Дополнительные задачи

Предположим, что последовательность комплексных чисел $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{k}, \ldots$ обладает следующими тремя свойствами:

1. Ряды

   $$\sum _{k=1}^{\infty } z_{k}, \qquad \sum _{k=1}^{\infty } z_{k}^{2}, \qquad \ldots , \qquad \sum _{k=1}^{\infty } z_{k}^{n}$$

   сходятся.

2. $\left|z_{1}\right| \geqslant \left|z_{2}\right| \geqslant \cdots \geqslant \left|z_{k}\right| \geqslant \cdots$.

3. Существуют два вещественных числа $\alpha$ и $\beta$ такие, что

   $$0 < \beta -\alpha < \frac{2\pi n}{n+1}, \qquad \alpha \leqslant \arg z_{k} \leqslant \beta , \qquad \text{при } k=1,2,3,\ldots .$$

Тогда ряд $\left|z_{1}\right|^{n}+\left|z_{2}\right|^{n}+\cdots +\left|z_{k}\right|^{n}+\cdots$ сходится.

Заключение остается в силе и при более широком предположении: ряды, перечисленные в (1), могут и не сходиться, достаточно предположить ограниченность их частных сумм. Однако заключение становится неверным, если отбросить предположение (2) или потребовать меньше, чем первая часть условия (3), а именно

Функции $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z)$; $g_{1}(z), g_{2}(z), \ldots , g_{n}(z)$ регулярны и аналитичны в некоторой области плоскости $z$, где

Если $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z)$ линейно независимы, то и $g_{1}(z), g_{2}(z), \ldots , g_{n}(z)$ линейно независимы, причем

при $\nu =1,2,\ldots ,n$; постоянные $c_{\nu \lambda }$ образуют унитарную матрицу.

Рассмотрим приближение целой функции $g(z)$ полиномами. Определим целое число

(называемое степенью приближения функции $g(z)$ на окружности $\left|z\right|=r$ с точностью $\alpha$) как степень полинома $P(z)$ наименьшей возможной степени, для которого

($r>0$, $\alpha >1$). Тогда

где при вычислении первого предела $r$ остается фиксированным, а при вычислении второго предела фиксированным остается $\alpha$; $\rho$ — порядок функции $g(z)$.

Пусть $g(z)$ — целая функция, рост которой не превосходит минимального типа порядка $1$; это означает, что $g(z)e^{-\varepsilon \left|z\right|}$ остается ограниченной во всей плоскости $z$, каково бы ни было фиксированное положительное число $\varepsilon$. Предположим, что последовательность

ограничена. Тогда $g(z)$ сводится к постоянной.

Рассмотрим квадратные матрицы с $n$ строками и $n$ столбцами и будем обозначать такие матрицы прописными буквами. Пусть

— целая функция, а $Z$ — матрица. Тогда ряд

сходится к вполне определенной матрице.

При каких условиях для данной матрицы $A$ существует матрица $Z$ такая, что

Пусть $f(z)$ — однозначная аналитическая функция, регулярная всюду, включая точку $z=\infty$, за исключением точки $z=1$. В окрестности точки $z=0$ она имеет разложение

а в окрестности точки $z=\infty$ — разложение

Если существует постоянная $k$ такая, что обе величины $a_{n}n^{-k}$ и $b_{n}n^{-k}$ ограничены ($n=1,2,3,\ldots$), то $f(z)$ — рациональная функция.

Пусть числа $a, b, m_{1}, m_{2}, m_{3}, \ldots$ вещественны и удовлетворяют условиям

Пусть, далее, $f(x)$ непрерывна в интервале $[a,b]$. Тогда из равенств

при $n=1,2,3,\ldots$ следует, что $f(x)$ тождественно равна нулю. (Часть всей системы функций Фурье замкнута на соответствующей части всего интервала.)