Глава 2.5

Функции больших чисел

[33/91%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 2.195

Пусть $p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{l}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{l}$ — произвольные положительные числа. Тогда

\lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{p_{1} a_{1}^{n}+p_{2} a_{2}^{n}+\ldots +p_{l} a_{l}^{n}}

существует и равен наибольшему из чисел $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{l}$ .

Задача 2.196

При тех же предположениях имеем также:

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{p_{1} a_{1}^{n+1}+p_{2} a_{2}^{n+1}+\ldots +p_{l} a_{l}^{n+1}}{p_{1} a_{1}^{n}+p_{2} a_{2}^{n}+\ldots +p_{l} a_{l}^{n}}=\operatorname {Max}\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{l}\right) .

Задача 2.197

Пусть $f(x)$ — произвольная целая рациональная функция, имеющая лишь действительные положительные корни, и

-\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\ldots +c_{n} x^{n}+\ldots

Показать, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1}{\sqrt[n]{c_{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{c_{n-1}}{c_{n}}

существует и равен наименьшему корню функции $f(x)$ .

Задача 2.198

Пусть $\varphi (x)$ и $f(x)$ непрерывны и положительны в интервале $a \leqslant x \leqslant b$ . Тогда

\lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{\int _{a}^{b} \varphi (x)[f(x)]^{n} d x}

существует и равен максимуму $f(x)$ в интервале $a \leqslant x \leqslant b$ .

Задача 2.199

При тех же предположениях имеем также:

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\int _{a}^{b} \varphi (x)[f(x)]^{n+1} d x}{\int _{a}^{b} \varphi (x)[f(x)]^{n} d x}=\operatorname {Max} f(x) .

Задача 2.200

Пусть $a<\xi <b$ и $k$ — постоянное положительное число. Показать, что при постоянных $a, b, \xi$ и $n \rightarrow +\infty$

\int _{a}^{b} e^{-k n(x-\xi )^{2}} d x \sim \sqrt{\frac{\pi }{k n}} .

Задача 2.201

Пусть функции $\varphi (x), h(x)$ и $f(x)=e^{h(x)}$ определены в конечном или бесконечном интервале с концами $a, b$ и удовлетворяют следующим условиям:

Функция $\varphi (x)[f(x)]^{n}=\varphi (x) e^{n h(x)}$ абсолютно интегрируема в $[a, b]$ при всех целых $n=0,1,2, \ldots$
Функция $h(x)$ достигает в некоторой точке $\xi$ внутри интервала $[a, b]$ максимума, причем верхняя грань $h(x)$ в каждом замкнутом интервале, не содержащем $\xi$ , меньше чем $h(\xi )$ . Далее, $h^{\prime \prime }(x)$ в некоторой окрестности точки $\xi$ существует и непрерывна и, наконец, $h^{\prime \prime }(\xi )<0$ .
$\varphi (x)$ непрерывна в точке $x=\xi$ , причем $\varphi (\xi ) \neq 0$ . Показать, что при $n \rightarrow +\infty$ имеет место следующая асимптотическая формула¹:

\begin{aligned} & \int _{a}^{b} \varphi (x)[f(x)]^{n} d x \sim \varphi (\xi )[f(\xi )]^{n+\frac{1}{2}} \sqrt{-\frac{2 \pi }{n f^{\prime \prime }(\xi )}}= \\ & =\varphi (\xi ) e^{n h(\xi )} \sqrt{-\frac{2 \pi }{n h^{\prime \prime }(\xi )}} . \end{aligned}

${}^{1}$ ) Лаплас следующим образом высказывается об употреблении подобных интегралов:

«Мы часто приходим к выражениям, содержащим такое количество членов и множителей, что числовые подстановки становятся невыполнимыми. Это имеет место в вопросах о вероятностях, когда рассматривается большое число событий. Однако тогда бывает важно получить числовое значение формул, чтобы узнать, какова вероятность результатов, которые события раскрывают по мере увеличения их числа. Особенно же важно получить закон, по которому эта вероятность непрерывно приближается к достоверности, которой она и достигла бы наконец, если бы число событий стало бесконечным. С этой целью я обратил внимание на то, что определенные интегралы дифференциалов, умноженных на множители, возведенные в высокие степени, дают по интегрировании формулы, состоящие из большого числа членов и множителей»

Употребленный им прием, первый шаг которого приведен в задаче 201, он характеризует далее следующим образом:

«прием, который делает ряд тем быстрее сходящимся, чем сложнее формула, которая его выражает, так что этот прием тем более точен, чем более он необходим» (Laplace, Essai philosophique sur les probabilités, Oeuvres, т. 7, стр. XXXVIII, Paris, Gauthier-Villars, 1886. [Лаплас, Опыт философии теории вероятностей, стр. 52, 53, М., 1908.]) ↩

Задача 2.202

Доказать, основываясь на формуле

\int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \sin ^{2 n} x d x=\int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \cos ^{2 n} x d x=\frac{1 \cdot 3 \ldots (2 n-1)}{2 \cdot 4 \ldots 2 n} \frac{\pi }{2}

( $n$ — целое), что при $n \rightarrow +\infty$

\frac{1 \cdot 3 \ldots (2 n-1)}{2 \cdot 4 \ldots 2 n} \sim \frac{1}{\sqrt{n \pi }} .

Задача 2.203

Показать, что для полинома Лежандра $P_{n}(\lambda )$ $n$ -го порядка при $n \rightarrow \infty$ имеет место следующая асимптотическая формула:

P_{n}(\lambda ) \sim \frac{1}{\sqrt{2 n \pi }} \frac{\left(\lambda +\sqrt{\lambda ^{2}-1}\right)^{n+\frac{1}{2}}}{\sqrt[4]{\lambda ^{2}-1}},

где $\lambda$ — вещественное число $>1$ и корни берутся положительные.

Задача 2.204

Вывести из разложения Ганзена

e^{i t \cos x}=J_{0}(t)+2 \sum _{v=1}^{\infty } i^{v} J_{v}(t) \cos v x,

могущего служить для определения функций Бесселя $J_{v}(t)$ , следующую формулу: при $t \rightarrow +\infty$

J_{v}(i t) \sim i^{v} \frac{e^{t}}{\sqrt{2 \pi t}} \quad (v=0,1,2, \ldots ) .

Задача 2.205

Показать, что при $n \rightarrow \infty$

\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty } e^{-x} x^{n} d x \sim \left(\frac{n}{e}\right)^{n} \sqrt{2 \pi n} ;

более того,

\left(\frac{e}{n}\right)^{n} \Gamma (n+1)=\sqrt{2 \pi n}+O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) . \tag {18, I 167}

Задача 2.206

При $n \rightarrow +\infty$

\binom {n k+l}{n} \sim \frac{(k-1)^{n}}{\sqrt{2 \pi n}}\left(\frac{k}{k-1}\right)^{n k+l+\frac{1}{2}}

( $k$ и $l$ вещественны, $k>1$ ).

Задача 2.207

При вещественном $\alpha$ и $t \rightarrow +\infty$

\int _{1}^{\infty } x^{\alpha }\left(\frac{t e}{x}\right)^{x} \frac{d x}{x} \sim \sqrt{2 \pi } t^{\alpha -\frac{1}{2}} e^{t} .

Задача 2.208

Пусть $0<\alpha <1$ . Тогда при $\tau \rightarrow +0$

\int _{0}^{\infty } e^{\alpha ^{-1} x^{\alpha }-\tau x} d x \sim \sqrt{\frac{2 \pi }{1-\alpha }} \tau ^{-\frac{\alpha }{2(1-\alpha )}-1} \exp \left(\frac{1-\alpha }{\alpha } \tau ^{-\frac{\alpha }{1-\alpha }}\right) .

Задача 2.209

При $\alpha >0$ и $t \rightarrow +\infty$

\int _{0}^{\infty } x^{\alpha x} t^{x} d x \sim \sqrt{\frac{2 \pi }{e \alpha }} t^{\frac{1}{2 \alpha }} \exp \left(e^{-1} \alpha t^{\frac{1}{\alpha }}\right) .

2 · Видоизменения метода[9/100%]

Задача 2.210

При $n \rightarrow +\infty$

\frac{1}{n!} \int _{0}^{n+\alpha \sqrt{n}+\beta } e^{-x} x^{n} d x=A+\frac{B}{\sqrt{n}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right),

где

A=\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int _{-\infty }^{\alpha } e^{-\frac{t^{2}}{2}} d t, \quad B=\frac{1}{\sqrt{2 \pi }}\left(\beta -\frac{\alpha ^{2}+2}{3}\right) e^{-\frac{\alpha ^{2}}{2}},

а $\alpha$ и $\beta$ — постоянные вещественные числа.

Задача 2.211

Пусть $\lambda$ — положительная правильная дробь и $x_{n}$ — единственный положительный корень трансцендентного уравнения

1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\ldots +\frac{x^{n}}{n!}=\lambda e^{x}

[V 42].

Показать, что при $n \rightarrow \infty$

x_{n}=n+\alpha \sqrt{n}+\beta +o(1),

где $\alpha$ и $\beta$ определяются из следующих уравнений:

\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \int _{\alpha }^{\infty } e^{-\frac{t^{2}}{2}} d t=\lambda , \quad \beta =\frac{\alpha ^{2}+2}{3} .

Задача 2.212

(Продолжение задачи 201.) При $n \rightarrow +\infty$

\begin{aligned} \int _{a}^{\xi +\frac{\alpha }{\sqrt{n}}} \varphi (x)[f(x)]^{n} d x \sim \varphi (\xi )[f(\xi )]^{n+\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{-n f^{\prime \prime }(\xi )}} \int _{-\infty }^{\alpha c} e^{-\frac{t^{2}}{2}} d t & = \\ & =\varphi (\xi ) e^{n h(\xi )} \frac{1}{\sqrt{-n h^{\prime \prime }(\xi )}} \int _{-\infty }^{\alpha c} e^{-\frac{t^{2}}{2}} d t . \end{aligned}

Здесь $\alpha$ — постоянное вещественное число и

c=\sqrt{-\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{f(\xi )}}=\sqrt{-h^{\prime \prime }(\xi )} .

Задача 2.213

Пусть функции $\varphi (x), h(x)$ и $f(x)=e^{h(x)}$ определены в конечном или бесконечном интервале $a, b$ и подчинены следующим условиям:

Функция $\varphi (x)[f(x)]^{n}=\varphi (x) e^{n h(x)}$ абсолютно интегрируема в $a, b$ ; $n=0,1,2, \ldots$
Значение функции $h(x)$ в некоторой точке $\xi$ внутри $a, b$ превышает ее верхнюю грань в любом замкнутом интервале, лежащем слева от $\xi$ и не содержащем $\xi$ . Кроме того, в некоторой окрестности точки $\xi$ $h^{\prime \prime }(x)$ существует и ограничена. Наконец, $h^{\prime }(\xi )>0$ .
$\varphi (x)$ непрерывна в точке $x=\xi$ , причем $\varphi (\xi ) \neq 0$ . Показать, что при $n \rightarrow +\infty$ имеет место следующая асимптотическая формула:

\int _{a}^{\xi +\frac{\alpha \ln n}{n}+\frac{\beta }{n}} \varphi (x)[f(x)]^{n} d x \sim \frac{\varphi (\xi )}{h^{\prime }(\xi )} e^{\beta h^{\prime }(\xi )} \cdot n^{\alpha h^{\prime }(\xi )-1} \cdot e^{n h(\xi )} .

Здесь $\alpha$ и $\beta$ — постоянные вещественные числа.

Задача 2.214

Пусть $\xi$ — единственный вещественный корень трансцендентного уравнения $e^{1+\xi } \xi =1$ . Тогда при $n \rightarrow +\infty$

\frac{1}{n!} \int _{0}^{\xi n+\alpha \ln n+\beta } e^{x} x^{n} d x \sim n^{A} B,

где

A=\alpha \frac{1+\xi }{\xi }-\frac{1}{2}, \quad B=\frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \frac{\xi }{1+\xi } e^{\beta \frac{1+\xi }{\xi }},

$\alpha$ и $\beta$ — постоянные вещественные числа.

Задача 2.215

Пусть $n$ нечетно и $-x_{n}$ обозначает единственный вещественный корень уравнения

1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\ldots +\frac{x^{n}}{n!}=0 . \tag {V 42}

Тогда при $n \rightarrow \infty$

x_{n}=\xi n+\alpha \ln n+\beta +o(1),

где $\xi$ имеет значение, определенное в предыдущей задаче, а постоянные $\alpha$ и $\beta$ определяются формулами

\alpha =\frac{1}{2} \frac{\xi }{1+\xi }, \quad \beta =\frac{\xi }{1+\xi } \ln \left(\sqrt{2 \pi } \frac{1+\xi }{\xi }\right) .

Задача 2.216

Пусть $g(x)$ — монотонно возрастающая функция, определенная для положительных $x$ , причем

\lim _{x \rightarrow +\infty } g(x)=+\infty , \quad \lim _{x \rightarrow +\infty } \frac{g(x)}{x}=0 .

Положим

a_{n}=\frac{1}{n!} \int _{0}^{\infty } e^{-x+g(x)} x^{n} d x .

Показать, что если существует такое положительное $\gamma$ , что в интервале $1-\gamma \leqslant \alpha \leqslant 1+\gamma$

\lim _{x \rightarrow +\infty } \frac{g(\alpha x)}{g(x)}

существует и представляет собой непрерывную функцию от $\alpha$ , то

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\ln a_{n}}{g(n)}=1 .

Задача 2.217

Показать, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{-\pi }^{\pi } \frac{n! 2^{2 n \cos \vartheta }}{\left|\left(2 n e^{i \vartheta }-1\right)\left(2 n e^{i \vartheta }-2\right)\left(2 n e^{i \vartheta }-3\right) \ldots \left(2 n e^{i \vartheta }-n\right)\right| } d \vartheta =2 \pi .

Задача 2.217.1

Аналогия с задачей 201 подсказывает достаточные условия, при которых для $n \to +\infty$

\iint _{\mathfrak {R}} \varphi (x,y) e^{nh(x,y)} \, dx \, dy \sim \varphi (\xi ,\eta ) e^{nh(\xi ,\eta )} \frac{2\pi }{n\sqrt{h_{xx}h_{yy}-h_{xy}^{2}}}

где частные производные второго порядка $h_{xx}, h_{yy}$ и $h_{xy}$ берутся в точке $(\xi ,\eta )$ . Дать полную формулировку и доказательство.

Задача 2.217.1

Аналогия с задачей 201 подсказывает достаточные условия, при которых для $n \to +\infty$

\iint _{\mathfrak {R}} \varphi (x,y) e^{nh(x,y)} \, dx \, dy \sim \varphi (\xi ,\eta ) e^{nh(\xi ,\eta )} \frac{2\pi }{n\sqrt{h_{xx}h_{yy}-h_{xy}^{2}}}

3 · Асимптотическая оценка некоторых максимумов[5/60%]

Задача 2.218

Функция

\sqrt{x}(x-1)(x-2) \ldots (x-n) a^{-x} \quad (a>1)

в интервале $(n,+\infty )$ имеет наибольшее значение $M_{n}$ . Показать, что

\frac{M_{n}}{n!} \sim \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \frac{1}{(a-1)^{n+\frac{1}{2}}} . \tag {16}

Задача 2.219

Функция

x\left(x^{2}-1^{2}\right)\left(x^{2}-2^{2}\right) \ldots \left(x^{2}-n^{2}\right) a^{-x},

где $a>1$ , в интервале $(n,+\infty )$ имеет наибольшее значение $M_{n}$ . Показать, что

\frac{M_{n}}{(n!)^{2}} \sim \frac{1}{2 \pi }\left(\frac{2 \sqrt{a}}{a-1}\right)^{2 n+1} . \tag {17}

Задача 2.220

Положим

\sqrt{x}=Q_{0}(x),

\sqrt{x}\left(1-\frac{x}{1}\right)\left(1-\frac{x}{2}\right) \ldots \left(1-\frac{x}{n}\right)=Q_{n}(x) \quad (n=1,2,3, \ldots ) .

Показать, что последовательность

Q_{1}(x) a^{-x}, \quad Q_{2}(x) a^{-x}, \ldots , \quad Q_{n}(x) a^{-x}, \ldots

для положительных $x$ равномерно ограничена при $a \geqslant 2$ и не остается уже равномерно ограниченной, если $0<a<2$ .

Задача 2.221

Положим

\begin{gathered} x=P_{0}(x), \\ x\left(1-\frac{x^{2}}{1}\right)\left(1-\frac{x^{2}}{4}\right)\left(1-\frac{x^{2}}{9}\right) \ldots \left(1-\frac{x^{2}}{n^{2}}\right)=P_{n}(x) \quad (n=1,2,3, \ldots ) . \end{gathered}

Показать, что последовательность

P_{1}(x) a^{-x}, \quad P_{2}(x) a^{-x}, \ldots , P_{n}(x) a^{-x}, \ldots

для положительных $x$ равномерно ограничена при $a \geqslant 3+\sqrt{8}$ и не остается уже равномерно ограниченной, если $0<a<3+\sqrt{8}$ .

Задача 2.222

Пусть $a>0$ , $0<\mu <1$ и $M_{n}$ — максимум функции $e^{-\left(x+a x^{\mu }\right)} x^{n}$ в интервале $(0,+\infty )$ . Показать, что

\lim _{n \rightarrow \infty }\left(\frac{M_{n}}{n!}\right)^{n^{-\mu }}=e^{-a} .

4 · Минимакс и максимин[4/100%]

Задача 2.223

Функция $f(x,y)$ непрерывна в прямоугольнике

a \leq x \leq a', \qquad b \leq y \leq b' .

Тогда ее максимум при данном $x$ и $b \leq y \leq b'$ (вдоль отрезка, параллельного оси $y$ )

\max _{y} f(x,y) = \varphi (x)

есть непрерывная функция от $x$ .

Будем истолковывать поверхность

z = f(x,y)

в прямоугольной системе координат $x,y,z$ с вертикальной осью $z$ как топографическую поверхность горной местности. Тогда кривая

z = \varphi (x)

(в плоскости $x,z$ ) есть линия горизонта хребта (какой она представляется при взгляде из далекой точки оси $y$ ), а минимакс

\min _{x} \varphi (x) = \min _{x} \max _{y} f(x,y)

(минимум максимумов) отвечает самой низкой точке этой линии горизонта.

Задача 2.224

(Продолжение.) Показать, что

\max _{y} \min _{x} f(x,y) \leq \min _{x} \max _{y} f(x,y) .

Задача 2.225

(Продолжение.) Какой из двух знаков, $<$ или $=$ , имеет место в примере

f(x,y) = 1 - (x-y+1)^{2},

$a=0$ , $a'=2$ , $b=0$ , $b'=4$ ?

Задача 2.226

Присоединим к предположениям задачи 223 условие $f(x,y) > 0$ . Тогда

\lim _{n \to \infty } \left[\int _{a}^{a'} \left(\int _{b}^{b'} \left[f(x,y)\right]^{n} \, dy\right)^{-1} dx\right]^{-\frac{1}{n}} = \min _{x} \max _{y} f(x,y) .

Функции больших чисел

Footnotes