Принцип максимума

Максимум модуля $f(z)$ во всем круге $\left|z\right| \leqslant r$ равен $M(r)$.

$M(r)$ монотонно возрастает вместе с $r$, если только $f(z)$ не есть постоянная.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в односвязной¹ внешней круговой области $\left|z\right|>R$. Обозначим через $M(r)$ максимум модуля $f(z)$ на окружности $\left|z\right|=r$, $r>R$. Тогда $M(r)$ служит также максимумом модуля $f(z)$ для всей внешней круговой области $\left|z\right| \geqslant r$, причем $M(r)$ монотонно убывает вместе с $r$, если только $f(z)$ не есть постоянная.

Пусть $f(z)$ — полином $n$-й степени. Тогда

Равенство имеет место только для полиномов вида $c z^{n}$.

Пусть $f(z)$ — полином $n$-й степени, причем в вещественном интервале $-1 \leqslant z \leqslant 1$

Тогда при всяком $z$ за пределами этого интервала

где $a$ и $b$ — полуоси эллипса с фокусами $-1$ и $+1$, проходящего через точку $z$.

Что дает эта теорема при $z \rightarrow \infty$?

Пусть $f(z)$ — полином $n$-й степени, $E_{1}$ и $E_{2}$ — два софокусных эллипса с полуосями $a_{1}, b_{1}$ и $a_{2}, b_{2}$ ($a_{1}<a_{2}$, $b_{1}<b_{2}$). Тогда, обозначая максимумы $\left|f(z)\right|$ на $E_{1}$ и $E_{2}$ соответственно через $M_{1}$ и $M_{2}$, имеем:

Вывести отсюда теоремы 269, 270.

Если аналитическая функция регулярна в замкнутом круге и не приводится к постоянной, то ее модуль в центре круга меньше арифметического среднего ее модулей на контуре.

Если модуль аналитической функции сохраняет постоянное значение на целой области (например, на круге), то сама функция является постоянной.

Пусть функции $\varphi (z)$ и $\psi (z)$ регулярны в замкнутом круге $\left|z\right| \leqslant 1$ и не обращаются в нуль в открытом круге $\left|z\right|<1$. Пусть, кроме того, $\varphi (0)$ и $\psi (0)$ вещественны и положительны. Если модули $\varphi (z)$ и $\psi (z)$ на окружности $\left|z\right|=1$ совпадают, то тождественно $\varphi (z)=\psi (z)$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна и однозначна внутри некоторой замкнутой области $\mathfrak {B}$ и непрерывна во всех точках ее границы. Пусть $M$ есть максимум модуля $f(z)$ на границе $\mathfrak {B}$. Тогда внутри области $\mathfrak {B}$

если только $f(z)$ не есть постоянная. [Сильнее, чем 135.]

Пусть $\zeta$ — внутренняя точка замкнутой области $\mathfrak {B}$ и $\mathfrak {R}$ — совокупность тех граничных точек, расстояние которых от $\zeta$ не превышает $\rho$. Пусть, далее, на окружности радиуса $\rho$ с центром в точке $\zeta$ имеется дуга, не принадлежащая к $\mathfrak {B}$, длина которой $\geqslant \frac{2 \pi \rho }{n}$, где $n$ — целое число. Показать, что если функция $f(z)$ регулярна и однозначна внутри и непрерывна во всех точках границы области $\mathfrak {B}$ и притом в точках $\mathfrak {R}$ $\left|f(z)\right| \leqslant a$, а в остальных граничных точках $\left|f(z)\right| \leqslant A$, $a<A$, то имеет место неравенство

Пусть функция $f(z)$ регулярна и ограничена в угле $0<\arg z<\alpha$ и непрерывна в точках вещественной оси, причем при неограниченном возрастании $x$ по положительным значениям $\lim f(x)=0$. Тогда

равномерно в каждом угле $0 \leqslant \arg z \leqslant \alpha -\varepsilon <\alpha$.

Пусть аналитическая функция $f(z)$ обладает следующими свойствами:

1. $f(z)$ регулярна во всех точках некоторой области $\mathfrak {G}$;

2. $f(z)$ однозначна в $\mathfrak {G}$;

3. существует такое постоянное положительное число $M$, что, какова бы ни была точка на границе $\mathfrak {G}$ и сколь бы мало ни было положительное $\varepsilon$, всегда найдется такая окрестность рассматриваемой граничной точки, что для всех $z$, принадлежащих $\mathfrak {G}$ и попадающих в указанную окрестность, выполняется неравенство

   $$\left|f(z)\right|<M+\varepsilon .$$

Тогда во всей области $\mathfrak {G}$

и даже $\left|f(z)\right|<M$, если только $f(z)$ не есть постоянная. [Точнее, чем 275.]

Пусть функция $f(z)$ регулярна и ограничена в круге $\left|z\right|<1$, причем в некотором секторе $\alpha \leqslant \vartheta \leqslant \beta$, $\alpha <\beta$ равномерно

Тогда $f(z) \equiv 0$.

Пусть в круге $\left|z\right|<1$ функция $f(z)$ регулярна и $\left|f(z)\right|<1$. Если $f(0)=0$, то либо имеет место более сильное неравенство $\left|f(z)\right|<\left|z\right|$, либо $f(z)=e^{i \alpha } z$, где $\alpha$ вещественно.

Пусть $z=\varphi (\zeta )$, $w=\psi (\zeta )$ — два однолистных отображения единичного круга $\left|\zeta \right|<1$ на области $\mathfrak {G}$ и $\mathfrak {H}$ плоскостей $z$ и $w$, причем центру круга $\zeta =0$ соответствуют точки $z=z_{0}$ и $w=w_{0}$. Пусть, далее, $\mathfrak {g}$ и $\mathfrak {h}$ — замкнутые области, в которые переходит при указанных отображениях круг $\left|\zeta \right| \leqslant \rho$, $0<\rho <1$. Если $w=f(z)$ есть регулярная в $\mathfrak {G}$ аналитическая функция, значения которой лежат в области $\mathfrak {H}$, причем $f\left(z_{0}\right)=w_{0}$, то эта функция $f(z)$ принимает в части $\mathfrak {g}$ области $\mathfrak {G}$ значения, лежащие в части $\mathfrak {h}$ области $\mathfrak {H}$. Более того, эти значения лежат строго внутри $\mathfrak {h}$, если только $f(z)$ не совпадает с функцией, однолистно отображающей $\mathfrak {G}$ на $\mathfrak {H}$.

Пусть в круге $\left|z\right|<1$ функция $f(z)$ регулярна и $\left|f(z)\right|<1$. Тогда

Равенство может иметь место только для линейной функции вида

($\alpha$ вещественно).

Пусть $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right|<R$. Обозначим через $A(r)$ максимум вещественной части $f(z)$ в круге $\left|z\right| \leqslant r$, $0 \leqslant r<R$. Тогда имеет место неравенство

где положено $\lim A(r)=A(R)$. Равенство имеет место только для линейной функции вида

($\alpha$ вещественно).

(Продолжение.) Для максимума модуля $f(z)$ в круге $\left|z\right| \leqslant r$ имеет место неравенство

Пусть в круге $\left|z\right|<R$ функция $f(z)$ регулярна, отлична от нуля и ограничена. Тогда

где положено $\lim_{r \rightarrow R-0} M(r)=M(R)$.

Пусть функции $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z), \ldots$ регулярны, отличны от нуля и по модулю меньше единицы в круге $\left|z\right|<1$. Если ряд

абсолютно сходится, то сходится также ряд

и притом абсолютно при $\left|z\right| \leqslant \frac{1}{3}$.

Пусть в круге $\left|z\right|<1$ функция $f(z)$ регулярна и ее вещественная часть положительна. Пусть, кроме того, $f(0)$ вещественно. Тогда

Равенство может иметь место только для функции вида

где $w_{0}$ и $\alpha$ вещественны и $w_{0}>0$.

Пусть в круге $\left|z\right|<1$ функция $f(z)$ регулярна и $\left|\mathrm{Re}\left(f(z)\right)\right|<1$. Если $f(0)=0$, то выполняется более сильное неравенство

Кроме того,

Равенство может иметь место только для функции

($\alpha$ вещественно).

Пусть $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right|<R$ и $\Delta$ — колебание ее вещественной части в этом круге, следовательно, для $\left|z_{1}\right|<R$, $\left|z_{2}\right|<R$

Тогда наибольшее колебание ее вещественной части во внутреннем круге $\left|z\right| \leqslant r$, $r<R$, подчинено неравенству

Для наибольшего колебания мнимой части в том же круге имеем оценку

Обозначим через $\mathfrak {Z}$ неограниченную область плоскости $z=x+i y$, симметричную относительно вещественной оси, выделяемую неравенствами

где $k(x)$ — положительная непрерывная функция, определенная для $x \geqslant 0$. Тогда существует положительная непрерывная функция $h(x)$, зависящая только от $\mathfrak {Z}$, обладающая следующим свойством: для всякой функции $F(z)$, регулярной и ограниченной снизу в области $\mathfrak {Z}$, $\left|F(z)\right|>c$, $c>0$, отношение

остается ограниченным сверху при возрастании $x$ по положительным значениям до бесконечности. (Эта теорема особенно интересна в том случае, когда $k(x)$, монотонно убывая, стремится к нулю, так что область $\mathfrak {Z}$ принимает «языкообразную» форму; в самом деле, в то время как вдоль изолированно взятого луча аналитическая функция может возрастать сколь угодно сильно (IV 180), быстроте ее возрастания кладется определенный предел, поскольку оно происходит на пространстве целой «языкообразной» области. Этот результат можно несколько грубо выразить так: если ни одна из точек поверхности модуля в области $\mathfrak {Z}$ не должна опускаться ниже определенного уровня, то ни одна не сможет и слишком высоко подняться.)

Пусть функция $f(z)$ в единичном круге $\left|z\right|<1$ регулярна и по модулю меньше единицы, пусть, далее, она регулярна в точке $z=1$, наконец, пусть $f(0)=0$, $f(1)=1$. Тогда $f^{\prime }(1)$ вещественно и $\geqslant 1$.

Пусть функция $f(z)$ в единичном круге $\left|z\right|<1$ регулярна и по модулю меньше единицы. Пусть, кроме того, $f(z)$ регулярна для $z=1$ и $f(1)=1$. Тогда $f^{\prime }(1)$ вещественно и

Пусть в верхней полуплоскости $\mathrm{Im}\left(z\right)>0$ функция $f(z)$ регулярна и имеет положительную мнимую часть, $\mathrm{Im}\left(f(z)\right)>0$. Пусть, кроме того, $f(z)$ регулярна в некоторой точке $z=a$ вещественной оси, причем $f(a)=b$, где $b$ вещественно. Тогда $f^{\prime }(a)$ вещественно и положительно, и в верхней полуплоскости $\mathrm{Im}\left(z\right)>0$ выполняется неравенство

Пусть в круге $\left|z\right|<1$ функция $f(z)$ регулярна, имеет нули $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ и по модулю не превосходит $M$. Тогда в этом круге выполняется более сильное неравенство

причем равенство может выполняться либо для всех точек круга $\left|z\right|<1$, либо ни для одной. (Теорема 280 получается отсюда как частный случай при $n=1$, $z_{1}=0$.)

Пусть в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right)>0$ функция $f(z)$ регулярна, имеет нули $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ и удовлетворяет неравенству $\left|f(z)\right| \leqslant M$. Тогда в этой полуплоскости имеет место более сильное неравенство

причем равенство может либо выполняться для всех точек указанной полуплоскости, либо не выполняться ни для одной.

Функция, мероморфная в замкнутом круге и постоянная по модулю на его границе, является рациональной, а именно с точностью до постоянного множителя совпадает с произведением дробно-линейных функций, отображающих рассматриваемый круг на внутреннюю или внешнюю области единичной окружности.

Если в круге $\left|z\right|<1$ функция $f(z)$ регулярна и ограничена и обращается в нуль в точках $z_{1}, z_{2}, z_{3}, \ldots$, то тогда либо ряд

(сумма расстояний нулей до окружности единичного круга) — сходящийся, либо $f(z) \equiv 0$.

Если в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right)>0$ функция $f(z)$ регулярна и ограничена и обращается в нуль в точках $z_{1}, z_{2}, z_{3}, \ldots$, лежащих внутри этой полуплоскости, но вне единичного круга: $\mathrm{Re}\left(z_{n}\right)>0$, $\left|z_{n}\right|>1$, $n=1,2,3, \ldots$, то тогда либо ряд

— сходящийся, либо $f(z) \equiv 0$.

Сумма модулей нескольких аналитических функций достигает своего максимума на границе. Более подробно: пусть функции $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z)$ регулярны и однозначны в ограниченной замкнутой области $\mathfrak {B}$. Тогда функция

непрерывная в этой области, на ее границе достигает максимума.

(Продолжение.) Если функции $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z)$ не все постоянны, то $\varphi (z)$ достигает максимума строго на границе области $\mathfrak {B}$, т. е. значения ее внутри этой области будут по модулю меньше указанного максимума.

Пусть в пространстве заданы $n$ фиксированных точек $P_{1}, P_{2}, \ldots , P_{n}$ и переменная точка $P$. Показать, что функция точки $P$

($\overline{P P}_{v}$ есть расстояние между $P$ и $P_{v}$) в каждой ограниченной замкнутой области достигает максимума на границе. (Обобщение теоремы 137.)

Пусть функции $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z)$ регулярны и однозначны в ограниченной замкнутой области $\mathfrak {B}$. Показать, что функция

где $p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n}$ — положительные числа, непрерывная в области $\mathfrak {B}$, достигает максимума на границе этой области и притом только на границе, если функции $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z)$ не все постоянные.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в многосвязной ограниченной замкнутой области $\mathfrak {B}$ и, кроме того, $\left|f(z)\right|$ [но не обязательно $f(z)$!] является в $\mathfrak {B}$ однозначной функцией. Тогда максимум модуля $f(z)$ достигается в одной из граничных точек области $\mathfrak {B}$. При этом, если $f(z)$ не постоянная, максимум не может достигаться ни в какой внутренней точке.

Пусть $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right|<R$. Показать, что при $0<r_{1}<r_{2}<r_{3}<R$ выполняется неравенство

Иными словами, изображая $\ln M(r)$ как функцию от $\ln r$ в прямоугольной системе координат, мы получаем кривую, невогнутую снизу (теорема Адамара о трех кругах).

(Продолжение.) $\ln M(r)$ является строго выпуклой функцией от $\ln r$, если только $f(z)$ не имеет вида $a z^{\alpha }$, где $a$ и $\alpha$ — постоянные и $\alpha$ вещественно. Иными словами, лишь для этого исключительного случая в неравенстве задачи 304 может достигаться равенство.

Пусть $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right|<R$ и не имеет вида $c z^{n}$, где $c$ — постоянная. Показать, что функция

(арифметическое среднее квадрата модуля $\left|f(z)\right|^{2}$ на окружности $\left|z\right|=r$, $r<R$) монотонно возрастает вместе с $r$, причем $\ln I_{2}(r)$ является выпуклой функцией от $\ln r$.

Пусть $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right|<R$. Показать, что функция

(геометрическое среднее модуля $f(z)$ на окружности $\left|z\right|=r$, $r<R$) не убывает при возрастании $r$, причем $\ln \mathfrak {G}(r)$ есть невогнутая снизу функция от $\ln r$.

Пусть $f(z)$ не тождественно постоянна и регулярна в круге $\left|z\right|<R$. Показать, что функция

монотонно возрастает при возрастании $r$, причем $\ln I(r)$ есть невогнутая снизу функция от $\ln r$.

Отображение $w=f(z)$, где $f(z)$ не есть постоянная и регулярна в круге $\left|z\right|<R$, преобразует окружность $\left|z\right|=r$ ($r<R$) плоскости $z$ в некоторую кривую плоскости $w$ с длиной $l(r)$. Показать, что отношение $\frac{l(r)}{2 \pi r}$ монотонно возрастает вместе с $r$.

Пусть $f(z)$ не есть постоянная и регулярна в круге $\left|z\right|<R$. Показать, что функция

где $p$ — положительное число, монотонно возрастает вместе с $r$, причем $\ln I_{p}(r)$ есть невогнутая снизу функция от $\ln r$. (Ср. частные случаи $p=2$ и $p=1$ и предельные случаи $p=0$ и $p=\infty$ в задачах 306, 308, 307, 267 и 304; аналогичный случай см. в IV 19.)

Значения аналитической функции, регулярной в замкнутом круге $\mathfrak {K}$, не могут быть вещественны во всех точках на границе этого круга, если только функция не приводится к постоянной.

Если гармоническая функция регулярна в замкнутом круге, то ее абсолютное значение в центре круга не превосходит среднего арифметического ее абсолютных значений на границе. Когда имеет место равенство?

Пусть гармоническая функция регулярна и однозначна в некоторой ограниченной замкнутой области $\mathfrak {B}$. Показать, что она принимает как максимальное, так и минимальное значения на границе $\mathfrak {B}$ и притом только на границе, если не является тождественно постоянной.

Если гармоническая функция, регулярная и однозначная в некоторой ограниченной замкнутой области $\mathfrak {B}$, равна нулю во всех граничных точках этой области, то она тождественно равна нулю.

Описанное в решении 31 положение равновесия неустойчиво.

Пусть гармоническая функция, не приводящаяся к постоянной, однозначна в ограниченной замкнутой области $\mathfrak {B}$. Пусть, кроме того, она регулярна в этой области, за исключением конечного числа точек, в которых обращается в $-\infty$ (т. е. при приближении к этим точкам стремится к $-\infty$). В таком случае эта функция достигает максимума на границе.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| \leqslant R$ и отображает его на некоторую область плоскости $w$, граница которой звездообразна относительно точки $w=0$. Пусть, кроме того, $f(0)=0$. Тогда и образы концентрических окружностей $\left|z\right|=r$, $r<R$ будут звездообразны относительно $w=0$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| \leqslant R$ и отображает его на некоторую выпуклую область плоскости $w$. Тогда каждая окружность, лежащая внутри круга $\left|z\right|<R$, отображается в выпуклую кривую.

Пусть

— произвольные гармонические функции, регулярные и однозначные в некоторой ограниченной замкнутой области $\mathfrak {B}$. Показать, что функция

непрерывная в $\mathfrak {B}$, достигает максимума на границе этой области.

Пусть $A(r)$ — максимум, принимаемый на окружности $\left|z\right|=r$ гармонической функцией, регулярной в круге $\left|z\right|<R$ ($r<R$). Показать, что при $0<r_{1}<r_{2}<r_{3}<R$ выполняется неравенство

иными словами, что $A(r)$ есть невогнутая снизу функция от $\ln r$.

Вывести теорему Адамара о трех кругах (304) из теоремы 320 и обратно 320 из теоремы Адамара о трех кругах.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в угловой области $-\alpha \leqslant \vartheta \leqslant \alpha$ ($z=r e^{i \vartheta }$) с заданным $\alpha$, $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$. Пусть, кроме того:

1. существуют такие две положительные постоянные $A$ и $B$, что в указанном угле $-\alpha \leqslant \vartheta \leqslant \alpha$ выполняется неравенство

   $$\left|f(z)\right|<A e^{B\left|z\right|} ;$$

2. на границе угла (т. е. вдоль лучей $\vartheta =-\alpha$ и $\vartheta =\alpha$) выполняется неравенство

   $$\left|f(z)\right| \leqslant 1 .$$

Тогда $\left|f(z)\right| \leqslant 1$ во всем угле.

Утверждение предыдущей теоремы, а именно, что $\left|f(z)\right| \leqslant 1$ во всем угле, сохраняет силу, если предположение 1) заменить следующим, более слабым: требуется, чтобы неравенство $\left|f(z)\right|<A e^{B\left|z\right|}$ выполнялось не во всем угле, а лишь на заключенных в этом угле дугах окружностей $\left|z\right|=r_{1}, \left|z\right|=r_{2}, \ldots , \left|z\right|=r_{n}, \ldots$, где $\lim_{n \rightarrow \infty } r_{n}=\infty$. Какими более общими кривыми можно заменить эти круговые дуги?

Пусть предположение 2) задачи 322 изменено следующим образом: требуется, чтобы внутри угла $-\alpha \leqslant \vartheta \leqslant \alpha$ существовали две выходящие из начала и в дальнейшем не пересекающиеся кривые $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$, простирающиеся в бесконечность, вдоль которых $\left|f(z)\right| \leqslant 1$. Тогда при сохранении предположения 1) неравенство $\left|f(z)\right| \leqslant 1$ выполняется также во всей области, заключенной между $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$ и удовлетворяет следующим трем условиям:

1. существуют две такие положительные постоянные $A$, $B$, что во всей полуплоскости

   $$\left|f(z)\right| \leqslant A e^{B\left|z\right|} ;$$

2. для $r \geqslant 0$

   $$\left|f(i r)\right| \leqslant 1, \quad \left|f(-i r)\right| \leqslant 1 ;$$
3. $$$$

\limsup _{r \rightarrow +\infty } \frac{\ln \left|f(r)\right|}{r} \leqslant 0 .

\left|f(z)\right| \leqslant 1 .

Пусть функция $f(z)$ регулярна в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$ и удовлетворяет следующим условиям:

1. существуют две такие положительные постоянные $A$ и $B$, что во всей полуплоскости

   $$\left|f(z)\right|<A e^{B\left|z\right|} ;$$

2. при $r \geqslant 0$

   $$\left|f(i r)\right| \leqslant 1, \quad \left|f(-i r)\right| \leqslant 1 ;$$

3. существует такой угол $\alpha$, $-\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2}$, что

   $$\lim _{r \rightarrow +\infty } \frac{\ln \left|f\left(r e^{i \alpha }\right)\right|}{r}=-\infty .$$

Показать, что такая функция должна быть тождественно равна нулю.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$ и удовлетворяет следующим условиям:

1. существуют две такие положительные постоянные $A$ и $B$, что во всей полуплоскости

   $$\left|f(z)\right|<A e^{B\left|z\right|} ;$$

2. существуют две такие положительные постоянные $C$ и $\gamma$, что для $r \geqslant 0$

   $$\left|f( \pm i r)\right| \leqslant C e^{-\gamma r} .$$

Показать, что такая функция должна быть тождественно равна нулю.

Функция $\sin \pi z$ является наименьшей из класса аналитических в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$ и обращающихся в нуль в точках $z=0,1,2,3, \ldots$ Точнее говоря, имеет место следующая теорема:

Пусть функция $f(z)$ — аналитическая в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$ и удовлетворяет следующим условиям:

1. существуют две такие положительные постоянные $A$ и $B$, что для $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$

   $$\left|f(z)\right|<A e^{B\left|z\right|} ;$$

2. существуют две такие положительные постоянные $C$ и $\gamma$, что для $r \geqslant 0$

   $$\left|f( \pm i r)\right| \leqslant C e^{(\pi -\gamma ) r} ;$$
3. $$$$