Метод Фрагмена—Линделёфа

Пусть функция $f(z)$ регулярна в угловой области $-\alpha \leqslant \vartheta \leqslant \alpha$ ($z=r e^{i \vartheta }$) с заданным $\alpha$, $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$. Пусть, кроме того:

1. существуют такие две положительные постоянные $A$ и $B$, что в указанном угле $-\alpha \leqslant \vartheta \leqslant \alpha$ выполняется неравенство

   $$\left|f(z)\right|<A e^{B\left|z\right|} ;$$

2. на границе угла (т. е. вдоль лучей $\vartheta =-\alpha$ и $\vartheta =\alpha$) выполняется неравенство

   $$\left|f(z)\right| \leqslant 1 .$$

Тогда $\left|f(z)\right| \leqslant 1$ во всем угле.

Утверждение предыдущей теоремы, а именно, что $\left|f(z)\right| \leqslant 1$ во всем угле, сохраняет силу, если предположение 1) заменить следующим, более слабым: требуется, чтобы неравенство $\left|f(z)\right|<A e^{B\left|z\right|}$ выполнялось не во всем угле, а лишь на заключенных в этом угле дугах окружностей $\left|z\right|=r_{1}, \left|z\right|=r_{2}, \ldots , \left|z\right|=r_{n}, \ldots$, где $\lim_{n \rightarrow \infty } r_{n}=\infty$. Какими более общими кривыми можно заменить эти круговые дуги?

Пусть предположение 2) задачи 322 изменено следующим образом: требуется, чтобы внутри угла $-\alpha \leqslant \vartheta \leqslant \alpha$ существовали две выходящие из начала и в дальнейшем не пересекающиеся кривые $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$, простирающиеся в бесконечность, вдоль которых $\left|f(z)\right| \leqslant 1$. Тогда при сохранении предположения 1) неравенство $\left|f(z)\right| \leqslant 1$ выполняется также во всей области, заключенной между $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$ и удовлетворяет следующим трем условиям:

1. существуют две такие положительные постоянные $A$, $B$, что во всей полуплоскости

   $$\left|f(z)\right| \leqslant A e^{B\left|z\right|} ;$$

2. для $r \geqslant 0$

   $$\left|f(i r)\right| \leqslant 1, \quad \left|f(-i r)\right| \leqslant 1 ;$$
3. $$$$

\limsup _{r \rightarrow +\infty } \frac{\ln \left|f(r)\right|}{r} \leqslant 0 .

\left|f(z)\right| \leqslant 1 .

Пусть функция $f(z)$ регулярна в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$ и удовлетворяет следующим условиям:

1. существуют две такие положительные постоянные $A$ и $B$, что во всей полуплоскости

   $$\left|f(z)\right|<A e^{B\left|z\right|} ;$$

2. при $r \geqslant 0$

   $$\left|f(i r)\right| \leqslant 1, \quad \left|f(-i r)\right| \leqslant 1 ;$$

3. существует такой угол $\alpha$, $-\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{\pi }{2}$, что

   $$\lim _{r \rightarrow +\infty } \frac{\ln \left|f\left(r e^{i \alpha }\right)\right|}{r}=-\infty .$$

Показать, что такая функция должна быть тождественно равна нулю.

Пусть функция $f(z)$ регулярна в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$ и удовлетворяет следующим условиям:

1. существуют две такие положительные постоянные $A$ и $B$, что во всей полуплоскости

   $$\left|f(z)\right|<A e^{B\left|z\right|} ;$$

2. существуют две такие положительные постоянные $C$ и $\gamma$, что для $r \geqslant 0$

   $$\left|f( \pm i r)\right| \leqslant C e^{-\gamma r} .$$

Показать, что такая функция должна быть тождественно равна нулю.

Функция $\sin \pi z$ является наименьшей из класса аналитических в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$ и обращающихся в нуль в точках $z=0,1,2,3, \ldots$ Точнее говоря, имеет место следующая теорема:

Пусть функция $f(z)$ — аналитическая в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$ и удовлетворяет следующим условиям:

1. существуют две такие положительные постоянные $A$ и $B$, что для $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$

   $$\left|f(z)\right|<A e^{B\left|z\right|} ;$$

2. существуют две такие положительные постоянные $C$ и $\gamma$, что для $r \geqslant 0$

   $$\left|f( \pm i r)\right| \leqslant C e^{(\pi -\gamma ) r} ;$$
3. $$$$

f(0)=f(1)=f(2)=\ldots =f(n)=\ldots =0 .

Пусть $\omega (x)$ — положительная функция положительной переменной $x$, возрастающая с возрастанием $x$ и вместе с $x$ стремящаяся к бесконечности. Показать, что не существует функции $f(z)$, регулярной в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$ и удовлетворяющей во всех точках этой полуплоскости неравенству

Пусть функция $f(z)$ регулярна во всех конечных точках угла $\alpha \leqslant \vartheta \leqslant \beta$ и $\left|f(z)\right| \leqslant 1$ на лучах $\vartheta =\alpha$ и $\vartheta =\beta$. Пусть, кроме того, существует такая положительная постоянная $\delta$, что выражение

ограничено в угле $\alpha \leqslant \vartheta \leqslant \beta$. Тогда во всякой внутренней точке этого угла

Пусть $f(z)$ регулярна в угле $\alpha \leqslant \vartheta \leqslant \beta$. Пусть, кроме того, $\left|f(z)\right| \leqslant 1$ на крайних лучах $\vartheta =\alpha$ и $\vartheta =\beta$, и для каждого $\varepsilon >0$ можно найти такое $r_{0}$, что для всех $r>r_{0}$ в нашем угле выполняется неравенство

Тогда, сверх того, во всем угле

Пусть $g(z)$ — целая функция и $M(r)$ — максимум модуля $g(z)$ на окружности $\left|z\right|=r$. Если

то $g(z)$ не ограничена ни на каком луче. [В частности, также на отрицательной вещественной оси.]

Пусть функция $f(z)$ не есть постоянная и регулярна в полуполосе $\mathfrak {G}$, определяемой неравенствами

($z=x+i y$). Если существуют две такие постоянные $A$ и $a$ ($A>0$, $0<a<1$), что в полуполосе $\mathfrak {G}$ выполняется неравенство

и если, кроме того, на границе $\mathfrak {G}$ (т. е. для $x=0$, $-\frac{\pi }{2} \leqslant y \leqslant \frac{\pi }{2}$ и для $x \geqslant 0$, $y= \pm \frac{\pi }{2}$)

то внутри полосы $\mathfrak {G}$

Пусть $\omega (x)$ обладает теми же свойствами, что и в задаче 329. Показать, что каждая функция $f(z)$, регулярная в полуполосе

($z=x+i y$), должна по крайней мере в одной точке $z=x+i y$ этой полуполосы удовлетворять неравенству

Пусть в задаче 278 условия, с одной стороны, ослаблены требованием, чтобы предположение 3) выполнялось не во всех без исключения граничных точках области $\mathfrak {G}$, а с возможным исключением конечного числа их $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$, но, с другой стороны, усилены требованием существования такого положительного числа $M^{\prime }$, чтобы во всех внутренних точках области $\mathfrak {G}$ выполнялось неравенство

(Интерес представляет лишь случай $M^{\prime }>M$.) Показать, что при этих измененных условиях утверждение теоремы 278 $\left|f(z)\right| \leqslant M$, соответственно $\left|f(z)\right|<M$, остается в силе.

Пусть замкнутая область $\mathfrak {B}$ расположена в полуплоскости $\mathrm{Im}\left(z\right) \geqslant 0$, причем та часть ее границы, которая лежит на вещественной оси, состоит из конечного числа отрезков. Обозначим через $\Omega$ сумму углов, под которыми видны эти отрезки из внутренней точки $\zeta$. Если $f(z)$ регулярна и однозначна внутри области $\mathfrak {B}$ и непрерывна на ее границе и если в вещественных граничных точках $\left|f(z)\right| \leqslant A$, а в остальных граничных точках $\left|f(z)\right| \leqslant a$, $0<a<A$, то тогда [57]

Пусть функция $f(z)$ регулярна в той части римановой поверхности функции $\ln z$, которая лежит над круговым кольцом $0<\left|z\right| \leqslant 1$. Если $f(z)$ ограничена в этом кольце и, в частности, $\left|f(z)\right| \leqslant 1$ на окружности $\left|z\right|=1$, то и во всем кольце $\left|f(z)\right| \leqslant 1$.

Пусть $g(z)$ — целая функция, не равная тождественно постоянной, и $\mathfrak {G}$ — область, на границе которой (точнее: в граничных точках, отличных от $z=\infty$) $\left|g(z)\right|=k$, а во внутренних точках $\left|g(z)\right|>k$, $k>0$. Тогда $\mathfrak {G}$ необходимо содержит в качестве граничной точки $z=\infty$ и $g(z)$ не ограничена в $\mathfrak {G}$.

Пусть $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ — две непрерывные кривые, исходящие из некоторой общей начальной точки и простирающиеся в бесконечность, ограничивая вместе с точкой $z=\infty$ некоторую область (например, два луча, ограничивающие угол), причем эта область не имеет общих точек с отрицательной вещественной осью.

Пусть функция $f(z)$ регулярна на $\Gamma_{1}$, $\Gamma_{2}$ и в заключенной между ними области. Пусть, кроме того, $\lim f(z)=0$, когда $z \rightarrow \infty$ вдоль $\Gamma_{1}$ или $\Gamma_{2}$. Если $f(z)$ ограничена в области между $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$, то тогда $\lim f(z)=0$, когда $z \rightarrow \infty$ по этой области.

Пусть $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ — кривые задачи 339. Если $f(z)$ регулярна и ограничена в области между $\Gamma_{1}$ и $\Gamma_{2}$ и если, кроме того, $\lim f(z)=a$, когда $z \rightarrow \infty$ вдоль $\Gamma_{1}$, и $\lim f(z)=b$, когда $z \rightarrow \infty$ вдоль $\Gamma_{2}$, то тогда $a=b$.