Дальнейшие применения метода Фрагмена—Линделёфа

Пусть функция $f(z)$ неограниченно продолжаема в круговом кольце $0<\left|z\right|<1$. Если при этом $f(z)$ и все ее производные $f^{\prime }(z), f^{\prime \prime }(z), \ldots$ остаются ограниченными, то $f(z)$ однозначна в указанной области и регулярна в точке $z=0$.

Пусть $g(z)$ — целая функция рода $0$ и $\varepsilon$ — наперед заданное положительное число. Показать, что на всех окружностях с достаточно большими радиусами

и на некоторых окружностях с произвольно большими радиусами

Пусть $M(r)$ — максимум и $m(r)$ — минимум модуля целой функции на окружности $\left|z\right|=r$. Если

и $\lambda <\frac{1}{2}$, то тогда также

Пусть $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}, \ldots , \lambda_{n}, \ldots$ — положительные числа и ряд

расходится. Если функция $h(t)$, собственно интегрируемая в интервале $0 \leqslant t \leqslant 1$, удовлетворяет условию

то $h(t)=0$ во всякой точке непрерывности $t$. (Обобщение теоремы II 139.)

Пусть $g(z)$ — целая трансцендентная функция порядка $\lambda <\frac{1}{2}$ с коэффициентами, отличными от нуля, и простыми нулями $w_{1}, w_{2}, \ldots , w_{n}, \ldots$ \left(w_{k} \neq w_{l}, если k \neq l\right). Если функция $h(t)$, собственно интегрируемая в интервале $0 \leqslant t \leqslant 1$, удовлетворяет условию

то $h(t)=0$ во всякой точке непрерывности $t$.

Пусть $g(z)$ — целая трансцендентная функция рода $0$, имеющая лишь вещественные и простые нули $w_{1}, w_{2}, w_{3}, \ldots , w_{n}, \ldots$ Если функция $h(t)$, собственно интегрируемая в интервале $0 \leqslant t \leqslant 1$, удовлетворяет условию

то $h(t)=0$ во всякой точке непрерывности $t$.

Положим

и пусть существуют две такие положительные постоянные $\rho$ и $M$, что

1. последовательность $a_{0}, a_{1} \rho^{-1}, a_{2} \rho^{-2}, \ldots , a_{n} \rho^{-n}, \ldots$ остается ограниченной и

2. $\left|F(z)\right| \leqslant M$ при всех вещественных значениях $z$. Тогда для всех вещественных значений $z$ имеет место также неравенство

причем равенство достигается лишь для $F(z)=A \cos \rho z+B \sin \rho z$, где $A$ и $B$ — постоянные. (Обобщение теоремы VI 82.)

(Продолжение.) Пусть $d$ — расстояние точки $z$ от вещественной оси ($d=\left|\mathrm{Im}\left(z\right)\right|$). Показать, что

(Аналог теоремы III 270.)

Пусть целая функция $G(z)$ удовлетворяет тем же условиям, что и функция $F(z)$ в 201, и, кроме того, является нечетной: $G(-z)=-G(z)$. Тогда при вещественных $z$

Равенство может достигаться лишь для функции $G(z)=c M \sin \rho z$, $\left|c\right|=1$, и при $z=0$. (Аналог теоремы VI 81.)

(Продолжение.) Вывести 201 из 203.

Пусть целая функция $f(z)$ порядка $\lambda$, $\lambda \geqslant \frac{1}{2}$, ограничена вдоль положительной вещественной оси. Тогда для всякого положительного $\varepsilon$ при $x$, стремящемся к $+\infty$ по положительным значениям, имеем