Глава 3.1

Комплексные числа и числовые последовательности

[54/100%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

1 · Области и кривые. Действия с комплексными переменными[15/100%]

Задача 3.1

Показать, что $z+\overline{z}$ — вещественное, $z-\overline{z}$ — чисто мнимое, $z \overline{z}$ — вещественное и неотрицательное.

Задача 3.2

Какие части плоскости $z$ выделяются условиями

\begin{gathered} \mathrm{Re}\left(z\right)>0 ; \quad \mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0 ; \quad a<\mathrm{Im}\left(z\right)<b ; \quad \alpha \leqslant \arg z \leqslant \beta ; \quad \mathrm{Re}\left(z\right)=0 ; \\ \left|z-z_{0}\right|=R ; \left|z-z_{0}\right|<R ; \left|z-z_{0}\right| \leqslant R ; R \leqslant \left|z\right| \leqslant R^{\prime } ; \mathrm{Re}\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{R} \end{gathered}

( $a, b, \alpha , \beta , R, R^{\prime }$ — вещественные, $z_{0}$ — комплексное, $a<b$ , $\alpha <\beta <\alpha +2 \pi$ , $0<R<R^{\prime }$ )?

Задача 3.3

Какие части плоскости $z$ выделяются условиями

\left|z-a\right|+\left|z-b\right|=k, \quad \left|z-a\right|+\left|z-b\right| \leqslant k \quad (k>0) ?

Задача 3.4

Какая часть плоскости $z$ выделяется условием

\left|z^{2}+a z+b\right|<R^{2} ?

Для каких значений $R$ она связная, для каких — нет?

Задача 3.5

Пусть $\left|a\right|<1$ . Точки плоскости $z$ разбиваются на три категории сообразно тому, будет ли модуль выражения

\frac{z-a}{1-\overline{a} z}

меньше, равен или больше единицы. Где расположены точки каждой категории?

Задача 3.6

Пусть $\mathrm{Re}\left(a\right)>0$ . Точки плоскости $z$ разбиваются на три категории сообразно тому, будет ли модуль выражения

\frac{a-z}{\overline{a}+z}

меньше, равен или больше единицы. Где расположены точки каждой категории?

Задача 3.7

Пусть комплексные переменные $z_{1}$ и $z_{2}$ связаны соотношением

\alpha z_{1} \overline{z}_{1}+\overline{a} z_{1} \overline{z}_{2}+\alpha \overline{z}_{1} z_{2}+\beta z_{2} \overline{z}_{2}=0,

где $\alpha , \beta$ — вещественные, $a$ — комплексное, все три постоянные. Показать, что при $\alpha \beta -a \overline{a}<0$ значения $\frac{z_{1}}{z_{2}}$ лежат на некоторой окружности или прямой. (Левая сторона уравнения называется эрмитовой формой от переменных $z_{1}$ и $z_{2}$ .)

Задача 3.8

Какие кривые описываются точками $z_{1}=i a+a t$ , $z_{2}=-i b e^{-i t}$ , $z=i a+a t-i b e^{-i t}$ , где $a, b$ — положительные постоянные, а вещественная переменная $t$ обозначает время?

Задача 3.9

По какой кривой перемещается точка

z=(a+b) e^{i t}-b e^{i \frac{a+b}{b} t}

( $a, b$ — положительные постоянные, $t$ — время)?

Задача 3.10

Пусть радиус-вектор $r$ и аргумент $\vartheta$ — функции от времени $t$ . Тогда комплексная функция $z=r e^{i \vartheta }$ вещественного переменного $t$ представляет движение точки $z$ в плоскости. Вычислить компоненты скорости и ускорения по направлениям, параллельному и перпендикулярному к радиусу-вектору.

Задача 3.11

Для каких значений $z$ $n$ -й член $\frac{z^{n}}{n!}$ ряда

1+\frac{z}{1!}+\frac{z^{2}}{2!}+\ldots +\frac{z^{n}}{n!}+\ldots

(показательного ряда, распространенного на комплексную плоскость) превосходит по модулю каждый другой член этого ряда $(n=0,1,2, \ldots )$ ?

Задача 3.12

Для каких значений $z$ $n$ -й член ряда

\begin{aligned} 1+\frac{z}{1}+\frac{z(z-1)}{1 \cdot 2}+\frac{z(z-1)(z-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3} & +\ldots \\ & \ldots +\frac{z(z-1) \ldots (z-n+1)}{1 \cdot 2 \ldots n}+\ldots =\sum _{n=0}^{\infty }\binom {z}{n} \end{aligned}

(биномиальный ряд для $(1+t)^{z}$ при $t=1$ и $z$ комплексном) превосходит по модулю каждый другой член этого ряда ( $n=0,1,2, \ldots$ )?

Задача 3.13

Положим

P_{0}(z)=z, \quad P_{n}(z)=z\left(1-\frac{z^{2}}{1^{2}}\right)\left(1-\frac{z^{2}}{2^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{z^{2}}{n^{2}}\right)

$(n=1,2,3, \ldots )$ . Для каких значений $z$ число $\left|P_{n}(z)\right|$ превосходит $\left|P_{0}(z)\right|, \left|P_{1}(z)\right|, \ldots , \left|P_{n-1}(z)\right|, \left|P_{n+1}(z)\right|, \ldots$ ? ( $P_{n}(z)$ есть $n$ -е частичное произведение в разложении

\frac{\sin \pi z}{\pi }=z\left(1-\frac{z^{2}}{1^{2}}\right)\left(1-\frac{z^{2}}{2^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{z^{2}}{n^{2}}\right) \ldots )

Задача 3.14

Если в интервале $a \leqslant t \leqslant b$ вещественная функция $f(t)$ положительна и непрерывна, а вещественная функция $\varphi (t)$ собственно интегрируема, то

\left|\int _{a}^{b} f(t) e^{i \varphi (t)} d t\right| \leqslant \int _{a}^{b} f(t) d t .

Равенство достигается тогда и только тогда, когда функция $\varphi (t)$ во всех своих точках непрерывности имеет одно и то же значение $\bmod 2 \pi$ .

Задача 3.15

Пусть вещественная функция $\varphi (t)$ , $t \geqslant 0$ , собственно интегрируема во всяком конечном интервале. Показать, что тогда интегралы

\int _{0}^{\infty } e^{-(t+i \varphi (t))} d t=P, \quad \int _{0}^{\infty } e^{-2(t+i \varphi (t))} d t=Q

удовлетворяют неравенству

\left|4 P^{2}-2 Q\right| \leqslant 3,

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда функция $\varphi (t)$ во всех своих точках непрерывности имеет одно и то же значение $\bmod 2 \pi$ .

Примечание.

K. Löwner. Math. Ann., т. 89, стр. 120, 1923.

2 · Расположение корней алгебраических уравнений[12/100%]

Задача 3.16

Полином вида

z^{n}-p_{1} z^{n-1}-p_{2} z^{n-2}-\ldots -p_{n-1} z-p_{n},

где

p_{1} \geqslant 0, \quad p_{2} \geqslant 0, \ldots , p_{n} \geqslant 0, \quad p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}>0,

имеет единственный положительный нуль.

Задача 3.17

Если $z_{0}$ — любой нуль полинома

z^{n}+a_{1} z^{n-1}+a_{2} z^{n-2}+\ldots +a_{n},

то $\left|z_{0}\right|$ не может превосходить единственного положительного нуля $\zeta$ полинома

z^{n}-\left|a_{1}\right| z^{n-1}-\left|a_{2}\right| z^{n-2}-\ldots -\left|a_{n}\right| .

Задача 3.18

Нули полинома

P(z)=z^{n}+a_{1} z^{n-1}+a_{2} z^{n-2}+\ldots +a_{n},

где $a_{n} \neq 0$ , по модулю не меньше единственного положительного нуля полинома

z^{n}+\left|a_{1}\right| z^{n-1}+\left|a_{2}\right| z^{n-2}+\ldots +\left|a_{n-1}\right| z-\left|a_{n}\right| .

Задача 3.19

Все нули полинома $z^{n}+c$ лежат на окружности с центром $z=0$ и радиусом $\left|c\right|^{\frac{1}{n}}$ .

Задача 3.20

Пусть $d_{0}, d_{1}, \ldots , d_{n-1}, d_{n}$ — положительные числа и

d_{n} \geqslant \left|a_{1}\right| d_{n-1}+\left|a_{2}\right| d_{n-2}+\ldots +\left|a_{n}\right| d_{0} .

Нули полинома

z^{n}+a_{1} z^{n-1}+a_{2} z^{n-2}+\ldots +a_{n}

не превосходят по модулю наибольшего из чисел

\frac{d_{n}}{d_{n-1}}, \quad \sqrt{\frac{d_{n}}{d_{n-2}}}, \quad \sqrt[3]{\frac{d_{n}}{d_{n-3}}}, \ldots , \quad \sqrt[n]{\frac{d_{n}}{d_{0}}} .

Задача 3.21

Корни уравнения

z^{n}+a_{1} z^{n-1}+a_{2} z^{n-2}+\ldots +a_{n}=0

не превосходят по модулю наибольшего из чисел

n\left|a_{1}\right|, \quad \sqrt{n\left|a_{2}\right|}, \quad \sqrt[3]{n\left|a_{3}\right|}, \ldots , \quad \sqrt[n]{n\left|a_{n}\right|},

а также наибольшего из чисел

\sqrt[k]{\frac{2^{n}-1}{\binom {n}{k}}\left|a_{k}\right|} \quad (k=1,2,3, \ldots , n) .

Задача 3.22

Пусть

p_{0}>p_{1}>p_{2}>\ldots >p_{n}>0 .

Показать, что в единичном круге $\left|z\right| \leqslant 1$ не содержится ни одного нуля полинома

p_{0}+p_{1} z+p_{2} z^{2}+\ldots +p_{n} z^{n} .

Примечание.

G. Eneström, Öfv. af vet.-akad. förh. 1893, стр. 405--415; Tôhoku Math. J., т. 18, стр. 34--36, 1920; S. Kakeya, Tôhoku Math. J., т. 2, стр. 140--142, 1912; A. Hurwitz, там же, т. 4, стр. 89, 1913.

Задача 3.23

Если все коэффициенты $p_{0}, p_{1}, \ldots , p_{n}$ полинома

p_{0} z^{n}+p_{1} z^{n-1}+\ldots +p_{n-1} z+p_{n}

положительны, то нули его лежат в круговом кольце $\alpha \leqslant \left|z\right| \leqslant \beta$ , где $\alpha$ — наименьшее, а $\beta$ — наибольшее из чисел

\frac{p_{1}}{p_{0}}, \frac{p_{2}}{p_{1}}, \frac{p_{3}}{p_{2}}, \ldots , \frac{p_{n}}{p_{n-1}} .

Задача 3.24

Пусть $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ , $n \geqslant 1$ , — цифры некоторого $(n+1)$ -значного числа

a_{0}+a_{1} 10+a_{2} 10^{2}+\ldots +a_{n} 10^{n} .

Тогда нули полинома

a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}

лежат либо внутри левой полуплоскости, либо в круге

\left|z\right|<\frac{1+\sqrt{37}}{2} .

В последнем случае точная верхняя граница для $\left|z\right|$ заключается между 3 и 4.

Задача 3.25

Пусть все нули полинома

P(z)=a_{0} z^{n}+a_{1} z^{n-1}+\ldots +a_{n-1} z+a_{n}

лежат в верхней полуплоскости $\mathrm{Im}\left(z\right)>0$ . Пусть, далее, $a_{v}=\alpha_{v}+i \beta_{v}$ , $\alpha_{v}, \beta_{v}$ вещественны $(v=0,1,2, \ldots , n)$ . Тогда

U(z)=\alpha _{0} z^{n}+\alpha _{1} z^{n-1}+\ldots +\alpha _{n-1} z+\alpha _{n}

V(z)=\beta _{0} z^{n}+\beta _{1} z^{n-1}+\ldots +\beta _{n-1} z+\beta _{n}

имеют лишь вещественные нули.

Примечание.

Ch. Hermite и Ch. Biehler; см. Laguerre, Oeuvres, т. 1, стр. 109, Paris, Gauthier-Villars, 1898.

Задача 3.26

Пусть $P(z)=0$ — алгебраическое уравнение $n$ -й степени, все корни которого лежат внутри единичного круга $\left|z\right|<1$ . Обозначим через $\overline{P}(z)$ полином, полученный из $P(z)$ заменой всех коэффициентов сопряженными числами, и положим $P^{*}(z)=z^{n} \overline{P}\left(z^{-1}\right)$ . Все корни уравнения $P(z)+P^{*}(z)=0$ будут лежать на окружности единичного круга $\left|z\right|=1$ .

Примечание.

См. I. Schur, J. für Math., т. 147, стр. 230, 1917.

Задача 3.27

Если полином $n$ -й степени, $n \geqslant 2$ , принимает при $z=a$ и $z=b$ соответственно значения $\alpha$ и $\beta$ , где $a \neq b$ , $\alpha \neq \beta$ , то он принимает каждое значение $\gamma$ , лежащее на отрезке, соединяющем $\alpha$ и $\beta$ , по крайней мере один раз внутри или на границе фигуры, образованной двумя круговыми дугами, из которых отрезок $a b$ виден под углом $\frac{\pi }{n}$ .

Примечание.

M. Fekete¹.

*) См. Acta Litter. ac Scient. (Szeged), т. 1, стр. 98–100, 1923. ↩

3 · Нули многочленов, продолжение. Теорема Гаусса[8/100%]

Задача 3.28

Если комплексные числа $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ (т. е. представляющие их точки) лежат все по одну и ту же сторону от некоторой прямой, проходящей через точку 0, то

z_{1}+z_{2}+\ldots +z_{n} \neq 0, \quad \frac{1}{z_{1}}+\frac{1}{z_{2}}+\ldots +\frac{1}{z_{n}} \neq 0 .

Задача 3.29

Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — любые комплексные числа с суммой 0. Тогда каждая прямая $g$ , проходящая через точку 0, разделяет числа $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ , т. е. эти числа расположены частью по одну, частью по другую сторону от прямой $g$ , если только они не все лежат на $g$ .

Задача 3.30

Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — любые точки в комплексной плоскости, $m_{1}>0, m_{2}>0, \ldots , m_{n}>0$ , $m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{n}=1$ . Тогда каждая прямая, проходящая через точку

z=m_{1} z_{1}+m_{2} z_{2}+\ldots +m_{n} z_{n},

разделяет точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ , если только они не все расположены на этой прямой.

Задача 3.31

Производная $P^{\prime }(z)$ полинома $P(z)$ не может иметь нулей вне наименьшего выпуклого полигона (соответственно наименьшего отрезка), содержащего все нули $P(z)$ , причем те нули $P^{\prime }(z)$ , которые отличны от нулей $P(z)$ , лежат внутри этого полигона (отрезка).

Примечание.

Gauss, Opera omnia, т. 3, стр. 112, Göttingen, Ges. d. Wiss., 1886; т. 8, стр. 32, 1900; Ch. F. Lucas, C. R., т. 67, стр. 163--164, 1868; т. 106, стр. 121--122, 1888. См. также L. Fejér, C. R., т. 145, стр. 460, 1907 и Math. Ann., т. 65, стр. 417, 1907.

Задача 3.32

Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — любые отличные друг от друга комплексные числа. Рассмотрим совокупность всех полиномов $P(z)$ , имеющих нулями (любой кратности) лишь эти точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ . Показать, что множество нулей всех $P^{\prime }(z)$ всюду плотно в наименьшем выпуклом полигоне, содержащем $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ .

Примечание.

L. Fejér, O. Toeplitz.

Задача 3.33

Нули разности $c P^{\prime }(z)-P(z)$ , где $P(z)$ — полином, $c \neq 0$ , расположены в наименьшем выпуклом полигоне, содержащем лучи, проведенные из нулей $P(z)$ параллельно вектору $c$ . При этом нуль рассматриваемой разности $c P^{\prime }(z)-P(z)$ может лежать на границе указанной области лишь в двух следующих случаях:

если он одновременно является нулем также полинома $P(z)$ ;
если эта область приводится к лучу.

Примечание.

M. Fujiwara, Tôhoku Math. J., т. 9, стр. 102--108, 1916; T. Takagi, Proc. Phys.-Math. Soc. of Japan (3), т. 3, стр. 175--179, 1921.

Задача 3.34

Пусть $\rho_{1}, \rho_{2}, \ldots , \rho_{p}$ — положительные, $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{p}$ — любые комплексные числа и полиномы $A(z)$ и $B(z)$ соответственно $p$ -й и $(p-1)$ -й степени определяются тождеством

\frac{B(z)}{A(z)}=\frac{\rho _{1}}{z-a_{1}}+\frac{\rho _{2}}{z-a_{2}}+\ldots +\frac{\rho _{p}}{z-a_{p}} .

Показать, что нули каждого полинома $P(z)$ , являющегося делителем полинома $A(z) P^{\prime \prime }(z)+2 B(z) P^{\prime }(z)$ , т. е. для которого выполняется тождество

A(z) P^{\prime \prime }(z)+2 B(z) P^{\prime }(z)=C(z) P(z),

где $C(z)$ — полином, расположены в наименьшем выпуклом полигоне, содержащем числа $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{p}$ .

Примечание.

T. J. Stieltjes, Acta Math., т. 6, стр. 321--326, 1885; G. Pólya, C. R., т. 155, стр. 767, 1912.

Задача 3.35

Если полином $f(z)$ с вещественными коэффициентами имеет лишь вещественные нули, то то же справедливо и для его производной $f^{\prime }(z)$ . Если $f(z)$ имеет комплексные нули, то эти последние попарно сопряжены, т. е. попарно симметричны относительно вещественной оси. Построим на каждом отрезке, соединяющем пару сопряженных корней, как на диаметре, круг. Тогда комплексные корни $f^{\prime }(z)$ , в случае если они имеются, будут лежать внутри построенных кругов.

Примечание.

J. L. W. V. Jensen, Acta Math., т. 36, стр. 190, 1913; J. v. Sz. Nagy, Deutsche Math.-Ver., т. 31, стр. 239--240, 1922.

4 · Последовательности комплексных чисел[8/100%]

Задача 3.36

Если числа $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, \ldots$ лежат все в угле $-\alpha \leqslant \arg z \leqslant \alpha$ , $\alpha <\frac{\pi }{2}$ , то ряды $z_{1}+z_{2}+\ldots +z_{n}+\ldots$ и $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\ldots +\left|z_{n}\right|+\ldots$ либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Задача 3.37

Пусть числа $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, \ldots$ лежат все в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$ . Если сходятся оба ряда

z_{1}+z_{2}+\ldots +z_{n}+\ldots , \quad z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\ldots +z_{n}^{2}+\ldots ,

то сходится также ряд

\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{2}\right|^{2}+\ldots +\left|z_{n}\right|^{2}+\ldots

Задача 3.38

Существуют такие комплексные последовательности $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, \ldots$ , что все ряды

z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\ldots +z_{n}^{k}+\ldots \quad (k=1,2,3, \ldots )

сходятся, тогда как все соответствующие им ряды абсолютных значений

\left|z_{1}\right|^{k}+\left|z_{2}\right|^{k}+\ldots +\left|z_{n}\right|^{k}+\ldots \quad (k=1,2,3, \ldots )

расходятся.

Задача 3.39

Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, \ldots$ — любые комплексные числа. Если существует такое положительное расстояние $\delta$ , что $\left|z_{l}-z_{k}\right| \geqslant \delta$ для $l \neq k$ $(l, k=1,2,3, \ldots )$ , то показатель сходимости последовательности модулей $\left|z_{1}\right|, \left|z_{2}\right|, \ldots , \left|z_{n}\right|, \ldots$ не превосходит 2. [I 114.]

Задача 3.40

Предельные точки последовательности комплексных чисел

\frac{1^{i \alpha }+2^{i \alpha }+3^{i \alpha }+\ldots +n^{i \alpha }}{n}

( $\alpha \neq 0$ и вещественно, $n=1,2,3, \ldots$ ) заполняют окружность с центром в точке 0 и с радиусом $\left(1+\alpha^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}$ .

Задача 3.41

Где расположены предельные точки последовательности $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, \ldots$ с общим членом

z_{n}=\left(1+\frac{i}{1}\right)\left(1+\frac{i}{2}\right)\left(1+\frac{i}{3}\right) \ldots \left(1+\frac{i}{n}\right) ?

Задача 3.42

Положим

\left(1+\frac{i}{\sqrt{1}}\right)\left(1+\frac{i}{\sqrt{2}}\right) \ldots \left(1+\frac{i}{\sqrt{n}}\right)=z_{n}

и соединим точки $z_{n-1}$ и $z_{n}$ $(n=2,3,4, \ldots )$ прямолинейными отрезками. Эти отрезки имеют все одинаковую длину 1, и образованная ими ломаная при увеличении $n$ все более приближается по форме к спирали Архимеда; т. е., полагая $z_{n}=r_{n} e^{i \varphi_{n}}$ , $r_{n}>0$ , $0<\varphi_{n}-\varphi_{n-1}<\frac{\pi }{2}$ , имеем:

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{r_{n}-r_{n-1}}{\varphi _{n}-\varphi _{n-1}}=\frac{1}{2}, \quad \lim _{n \rightarrow \infty } \frac{r_{n}}{\varphi _{n}}=\frac{1}{2} .

Задача 3.43

Пусть $z=2 n e^{\frac{i t}{\sqrt{n}}}$ , где $t$ — вещественное число. Показать, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt{\frac{n}{\pi }} \frac{2^{z} n!}{z(z-1)(z-2) \ldots (z-n)}=e^{-t^{2}} .

5 · Последовательности комплексных чисел, продолжение: преобразование последовательностей[7/100%]

Задача 3.44

Доказать более легкую часть теоремы о числовых схемах, сохраняющих сходимость: достаточность условий 1, 2, т. е. что схема сохраняет сходимость, если

для каждого фиксированного $v$ существует $\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n v}=a_{v}$ ;
последовательность $\sigma_{n}=\sum_{v=0}^{n} a_{n v}$ сходится, а последовательность $\zeta_{n}=\sum_{v=0}^{n} \left|a_{n v}\right|$ ограничена.

Задача 3.45

Каким свойством должен обладать ряд $u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{n}+\ldots$ , чтобы при умножении его на любой сходящийся ряд $v_{0}+v_{1}+v_{2}+\ldots +v_{n}+\ldots$ по правилу Коши [I 34, II 23, VIII, гл. 1, § 5] получающийся ряд

\begin{aligned} u_{0} v_{0}+\left(u_{0} v_{1}+u_{1} v_{0}\right)+\left(u_{0} v_{2}+u_{1} v_{1}+u_{2} v_{0}\right) & +\ldots \\ & \ldots +\left(u_{0} v_{n}+u_{1} v_{n-1}+\ldots +u_{n-1} v_{1}+u_{n} v_{0}\right)+\ldots \end{aligned}

был сходящимся?

Примечание.

См. I. Schur, J. für Math., т. 151, стр. 100--101, 1921; F. Mertens, J. für Math., т. 79, стр. 182--184, 1875.

Задача 3.46

Каким свойством должен обладать ряд $u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{n}+\ldots$ , чтобы при умножении его на любой сходящийся ряд $v_{1}+v_{2}+\ldots +v_{n}+\ldots$ по правилу Дирихле (VIII, гл. 1, § 5) получающийся ряд

u_{1} v_{1}+\left(u_{1} v_{2}+u_{2} v_{1}\right)+\left(u_{1} v_{3}+u_{3} v_{1}\right)+\ldots +\sum _{t \mid n} u_{t} v_{\frac{n}{t}}+\ldots

был сходящимся?

Примечание.

См. I. Schur, l. c. 45, стр. 103--104; T. J. Stieltjes, Nouv. Ann., серия 3, т. 6, стр. 210--213, 1887.

Задача 3.47

Для того чтобы с помощью последовательности множителей

\gamma _{0}, \gamma _{1}, \gamma _{2}, \ldots , \gamma _{n}, \ldots

каждый сходящийся ряд $a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}+\ldots$ преобразовывался в сходящийся же ряд

\gamma _{0} a_{0}+\gamma _{1} a_{1}+\gamma _{2} a_{2}+\ldots +\gamma _{n} a_{n}+\ldots ,

необходимо и достаточно, чтобы ряд

\left|\gamma _{0}-\gamma _{1}\right|+\left|\gamma _{1}-\gamma _{2}\right|+\ldots +\left|\gamma _{n}-\gamma _{n+1}\right|+\ldots

был сходящимся.

Примечание.

R. Dedekind, см. P. G. Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, 4-е изд., стр. 376, Braunschweig, Fr. Vieweg, 1894¹; J. Hadamard, Acta Math., т. 27, стр. 177--183, 1903. Ср. I. Schur, l. c. 45, стр. 104--105.

*) П. Г. Лежен Дирихле, Лекции по теории чисел, ОНТИ, 1936, стр. 323. ↩

Задача 3.48

Показать, что теорема: «из существования предела

\lim _{n \rightarrow \infty }\left(u_{0}+u_{1}+\ldots +u_{n-1}+c u_{n}\right)=\alpha

вытекает существование предела

\lim _{n \rightarrow \infty }\left(u_{0}+u_{1}+\ldots +u_{n-1}+u_{n}\right)=\alpha \text{»}

верна при $c=0$ и при $\mathrm{Re}\left(c\right)>\frac{1}{2}$ и не верна при $\mathrm{Re}\left(c\right) \leqslant \frac{1}{2}$ , $c \neq 0$ .

Примечание.

См. G. Pólya, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 24, стр. 282, 1916. Решение — S. Sidon, там же, серия 3, т. 26, стр. 68, 1917.

Задача 3.49

Пусть $u_{0}, u_{1}, u_{2}, \ldots , u_{n}, \ldots$ — произвольные комплексные числа. Для каких значений $c$ из существования предела

\lim _{n \rightarrow \infty }\left(u_{n}+c \frac{u_{0}+u_{1}+\ldots +u_{n}}{n+1}\right)

вытекает существование предела

\lim _{n \rightarrow \infty } u_{n} ?

Примечание.

I. Schur, Math. Ann., т. 74, стр. 453--456, 1913.

Задача 3.50

Если ряд Дирихле

a_{1} 1^{-s}+a_{2} 2^{-s}+a_{3} 3^{-s}+\ldots +a_{n} n^{-s}+\ldots

сходится при $s=\sigma +i \tau$ ( $\sigma , \tau$ вещественны), где $\sigma >0$ , то

\lim _{t \rightarrow 1-0}(1-t)^{\sigma }\left(a_{1} t+a_{2} t^{2}+a_{3} t^{3}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots \right)=0 .

6 · Перестановка членов бесконечных рядов[4/100%]

Задача 3.51

Ряд из комплексных членов, каждая часть которого сходится, должен сходиться абсолютно. [I 125.]

Задача 3.52

Если ряд $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\ldots +\left|z_{n}\right|+\ldots$ расходится, то существует по крайней мере одно направление сгущения $\alpha$ , обладающее тем свойством, что, каково бы ни было $\varepsilon >0$ , ряд абсолютных величин тех членов ряда $z_{1}+z_{2}+\ldots +z_{n}+\ldots$ , которые расположены в угле $\alpha -\varepsilon <\arg z<\alpha +\varepsilon$ , является расходящимся.

Задача 3.53

Если $\lim_{n \rightarrow \infty } z_{n}=0$ и направление положительной вещественной полуоси является направлением сгущения для не абсолютно сходящегося ряда $z_{1}+z_{2}+z_{3}+\ldots$ , то из этого последнего можно выбрать ряд $z_{r_{1}}+z_{r_{2}}+z_{r_{3}}+\ldots$ , вещественная часть которого расходится к $+\infty$ , тогда как мнимая часть сходится.

Задача 3.54

Если ряд $z_{1}+z_{2}+z_{3}+\ldots$ сходится не абсолютно, то надлежащей перестановкой членов этого ряда можно получить в качестве его суммы любую точку некоторой прямой в комплексной плоскости.

Примечание.

Дальнейшие результаты у P. Lévy, Nouv. Ann., серия 4, т. 5, стр. 506--511, 1905; E. Steinitz, J. für Math., т. 143, стр. 128--175, 1913.

Комплексные числа и числовые последовательности

Footnotes

Footnotes