Банк задач по математике

Задача 3.16

Полином вида

z^{n}-p_{1} z^{n-1}-p_{2} z^{n-2}-\ldots -p_{n-1} z-p_{n},

где

p_{1} \geqslant 0, \quad p_{2} \geqslant 0, \ldots , p_{n} \geqslant 0, \quad p_{1}+p_{2}+\ldots +p_{n}>0,

имеет единственный положительный нуль.

?

Задача 3.17

Если $z_{0}$ — любой нуль полинома

z^{n}+a_{1} z^{n-1}+a_{2} z^{n-2}+\ldots +a_{n},

то $\left|z_{0}\right|$ не может превосходить единственного положительного нуля $\zeta$ полинома

z^{n}-\left|a_{1}\right| z^{n-1}-\left|a_{2}\right| z^{n-2}-\ldots -\left|a_{n}\right| .

?

Задача 3.18

Нули полинома

P(z)=z^{n}+a_{1} z^{n-1}+a_{2} z^{n-2}+\ldots +a_{n},

где $a_{n} \neq 0$ , по модулю не меньше единственного положительного нуля полинома

z^{n}+\left|a_{1}\right| z^{n-1}+\left|a_{2}\right| z^{n-2}+\ldots +\left|a_{n-1}\right| z-\left|a_{n}\right| .

?

Задача 3.19

Все нули полинома $z^{n}+c$ лежат на окружности с центром $z=0$ и радиусом $\left|c\right|^{\frac{1}{n}}$ .

?

Задача 3.20

Пусть $d_{0}, d_{1}, \ldots , d_{n-1}, d_{n}$ — положительные числа и

d_{n} \geqslant \left|a_{1}\right| d_{n-1}+\left|a_{2}\right| d_{n-2}+\ldots +\left|a_{n}\right| d_{0} .

Нули полинома

z^{n}+a_{1} z^{n-1}+a_{2} z^{n-2}+\ldots +a_{n}

не превосходят по модулю наибольшего из чисел

\frac{d_{n}}{d_{n-1}}, \quad \sqrt{\frac{d_{n}}{d_{n-2}}}, \quad \sqrt[3]{\frac{d_{n}}{d_{n-3}}}, \ldots , \quad \sqrt[n]{\frac{d_{n}}{d_{0}}} .

?

Задача 3.21

Корни уравнения

z^{n}+a_{1} z^{n-1}+a_{2} z^{n-2}+\ldots +a_{n}=0

не превосходят по модулю наибольшего из чисел

n\left|a_{1}\right|, \quad \sqrt{n\left|a_{2}\right|}, \quad \sqrt[3]{n\left|a_{3}\right|}, \ldots , \quad \sqrt[n]{n\left|a_{n}\right|},

а также наибольшего из чисел

\sqrt[k]{\frac{2^{n}-1}{\binom {n}{k}}\left|a_{k}\right|} \quad (k=1,2,3, \ldots , n) .

?

Задача 3.22

Пусть

p_{0}>p_{1}>p_{2}>\ldots >p_{n}>0 .

Показать, что в единичном круге $\left|z\right| \leqslant 1$ не содержится ни одного нуля полинома

p_{0}+p_{1} z+p_{2} z^{2}+\ldots +p_{n} z^{n} .

?

Примечание.

?

G. Eneström, Öfv. af vet.-akad. förh. 1893, стр. 405--415; Tôhoku Math. J., т. 18, стр. 34--36, 1920; S. Kakeya, Tôhoku Math. J., т. 2, стр. 140--142, 1912; A. Hurwitz, там же, т. 4, стр. 89, 1913.

Задача 3.23

Если все коэффициенты $p_{0}, p_{1}, \ldots , p_{n}$ полинома

p_{0} z^{n}+p_{1} z^{n-1}+\ldots +p_{n-1} z+p_{n}

положительны, то нули его лежат в круговом кольце $\alpha \leqslant \left|z\right| \leqslant \beta$ , где $\alpha$ — наименьшее, а $\beta$ — наибольшее из чисел

\frac{p_{1}}{p_{0}}, \frac{p_{2}}{p_{1}}, \frac{p_{3}}{p_{2}}, \ldots , \frac{p_{n}}{p_{n-1}} .

?

Задача 3.24

Пусть $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ , $n \geqslant 1$ , — цифры некоторого $(n+1)$ -значного числа

a_{0}+a_{1} 10+a_{2} 10^{2}+\ldots +a_{n} 10^{n} .

Тогда нули полинома

a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}+\ldots +a_{n} z^{n}

лежат либо внутри левой полуплоскости, либо в круге

\left|z\right|<\frac{1+\sqrt{37}}{2} .

В последнем случае точная верхняя граница для $\left|z\right|$ заключается между 3 и 4.

?

Задача 3.25

Пусть все нули полинома

P(z)=a_{0} z^{n}+a_{1} z^{n-1}+\ldots +a_{n-1} z+a_{n}

лежат в верхней полуплоскости $\mathrm{Im}\left(z\right)>0$ . Пусть, далее, $a_{v}=\alpha_{v}+i \beta_{v}$ , $\alpha_{v}, \beta_{v}$ вещественны $(v=0,1,2, \ldots , n)$ . Тогда

U(z)=\alpha _{0} z^{n}+\alpha _{1} z^{n-1}+\ldots +\alpha _{n-1} z+\alpha _{n}

и

V(z)=\beta _{0} z^{n}+\beta _{1} z^{n-1}+\ldots +\beta _{n-1} z+\beta _{n}

имеют лишь вещественные нули.

?

Примечание.

?

Ch. Hermite и Ch. Biehler; см. Laguerre, Oeuvres, т. 1, стр. 109, Paris, Gauthier-Villars, 1898.

Задача 3.26

Пусть $P(z)=0$ — алгебраическое уравнение $n$ -й степени, все корни которого лежат внутри единичного круга $\left|z\right|<1$ . Обозначим через $\overline{P}(z)$ полином, полученный из $P(z)$ заменой всех коэффициентов сопряженными числами, и положим $P^{*}(z)=z^{n} \overline{P}\left(z^{-1}\right)$ . Все корни уравнения $P(z)+P^{*}(z)=0$ будут лежать на окружности единичного круга $\left|z\right|=1$ .

?

Примечание.

?

См. I. Schur, J. für Math., т. 147, стр. 230, 1917.

Задача 3.27

Если полином $n$ -й степени, $n \geqslant 2$ , принимает при $z=a$ и $z=b$ соответственно значения $\alpha$ и $\beta$ , где $a \neq b$ , $\alpha \neq \beta$ , то он принимает каждое значение $\gamma$ , лежащее на отрезке, соединяющем $\alpha$ и $\beta$ , по крайней мере один раз внутри или на границе фигуры, образованной двумя круговыми дугами, из которых отрезок $a b$ виден под углом $\frac{\pi }{n}$ .

?

Примечание.

?

M. Fekete¹.

*) См. Acta Litter. ac Scient. (Szeged), т. 1, стр. 98–100, 1923. ↩

Расположение корней алгебраических уравнений

Footnotes