиям:

$m_{n}$ — целое положительное число, тогда как на $w_{n,k}$ никаких ограничений не налагается.

Тогда существует целая функция такая, что

при $n=0,1,2,\ldots$, $0\leqslant k<m_{n}$.

Даны числа

при $n=1,2,3,\ldots$, подчиненные условиям:

$m_{n}$ — целое положительное число, тогда как на $w_{n,k}$ никаких ограничений не налагается.

Тогда существует целая функция такая, что

при $n=0,1,2,\ldots$, $0\leqslant k<m_{n}$.

Пусть $F(z)$ и $G(z)$ — целые функции, не имеющие общих нулей. Тогда существуют две целые функции $f(z)$ и $g(z)$ такие, что

Пусть $F(z)$ и $G(z)$ — целые функции, не имеющие общих нулей. Тогда существуют две целые функции $f(z)$ и $g(z)$ такие, что

Пусть $f(z)=a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots$ регулярна в круге $\left|z\right|<R$. Положим $\mathfrak {M}(r)=\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right| r+\left|a_{2}\right| r^{2}+\ldots +\left|a_{n}\right| r^{n}+\ldots$ Тогда

(Продолжение.) Пусть $\mathfrak {M}_{n}(r)$ имеет то же значение для $[f(z)]^{n}$, какое $\mathfrak {M}(r)$ имеет для $f(z)$ $(n=1,2,3, \ldots )$. Тогда

Получить с помощью II 123 новое доказательство теоремы Адамара о трех кругах [III 304].

Доказать следующее обобщение теоремы 160. Пусть $\omega_{n}$ имеет то же значение, что и в задаче 157; тогда в предположениях теоремы 160 имеет место оценка

Пусть теорема С. Н. Бернштейна о тригонометрических полиномах [VI 82] известна в следующей неточной форме: существует такая абсолютная постоянная $K$, $K>0$, что для тригонометрического полинома $n$-го порядка $\varphi (\vartheta )$, не превосходящего по модулю единицы, выполняется неравенство

Как от этой оценки перейти к точной оценке

Существуют целые функции, возрастающие с произвольно большой скоростью, когда $z \rightarrow \infty$ вдоль некоторого луча. Точнее говоря, какова бы ни была функция $\varphi (x)$, положительная и монотонно возрастающая при $x \geqslant 0$, всегда найдется целая функция $g(z)$, принимающая вещественные значения при вещественных $z$ и удовлетворяющая при $x \geqslant 0$ неравенству $g(x)>\varphi (x)$. (III 290.)

Существуют целые функции, которые при $z \rightarrow \infty$ вдоль положительной вещественной оси стремятся к нулю, а вдоль всех остальных лучей, исходящих из начала, — к бесконечности. Может ли вести себя так целая рациональная функция?

Существуют целые трансцендентные функции, стремящиеся к бесконечности вдоль всех лучей, исходящих из начала. Может ли это стремление к бесконечности быть равномерным?

Существуют целые функции, которые вдоль вещественной положительной оси принимают вещественные значения и стремятся к $+\infty$, а вдоль всех остальных лучей, исходящих из начала, стремятся к нулю. Может ли вести себя так целая функция конечного порядка?

Существуют целые функции $\not\equiv 0$, которые стремятся к нулю вдоль всех лучей, исходящих из начала.

Существуют целые функции, которые вдоль лучей, выходящих из начала в верхнюю (открытую) полуплоскость, стремятся к $+1$, а вдоль лучей, выходящих из начала в нижнюю (открытую) полуплоскость, стремятся к $-1$. Более того, сходимость равномерна в каждом угле $\varepsilon <\arg z<\pi -\varepsilon$, соотв. $-\pi +\varepsilon <\arg z<-\varepsilon$, $\varepsilon >0$.

Пусть плоскость разбита $n$ лучами, выходящими из нулевой точки, на $n$ углов. Существует целая функция, которая в каждом из этих углов (с тем же уточнением, что и в 185) стремится соответственно к $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$, где $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ — произвольно заданные комплексные числа.

Разобьем каким-нибудь образом лучи, выходящие из нулевой точки, на две категории. Существует ли для каждого такого разбиения целая функция, которая вдоль лучей первой категории стремится к нулю, а вдоль лучей второй — к бесконечности?

$0$ и $\infty$ являются единственными асимптотическими значениями функции $e^{z}$.

$\sqrt{\frac{\pi }{2}},-\sqrt{\frac{\pi }{2}}$ и $\infty$ являются единственными асимптотическими значениями функции $\int_{0}^{z} e^{-\frac{x^{2}}{2}} d x$.

Целая функция порядка $n$ ($n$ — целое положительное)

имеет в точности $2 n$ различных конечных асимптотических значений.

Пусть последовательность положительных чисел $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{m}, \ldots$ выбрана так, чтобы ряд

равномерно сходился в каждой конечной области плоскости $z$ и представлял, таким образом, некоторую целую функцию $g(z)$.

Показать, что множество асимптотических значений определенной так целой функции $g(z)$ имеет мощность континуума. Точнее: все значения вида

являются асимптотическими.

Если целая функция стремится вдоль $n$ лучей, выходящих из начала, к $n$ различным конечным пределам, то ее порядок больше или равен $\frac{n}{2}$.

$\infty$ является асимптотическим значением для каждой целой не тождественно постоянной функции.

Комплексное число $a$ называется исключительным значением (в смысле Пикара) целой функции $g(z)$, если функция $g(z)-a$ имеет только конечное число нулей. Показать, что если исключительное значение существует, то оно является асимптотическим значением функции.

Пусть функция $f(z)$ неограниченно продолжаема в круговом кольце $0<\left|z\right|<1$. Если при этом $f(z)$ и все ее производные $f^{\prime }(z), f^{\prime \prime }(z), \ldots$ остаются ограниченными, то $f(z)$ однозначна в указанной области и регулярна в точке $z=0$.

Пусть $g(z)$ — целая функция рода $0$ и $\varepsilon$ — наперед заданное положительное число. Показать, что на всех окружностях с достаточно большими радиусами

и на некоторых окружностях с произвольно большими радиусами

Пусть $M(r)$ — максимум и $m(r)$ — минимум модуля целой функции на окружности $\left|z\right|=r$. Если

и $\lambda <\frac{1}{2}$, то тогда также

Пусть $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \ldots , \lambda_{n}, \ldots$ — положительные числа и ряд

расходится. Если функция $h(t)$, собственно интегрируемая в интервале $0 \leqslant t \leqslant 1$, удовлетворяет условию

то $h(t)=0$ во всякой точке непрерывности $t$. (Обобщение теоремы II 139.)

Пусть $g(z)$ — целая трансцендентная функция порядка $\lambda <\frac{1}{2}$ с коэффициентами, отличными от нуля, и простыми нулями $w_{1}, w_{2}, \ldots , w_{n}, \ldots$ \left(w_{k} \neq w_{l}, если k \neq l\right). Если функция $h(t)$, собственно интегрируемая в интервале $0 \leqslant t \leqslant 1$, удовлетворяет условию

то $h(t)=0$ во всякой точке непрерывности $t$.

Пусть $g(z)$ — целая трансцендентная функция рода $0$, имеющая лишь вещественные и простые нули $w_{1}, w_{2}, w_{3}, \ldots , w_{n}, \ldots$ Если функция $h(t)$, собственно интегрируемая в интервале $0 \leqslant t \leqslant 1$, удовлетворяет условию

то $h(t)=0$ во всякой точке непрерывности $t$.

Положим

и пусть существуют две такие положительные постоянные $\rho$ и $M$, что

1. последовательность $a_{0}, a_{1} \rho^{-1}, a_{2} \rho^{-2}, \ldots , a_{n} \rho^{-n}, \ldots$ остается ограниченной и

2. $\left|F(z)\right| \leqslant M$ при всех вещественных значениях $z$. Тогда для всех вещественных значений $z$ имеет место также неравенство

причем равенство достигается лишь для $F(z)=A \cos \rho z+B \sin \rho z$, где $A$ и $B$ — постоянные. (Обобщение теоремы VI 82.)

(Продолжение.) Пусть $d$ — расстояние точки $z$ от вещественной оси ($d=\left|\mathrm{Im}\left(z\right)\right|$). Показать, что

(Аналог теоремы III 270.)

Пусть целая функция $G(z)$ удовлетворяет тем же условиям, что и функция $F(z)$ в 201, и, кроме того, является нечетной: $G(-z)=-G(z)$. Тогда при вещественных $z$

Равенство может достигаться лишь для функции $G(z)=c M \sin \rho z$, $\left|c\right|=1$, и при $z=0$. (Аналог теоремы VI 81.)

(Продолжение.) Вывести 201 из 203.

Пусть целая функция $f(z)$ порядка $\lambda$, $\lambda \geqslant \frac{1}{2}$, ограничена вдоль положительной вещественной оси. Тогда для всякого положительного $\varepsilon$ при $x$, стремящемся к $+\infty$ по положительным значениям, имеем

Предположим, что последовательность комплексных чисел $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{k}, \ldots$ обладает следующими тремя свойствами:

1. Ряды

   $$\sum _{k=1}^{\infty } z_{k}, \qquad \sum _{k=1}^{\infty } z_{k}^{2}, \qquad \ldots , \qquad \sum _{k=1}^{\infty } z_{k}^{n}$$

   сходятся.

2. $\left|z_{1}\right| \geqslant \left|z_{2}\right| \geqslant \cdots \geqslant \left|z_{k}\right| \geqslant \cdots$.

3. Существуют два вещественных числа $\alpha$ и $\beta$ такие, что

   $$0 < \beta -\alpha < \frac{2\pi n}{n+1}, \qquad \alpha \leqslant \arg z_{k} \leqslant \beta , \qquad \text{при } k=1,2,3,\ldots .$$

Тогда ряд $\left|z_{1}\right|^{n}+\left|z_{2}\right|^{n}+\cdots +\left|z_{k}\right|^{n}+\cdots$ сходится.

Заключение остается в силе и при более широком предположении: ряды, перечисленные в (1), могут и не сходиться, достаточно предположить ограниченность их частных сумм. Однако заключение становится неверным, если отбросить предположение (2) или потребовать меньше, чем первая часть условия (3), а именно

Функции $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z)$; $g_{1}(z), g_{2}(z), \ldots , g_{n}(z)$ регулярны и аналитичны в некоторой области плоскости $z$, где

Если $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z)$ линейно независимы, то и $g_{1}(z), g_{2}(z), \ldots , g_{n}(z)$ линейно независимы, причем

при $\nu =1,2,\ldots ,n$; постоянные $c_{\nu \lambda }$ образуют унитарную матрицу.

Рассмотрим приближение целой функции $g(z)$ полиномами. Определим целое число

(называемое степенью приближения функции $g(z)$ на окружности $\left|z\right|=r$ с точностью $\alpha$) как степень полинома $P(z)$ наименьшей возможной степени, для которого

($r>0$, $\alpha >1$). Тогда

где при вычислении первого предела $r$ остается фиксированным, а при вычислении второго предела фиксированным остается $\alpha$; $\rho$ — порядок функции $g(z)$.

Пусть $g(z)$ — целая функция, рост которой не превосходит минимального типа порядка $1$; это означает, что $g(z)e^{-\varepsilon \left|z\right|}$ остается ограниченной во всей плоскости $z$, каково бы ни было фиксированное положительное число $\varepsilon$. Предположим, что последовательность

ограничена. Тогда $g(z)$ сводится к постоянной.

Рассмотрим квадратные матрицы с $n$ строками и $n$ столбцами и будем обозначать такие матрицы прописными буквами. Пусть

— целая функция, а $Z$ — матрица. Тогда ряд

сходится к вполне определенной матрице.

При каких условиях для данной матрицы $A$ существует матрица $Z$ такая, что

Пусть $f(z)$ — однозначная аналитическая функция, регулярная всюду, включая точку $z=\infty$, за исключением точки $z=1$. В окрестности точки $z=0$ она имеет разложение

а в окрестности точки $z=\infty$ — разложение

Если существует постоянная $k$ такая, что обе величины $a_{n}n^{-k}$ и $b_{n}n^{-k}$ ограничены ($n=1,2,3,\ldots$), то $f(z)$ — рациональная функция.

Пусть числа $a, b, m_{1}, m_{2}, m_{3}, \ldots$ вещественны и удовлетворяют условиям

Пусть, далее, $f(x)$ непрерывна в интервале $[a,b]$. Тогда из равенств

при $n=1,2,3,\ldots$ следует, что $f(x)$ тождественно равна нулю. (Часть всей системы функций Фурье замкнута на соответствующей части всего интервала.)