5

Последовательности комплексных чисел, продолжение: преобразование последовательностей

[7/100%]
Показать
LaTeX
Задача 3.44

Доказать более легкую часть теоремы о числовых схемах, сохраняющих сходимость: достаточность условий 1, 2, т. е. что схема сохраняет сходимость, если

  1. для каждого фиксированного vv существует lim⁡n→∞anv=av\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n v}=a_{v};

  2. последовательность σn=∑v=0nanv\sigma_{n}=\sum_{v=0}^{n} a_{n v} сходится, а последовательность ζn=∑v=0n∣anv∣\zeta_{n}=\sum_{v=0}^{n} \left|a_{n v}\right| ограничена.

?
Задача 3.45

Каким свойством должен обладать ряд u0+u1+u2+…+un+…u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{n}+\ldots, чтобы при умножении его на любой сходящийся ряд v0+v1+v2+…+vn+…v_{0}+v_{1}+v_{2}+\ldots +v_{n}+\ldots по правилу Коши [I 34, II 23, VIII, гл. 1, § 5] получающийся ряд

u0v0+(u0v1+u1v0)+(u0v2+u1v1+u2v0)+……+(u0vn+u1vn−1+…+un−1v1+unv0)+… \begin{aligned} u_{0} v_{0}+\left(u_{0} v_{1}+u_{1} v_{0}\right)+\left(u_{0} v_{2}+u_{1} v_{1}+u_{2} v_{0}\right) & +\ldots \\ & \ldots +\left(u_{0} v_{n}+u_{1} v_{n-1}+\ldots +u_{n-1} v_{1}+u_{n} v_{0}\right)+\ldots \end{aligned}

был сходящимся?

?
Примечание.
?

См. I. Schur, J. für Math., т. 151, стр. 100--101, 1921; F. Mertens, J. für Math., т. 79, стр. 182--184, 1875.

Задача 3.46

Каким свойством должен обладать ряд u1+u2+…+un+…u_{1}+u_{2}+\ldots +u_{n}+\ldots, чтобы при умножении его на любой сходящийся ряд v1+v2+…+vn+…v_{1}+v_{2}+\ldots +v_{n}+\ldots по правилу Дирихле (VIII, гл. 1, § 5) получающийся ряд

u1v1+(u1v2+u2v1)+(u1v3+u3v1)+…+∑t∣nutvnt+… u_{1} v_{1}+\left(u_{1} v_{2}+u_{2} v_{1}\right)+\left(u_{1} v_{3}+u_{3} v_{1}\right)+\ldots +\sum _{t \mid n} u_{t} v_{\frac{n}{t}}+\ldots

был сходящимся?

?
Примечание.
?

См. I. Schur, l. c. 45, стр. 103--104; T. J. Stieltjes, Nouv. Ann., серия 3, т. 6, стр. 210--213, 1887.

Задача 3.47

Для того чтобы с помощью последовательности множителей

γ0,γ1,γ2,…,γn,… \gamma _{0}, \gamma _{1}, \gamma _{2}, \ldots , \gamma _{n}, \ldots

каждый сходящийся ряд a0+a1+a2+…+an+…a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}+\ldots преобразовывался в сходящийся же ряд

γ0a0+γ1a1+γ2a2+…+γnan+…, \gamma _{0} a_{0}+\gamma _{1} a_{1}+\gamma _{2} a_{2}+\ldots +\gamma _{n} a_{n}+\ldots ,

необходимо и достаточно, чтобы ряд

∣γ0−γ1∣+∣γ1−γ2∣+…+∣γn−γn+1∣+… \left|\gamma _{0}-\gamma _{1}\right|+\left|\gamma _{1}-\gamma _{2}\right|+\ldots +\left|\gamma _{n}-\gamma _{n+1}\right|+\ldots

был сходящимся.

?
Примечание.
?

R. Dedekind, см. P. G. Lejeune-Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, 4-е изд., стр. 376, Braunschweig, Fr. Vieweg, 18941; J. Hadamard, Acta Math., т. 27, стр. 177--183, 1903. Ср. I. Schur, l. c. 45, стр. 104--105.

Footnotes

  1. *) П. Г. Лежен Дирихле, Лекции по теории чисел, ОНТИ, 1936, стр. 323. ↩

Задача 3.48

Показать, что теорема: «из существования предела

lim⁡n→∞(u0+u1+…+un−1+cun)=α \lim _{n \rightarrow \infty }\left(u_{0}+u_{1}+\ldots +u_{n-1}+c u_{n}\right)=\alpha

вытекает существование предела

lim⁡n→∞(u0+u1+…+un−1+un)=α» \lim _{n \rightarrow \infty }\left(u_{0}+u_{1}+\ldots +u_{n-1}+u_{n}\right)=\alpha \text{»}

верна при c=0c=0 и при Re(c)>12\mathrm{Re}\left(c\right)>\frac{1}{2} и не верна при Re(c)⩽12\mathrm{Re}\left(c\right) \leqslant \frac{1}{2}, c≠0c \neq 0.

?
Примечание.
?

См. G. Pólya, задача; Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 24, стр. 282, 1916. Решение — S. Sidon, там же, серия 3, т. 26, стр. 68, 1917.

Задача 3.49

Пусть u0,u1,u2,…,un,…u_{0}, u_{1}, u_{2}, \ldots , u_{n}, \ldots — произвольные комплексные числа. Для каких значений cc из существования предела

lim⁡n→∞(un+cu0+u1+…+unn+1) \lim _{n \rightarrow \infty }\left(u_{n}+c \frac{u_{0}+u_{1}+\ldots +u_{n}}{n+1}\right)

вытекает существование предела

lim⁡n→∞un? \lim _{n \rightarrow \infty } u_{n} ?
?
Примечание.
?

I. Schur, Math. Ann., т. 74, стр. 453--456, 1913.

Задача 3.50

Если ряд Дирихле

a11−s+a22−s+a33−s+…+ann−s+… a_{1} 1^{-s}+a_{2} 2^{-s}+a_{3} 3^{-s}+\ldots +a_{n} n^{-s}+\ldots

сходится при s=σ+iτs=\sigma +i \tau (σ,τ\sigma , \tau вещественны), где σ>0\sigma >0, то

lim⁡t→1−0(1−t)σ(a1t+a2t2+a3t3+…+antn+…)=0. \lim _{t \rightarrow 1-0}(1-t)^{\sigma }\left(a_{1} t+a_{2} t^{2}+a_{3} t^{3}+\ldots +a_{n} t^{n}+\ldots \right)=0 .
?