Метод Э. Ландау

Пусть $f(z)=a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}+\ldots$ регулярна в круге $\left|z\right|<R$. Положим $\mathfrak {M}(r)=\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right| r+\left|a_{2}\right| r^{2}+\ldots +\left|a_{n}\right| r^{n}+\ldots$ Тогда

(Продолжение.) Пусть $\mathfrak {M}_{n}(r)$ имеет то же значение для $[f(z)]^{n}$, какое $\mathfrak {M}(r)$ имеет для $f(z)$ $(n=1,2,3, \ldots )$. Тогда

Получить с помощью II 123 новое доказательство теоремы Адамара о трех кругах [III 304].

Доказать следующее обобщение теоремы 160. Пусть $\omega_{n}$ имеет то же значение, что и в задаче 157; тогда в предположениях теоремы 160 имеет место оценка

Пусть теорема С. Н. Бернштейна о тригонометрических полиномах [VI 82] известна в следующей неточной форме: существует такая абсолютная постоянная $K$, $K>0$, что для тригонометрического полинома $n$-го порядка $\varphi (\vartheta )$, не превосходящего по модулю единицы, выполняется неравенство

Как от этой оценки перейти к точной оценке