Принцип максимума для аналитических функций

Максимум модуля $f(z)$ во всем круге $\left|z\right| \leqslant r$ равен $M(r)$.

$M(r)$ монотонно возрастает вместе с $r$, если только $f(z)$ не есть постоянная.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в односвязной¹ внешней круговой области $\left|z\right|>R$. Обозначим через $M(r)$ максимум модуля $f(z)$ на окружности $\left|z\right|=r$, $r>R$. Тогда $M(r)$ служит также максимумом модуля $f(z)$ для всей внешней круговой области $\left|z\right| \geqslant r$, причем $M(r)$ монотонно убывает вместе с $r$, если только $f(z)$ не есть постоянная.

Пусть $f(z)$ — полином $n$-й степени. Тогда

Равенство имеет место только для полиномов вида $c z^{n}$.

Пусть $f(z)$ — полином $n$-й степени, причем в вещественном интервале $-1 \leqslant z \leqslant 1$

Тогда при всяком $z$ за пределами этого интервала

где $a$ и $b$ — полуоси эллипса с фокусами $-1$ и $+1$, проходящего через точку $z$.

Что дает эта теорема при $z \rightarrow \infty$?

Пусть $f(z)$ — полином $n$-й степени, $E_{1}$ и $E_{2}$ — два софокусных эллипса с полуосями $a_{1}, b_{1}$ и $a_{2}, b_{2}$ ($a_{1}<a_{2}$, $b_{1}<b_{2}$). Тогда, обозначая максимумы $\left|f(z)\right|$ на $E_{1}$ и $E_{2}$ соответственно через $M_{1}$ и $M_{2}$, имеем:

Вывести отсюда теоремы 269, 270.

Если аналитическая функция регулярна в замкнутом круге и не приводится к постоянной, то ее модуль в центре круга меньше арифметического среднего ее модулей на контуре.

Если модуль аналитической функции сохраняет постоянное значение на целой области (например, на круге), то сама функция является постоянной.

Пусть функции $\varphi (z)$ и $\psi (z)$ регулярны в замкнутом круге $\left|z\right| \leqslant 1$ и не обращаются в нуль в открытом круге $\left|z\right|<1$. Пусть, кроме того, $\varphi (0)$ и $\psi (0)$ вещественны и положительны. Если модули $\varphi (z)$ и $\psi (z)$ на окружности $\left|z\right|=1$ совпадают, то тождественно $\varphi (z)=\psi (z)$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна и однозначна внутри некоторой замкнутой области $\mathfrak {B}$ и непрерывна во всех точках ее границы. Пусть $M$ есть максимум модуля $f(z)$ на границе $\mathfrak {B}$. Тогда внутри области $\mathfrak {B}$

если только $f(z)$ не есть постоянная. [Сильнее, чем 135.]

Пусть $\zeta$ — внутренняя точка замкнутой области $\mathfrak {B}$ и $\mathfrak {R}$ — совокупность тех граничных точек, расстояние которых от $\zeta$ не превышает $\rho$. Пусть, далее, на окружности радиуса $\rho$ с центром в точке $\zeta$ имеется дуга, не принадлежащая к $\mathfrak {B}$, длина которой $\geqslant \frac{2 \pi \rho }{n}$, где $n$ — целое число. Показать, что если функция $f(z)$ регулярна и однозначна внутри и непрерывна во всех точках границы области $\mathfrak {B}$ и притом в точках $\mathfrak {R}$ $\left|f(z)\right| \leqslant a$, а в остальных граничных точках $\left|f(z)\right| \leqslant A$, $a<A$, то имеет место неравенство

Пусть функция $f(z)$ регулярна и ограничена в угле $0<\arg z<\alpha$ и непрерывна в точках вещественной оси, причем при неограниченном возрастании $x$ по положительным значениям $\lim f(x)=0$. Тогда

равномерно в каждом угле $0 \leqslant \arg z \leqslant \alpha -\varepsilon <\alpha$.

Пусть аналитическая функция $f(z)$ обладает следующими свойствами:

1. $f(z)$ регулярна во всех точках некоторой области $\mathfrak {G}$;

2. $f(z)$ однозначна в $\mathfrak {G}$;

3. существует такое постоянное положительное число $M$, что, какова бы ни была точка на границе $\mathfrak {G}$ и сколь бы мало ни было положительное $\varepsilon$, всегда найдется такая окрестность рассматриваемой граничной точки, что для всех $z$, принадлежащих $\mathfrak {G}$ и попадающих в указанную окрестность, выполняется неравенство

   $$\left|f(z)\right|<M+\varepsilon .$$

Тогда во всей области $\mathfrak {G}$

и даже $\left|f(z)\right|<M$, если только $f(z)$ не есть постоянная. [Точнее, чем 275.]

Пусть функция $f(z)$ регулярна и ограничена в круге $\left|z\right|<1$, причем в некотором секторе $\alpha \leqslant \vartheta \leqslant \beta$, $\alpha <\beta$ равномерно

Тогда $f(z) \equiv 0$.