Перестановка членов бесконечных рядов

Ряд из комплексных членов, каждая часть которого сходится, должен сходиться абсолютно. [I 125.]

Если ряд $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\ldots +\left|z_{n}\right|+\ldots$ расходится, то существует по крайней мере одно направление сгущения $\alpha$, обладающее тем свойством, что, каково бы ни было $\varepsilon >0$, ряд абсолютных величин тех членов ряда $z_{1}+z_{2}+\ldots +z_{n}+\ldots$, которые расположены в угле $\alpha -\varepsilon <\arg z<\alpha +\varepsilon$, является расходящимся.

Если $\lim_{n \rightarrow \infty } z_{n}=0$ и направление положительной вещественной полуоси является направлением сгущения для не абсолютно сходящегося ряда $z_{1}+z_{2}+z_{3}+\ldots$, то из этого последнего можно выбрать ряд $z_{r_{1}}+z_{r_{2}}+z_{r_{3}}+\ldots$, вещественная часть которого расходится к $+\infty$, тогда как мнимая часть сходится.

Если ряд $z_{1}+z_{2}+z_{3}+\ldots$ сходится не абсолютно, то надлежащей перестановкой членов этого ряда можно получить в качестве его суммы любую точку некоторой прямой в комплексной плоскости.