Гармонические функции

Значения аналитической функции, регулярной в замкнутом круге $\mathfrak {K}$, не могут быть вещественны во всех точках на границе этого круга, если только функция не приводится к постоянной.

Если гармоническая функция регулярна в замкнутом круге, то ее абсолютное значение в центре круга не превосходит среднего арифметического ее абсолютных значений на границе. Когда имеет место равенство?

Пусть гармоническая функция регулярна и однозначна в некоторой ограниченной замкнутой области $\mathfrak {B}$. Показать, что она принимает как максимальное, так и минимальное значения на границе $\mathfrak {B}$ и притом только на границе, если не является тождественно постоянной.

Если гармоническая функция, регулярная и однозначная в некоторой ограниченной замкнутой области $\mathfrak {B}$, равна нулю во всех граничных точках этой области, то она тождественно равна нулю.

Описанное в решении 31 положение равновесия неустойчиво.

Пусть гармоническая функция, не приводящаяся к постоянной, однозначна в ограниченной замкнутой области $\mathfrak {B}$. Пусть, кроме того, она регулярна в этой области, за исключением конечного числа точек, в которых обращается в $-\infty$ (т. е. при приближении к этим точкам стремится к $-\infty$). В таком случае эта функция достигает максимума на границе.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| \leqslant R$ и отображает его на некоторую область плоскости $w$, граница которой звездообразна относительно точки $w=0$. Пусть, кроме того, $f(0)=0$. Тогда и образы концентрических окружностей $\left|z\right|=r$, $r<R$ будут звездообразны относительно $w=0$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в круге $\left|z\right| \leqslant R$ и отображает его на некоторую выпуклую область плоскости $w$. Тогда каждая окружность, лежащая внутри круга $\left|z\right|<R$, отображается в выпуклую кривую.

Пусть

— произвольные гармонические функции, регулярные и однозначные в некоторой ограниченной замкнутой области $\mathfrak {B}$. Показать, что функция

непрерывная в $\mathfrak {B}$, достигает максимума на границе этой области.

Пусть $A(r)$ — максимум, принимаемый на окружности $\left|z\right|=r$ гармонической функцией, регулярной в круге $\left|z\right|<R$ ($r<R$). Показать, что при $0<r_{1}<r_{2}<r_{3}<R$ выполняется неравенство

иными словами, что $A(r)$ есть невогнутая снизу функция от $\ln r$.

Вывести теорему Адамара о трех кругах (304) из теоремы 320 и обратно 320 из теоремы Адамара о трех кругах.