Лемма Шварца

Пусть в круге $\left|z\right|<1$ функция $f(z)$ регулярна и $\left|f(z)\right|<1$. Если $f(0)=0$, то либо имеет место более сильное неравенство $\left|f(z)\right|<\left|z\right|$, либо $f(z)=e^{i \alpha } z$, где $\alpha$ вещественно.

Пусть $z=\varphi (\zeta )$, $w=\psi (\zeta )$ — два однолистных отображения единичного круга $\left|\zeta \right|<1$ на области $\mathfrak {G}$ и $\mathfrak {H}$ плоскостей $z$ и $w$, причем центру круга $\zeta =0$ соответствуют точки $z=z_{0}$ и $w=w_{0}$. Пусть, далее, $\mathfrak {g}$ и $\mathfrak {h}$ — замкнутые области, в которые переходит при указанных отображениях круг $\left|\zeta \right| \leqslant \rho$, $0<\rho <1$. Если $w=f(z)$ есть регулярная в $\mathfrak {G}$ аналитическая функция, значения которой лежат в области $\mathfrak {H}$, причем $f\left(z_{0}\right)=w_{0}$, то эта функция $f(z)$ принимает в части $\mathfrak {g}$ области $\mathfrak {G}$ значения, лежащие в части $\mathfrak {h}$ области $\mathfrak {H}$. Более того, эти значения лежат строго внутри $\mathfrak {h}$, если только $f(z)$ не совпадает с функцией, однолистно отображающей $\mathfrak {G}$ на $\mathfrak {H}$.

Пусть в круге $\left|z\right|<1$ функция $f(z)$ регулярна и $\left|f(z)\right|<1$. Тогда

Равенство может иметь место только для линейной функции вида

($\alpha$ вещественно).

Пусть $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right|<R$. Обозначим через $A(r)$ максимум вещественной части $f(z)$ в круге $\left|z\right| \leqslant r$, $0 \leqslant r<R$. Тогда имеет место неравенство

где положено $\lim A(r)=A(R)$. Равенство имеет место только для линейной функции вида

($\alpha$ вещественно).

(Продолжение.) Для максимума модуля $f(z)$ в круге $\left|z\right| \leqslant r$ имеет место неравенство

Пусть в круге $\left|z\right|<R$ функция $f(z)$ регулярна, отлична от нуля и ограничена. Тогда

где положено $\lim_{r \rightarrow R-0} M(r)=M(R)$.

Пусть функции $f_{1}(z), f_{2}(z), \ldots , f_{n}(z), \ldots$ регулярны, отличны от нуля и по модулю меньше единицы в круге $\left|z\right|<1$. Если ряд

абсолютно сходится, то сходится также ряд

и притом абсолютно при $\left|z\right| \leqslant \frac{1}{3}$.

Пусть в круге $\left|z\right|<1$ функция $f(z)$ регулярна и ее вещественная часть положительна. Пусть, кроме того, $f(0)$ вещественно. Тогда

Равенство может иметь место только для функции вида

где $w_{0}$ и $\alpha$ вещественны и $w_{0}>0$.

Пусть в круге $\left|z\right|<1$ функция $f(z)$ регулярна и $\left|\mathrm{Re}\left(f(z)\right)\right|<1$. Если $f(0)=0$, то выполняется более сильное неравенство

Кроме того,

Равенство может иметь место только для функции

($\alpha$ вещественно).

Пусть $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right|<R$ и $\Delta$ — колебание ее вещественной части в этом круге, следовательно, для $\left|z_{1}\right|<R$, $\left|z_{2}\right|<R$

Тогда наибольшее колебание ее вещественной части во внутреннем круге $\left|z\right| \leqslant r$, $r<R$, подчинено неравенству

Для наибольшего колебания мнимой части в том же круге имеем оценку

Обозначим через $\mathfrak {Z}$ неограниченную область плоскости $z=x+i y$, симметричную относительно вещественной оси, выделяемую неравенствами

где $k(x)$ — положительная непрерывная функция, определенная для $x \geqslant 0$. Тогда существует положительная непрерывная функция $h(x)$, зависящая только от $\mathfrak {Z}$, обладающая следующим свойством: для всякой функции $F(z)$, регулярной и ограниченной снизу в области $\mathfrak {Z}$, $\left|F(z)\right|>c$, $c>0$, отношение

остается ограниченным сверху при возрастании $x$ по положительным значениям до бесконечности. (Эта теорема особенно интересна в том случае, когда $k(x)$, монотонно убывая, стремится к нулю, так что область $\mathfrak {Z}$ принимает «языкообразную» форму; в самом деле, в то время как вдоль изолированно взятого луча аналитическая функция может возрастать сколь угодно сильно (IV 180), быстроте ее возрастания кладется определенный предел, поскольку оно происходит на пространстве целой «языкообразной» области. Этот результат можно несколько грубо выразить так: если ни одна из точек поверхности модуля в области $\mathfrak {Z}$ не должна опускаться ниже определенного уровня, то ни одна не сможет и слишком высоко подняться.)

Пусть функция $f(z)$ в единичном круге $\left|z\right|<1$ регулярна и по модулю меньше единицы, пусть, далее, она регулярна в точке $z=1$, наконец, пусть $f(0)=0$, $f(1)=1$. Тогда $f^{\prime }(1)$ вещественно и $\geqslant 1$.

Пусть функция $f(z)$ в единичном круге $\left|z\right|<1$ регулярна и по модулю меньше единицы. Пусть, кроме того, $f(z)$ регулярна для $z=1$ и $f(1)=1$. Тогда $f^{\prime }(1)$ вещественно и

Пусть в верхней полуплоскости $\mathrm{Im}\left(z\right)>0$ функция $f(z)$ регулярна и имеет положительную мнимую часть, $\mathrm{Im}\left(f(z)\right)>0$. Пусть, кроме того, $f(z)$ регулярна в некоторой точке $z=a$ вещественной оси, причем $f(a)=b$, где $b$ вещественно. Тогда $f^{\prime }(a)$ вещественно и положительно, и в верхней полуплоскости $\mathrm{Im}\left(z\right)>0$ выполняется неравенство

Пусть в круге $\left|z\right|<1$ функция $f(z)$ регулярна, имеет нули $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ и по модулю не превосходит $M$. Тогда в этом круге выполняется более сильное неравенство

причем равенство может выполняться либо для всех точек круга $\left|z\right|<1$, либо ни для одной. (Теорема 280 получается отсюда как частный случай при $n=1$, $z_{1}=0$.)

Пусть в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right)>0$ функция $f(z)$ регулярна, имеет нули $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ и удовлетворяет неравенству $\left|f(z)\right| \leqslant M$. Тогда в этой полуплоскости имеет место более сильное неравенство

причем равенство может либо выполняться для всех точек указанной полуплоскости, либо не выполняться ни для одной.

Функция, мероморфная в замкнутом круге и постоянная по модулю на его границе, является рациональной, а именно с точностью до постоянного множителя совпадает с произведением дробно-линейных функций, отображающих рассматриваемый круг на внутреннюю или внешнюю области единичной окружности.

Если в круге $\left|z\right|<1$ функция $f(z)$ регулярна и ограничена и обращается в нуль в точках $z_{1}, z_{2}, z_{3}, \ldots$, то тогда либо ряд

(сумма расстояний нулей до окружности единичного круга) — сходящийся, либо $f(z) \equiv 0$.

Если в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right)>0$ функция $f(z)$ регулярна и ограничена и обращается в нуль в точках $z_{1}, z_{2}, z_{3}, \ldots$, лежащих внутри этой полуплоскости, но вне единичного круга: $\mathrm{Re}\left(z_{n}\right)>0$, $\left|z_{n}\right|>1$, $n=1,2,3, \ldots$, то тогда либо ряд

— сходящийся, либо $f(z) \equiv 0$.