Различные предложения

Если функция $f(z)$ в полосе $0 \leqslant \mathrm{Re}\left(z\right) \leqslant \pi$ регулярна, однозначна и ограничена и обращается в этой полосе в нуль в точках $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, \ldots$ $\left(z_{n}=x_{n}+i y_{n}\right)$, то либо ряд с положительными членами

сходится, либо $f(z) \equiv 0$.

Пусть коэффициент $f_{1}(z)$ однородного линейного дифференциального уравнения

является целой функцией. Для того чтобы и общий интеграл этого уравнения был целой функцией, необходимо и достаточно, чтобы целыми функциями были все остальные коэффициенты $f_{2}(z)$, $f_{3}(z), \ldots , f_{n}(z)$.

Пусть функция $w=\varphi (z)$ регулярна (возможно многозначна) в кольцевой области $0<\left|z\right|<\rho$, $\rho >0$, и удовлетворяет в ней тождественно уравнению вида

где $F_{0}(z), F_{1}(z), \ldots , F_{l-1}(z), F_{l}(z)$ регулярны в некоторой окрестности точки $z=0$. Если существует степенной ряд $c_{0}+c_{1} z+\ldots$ такой, что функция $\left(\varphi (z)-c_{0}-c_{1} z-c_{2} z^{2}-\ldots -c_{n-1} z^{n-1}\right) z^{-n}$ ограничена в окрестности точки $z=0$ для бесчисленного множества значений $n$, то $\varphi (z)$ регулярна в окрестности точки $z=0$ и $\varphi (z)=c_{0}+c_{1} z+c_{2} z^{2}+\ldots +c_{n} z^{n}+\ldots$

Пусть функция $f(z)$ регулярна и однозначна в области $R \leqslant \left|z\right|<\infty$, $R>0$. Тогда существуют такие целое число $p \geqslant 0$, целая функция $G(z)$ и сходящийся при $\left|z\right| \geqslant R$ степенной ряд

что

При одновременной замене как в предположении, так и в утверждении неравенства $R \leqslant \left|z\right|<\infty$ на $R<\left|z\right|<\infty$ теорема становится уже неверной.

Пусть $f(z)=f(x+i y)$ — мероморфная периодическая функция с периодом $2 \pi$, имеющая в полосе $0 \leqslant \mathrm{Re}\left(z\right)<2 \pi$ лишь конечное число нулей и полюсов. Обозначим через $M(y)$ максимум и через $\mu (y)$ — минимум модуля $f(x+i y)$ для $0 \leqslant x \leqslant 2 \pi$. Если

то $f(z)$ наверное является рациональной функцией от $e^{i z}$.

Пусть $f(z)$ — аналитическая функция, $z=x+i y$, и квадрат ее модуля

является алгебраической функцией от вещественных переменных $x$ и $y$. Тогда $f(z)$ сама является алгебраической функцией от $z$.

Не существует аналитической функции, регулярной вдоль вещественной оси и принимающей для вещественных значений переменного все значения внутри фиксированного круга. Короче: не существует «аналитической кривой Пеано».

Исследовать, существует ли $n+1$ аналитических функций $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z), f(z)$, отличающихся друг от друга не просто на постоянные множители, регулярных в некоторой области $\mathfrak {B}$ и связанных в ней соотношением

Исследовать, существуют ли две аналитические функции $f(z)$ и $g(z)$, не тождественно постоянные, регулярные в некоторой области $\mathfrak {B}$ и связанные в ней соотношением

Поверхность модуля (см. том I, стр. 130) целой функции $g(z)$ всюду выпукла снизу только в двух случаях: либо когда

либо когда

где $a$ и $b$ — произвольные комплексные числа, а $n$ — неотрицательное целое число.

Говорят, что $f(z)$ и $g(z)$ имеют одинаковые $a$-точки, если функции

обе одновременно являются целыми.

Найти две различные целые функции, обладающие одинаковыми $a$-, $b$- и $c$-точками. (При этом, конечно, предполагается, что $b \neq c$, $c \neq a$, $a \neq b$.)

Существует ли целая функция $G(z)$, удовлетворяющая условиям

где последовательность $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ задана произвольно? (По поводу аналогичной интерполяционной задачи для полиномов см. VI 75, VI 76.)

Даны числа

при $n=1,2,3,\ldots$, подчиненные условиям:

$m_{n}$ — целое положительное число, тогда как на $w_{n,k}$ никаких ограничений не налагается.

Тогда существует целая функция такая, что

при $n=0,1,2,\ldots$, $0\leqslant k<m_{n}$.

Пусть $F(z)$ и $G(z)$ — целые функции, не имеющие общих нулей. Тогда существуют две целые функции $f(z)$ и $g(z)$ такие, что