Последовательности комплексных чисел

Если числа $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, \ldots$ лежат все в угле $-\alpha \leqslant \arg z \leqslant \alpha$, $\alpha <\frac{\pi }{2}$, то ряды $z_{1}+z_{2}+\ldots +z_{n}+\ldots$ и $\left|z_{1}\right|+\left|z_{2}\right|+\ldots +\left|z_{n}\right|+\ldots$ либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Пусть числа $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, \ldots$ лежат все в полуплоскости $\mathrm{Re}\left(z\right) \geqslant 0$. Если сходятся оба ряда

то сходится также ряд

Существуют такие комплексные последовательности $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, \ldots$, что все ряды

сходятся, тогда как все соответствующие им ряды абсолютных значений

расходятся.

Пусть $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, \ldots$ — любые комплексные числа. Если существует такое положительное расстояние $\delta$, что $\left|z_{l}-z_{k}\right| \geqslant \delta$ для $l \neq k$ $(l, k=1,2,3, \ldots )$, то показатель сходимости последовательности модулей $\left|z_{1}\right|, \left|z_{2}\right|, \ldots , \left|z_{n}\right|, \ldots$ не превосходит 2. [I 114.]

Предельные точки последовательности комплексных чисел

($\alpha \neq 0$ и вещественно, $n=1,2,3, \ldots$) заполняют окружность с центром в точке 0 и с радиусом $\left(1+\alpha^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}$.

Где расположены предельные точки последовательности $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}, \ldots$ с общим членом

Положим

и соединим точки $z_{n-1}$ и $z_{n}$ $(n=2,3,4, \ldots )$ прямолинейными отрезками. Эти отрезки имеют все одинаковую длину 1, и образованная ими ломаная при увеличении $n$ все более приближается по форме к спирали Архимеда; т. е., полагая $z_{n}=r_{n} e^{i \varphi_{n}}$, $r_{n}>0$, $0<\varphi_{n}-\varphi_{n-1}<\frac{\pi }{2}$, имеем:

Пусть $z=2 n e^{\frac{i t}{\sqrt{n}}}$, где $t$ — вещественное число. Показать, что