Банк задач по математике

Задача 2.195

Пусть $p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{l}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{l}$ — произвольные положительные числа. Тогда

\lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{p_{1} a_{1}^{n}+p_{2} a_{2}^{n}+\ldots +p_{l} a_{l}^{n}}

существует и равен наибольшему из чисел $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{l}$ .

?

Задача 2.196

При тех же предположениях имеем также:

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{p_{1} a_{1}^{n+1}+p_{2} a_{2}^{n+1}+\ldots +p_{l} a_{l}^{n+1}}{p_{1} a_{1}^{n}+p_{2} a_{2}^{n}+\ldots +p_{l} a_{l}^{n}}=\operatorname {Max}\left(a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{l}\right) .

?

Задача 2.197

Пусть $f(x)$ — произвольная целая рациональная функция, имеющая лишь действительные положительные корни, и

-\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=c_{0}+c_{1} x+c_{2} x^{2}+\ldots +c_{n} x^{n}+\ldots

Показать, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{1}{\sqrt[n]{c_{n}}}=\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{c_{n-1}}{c_{n}}

существует и равен наименьшему корню функции $f(x)$ .

?

Задача 2.198

Пусть $\varphi (x)$ и $f(x)$ непрерывны и положительны в интервале $a \leqslant x \leqslant b$ . Тогда

\lim _{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{\int _{a}^{b} \varphi (x)[f(x)]^{n} d x}

существует и равен максимуму $f(x)$ в интервале $a \leqslant x \leqslant b$ .

?

Задача 2.199

При тех же предположениях имеем также:

\lim _{n \rightarrow \infty } \frac{\int _{a}^{b} \varphi (x)[f(x)]^{n+1} d x}{\int _{a}^{b} \varphi (x)[f(x)]^{n} d x}=\operatorname {Max} f(x) .

?

Задача 2.200

Пусть $a<\xi <b$ и $k$ — постоянное положительное число. Показать, что при постоянных $a, b, \xi$ и $n \rightarrow +\infty$

\int _{a}^{b} e^{-k n(x-\xi )^{2}} d x \sim \sqrt{\frac{\pi }{k n}} .

?

Задача 2.201

Пусть функции $\varphi (x), h(x)$ и $f(x)=e^{h(x)}$ определены в конечном или бесконечном интервале с концами $a, b$ и удовлетворяют следующим условиям:

Функция $\varphi (x)[f(x)]^{n}=\varphi (x) e^{n h(x)}$ абсолютно интегрируема в $[a, b]$ при всех целых $n=0,1,2, \ldots$
Функция $h(x)$ достигает в некоторой точке $\xi$ внутри интервала $[a, b]$ максимума, причем верхняя грань $h(x)$ в каждом замкнутом интервале, не содержащем $\xi$ , меньше чем $h(\xi )$ . Далее, $h^{\prime \prime }(x)$ в некоторой окрестности точки $\xi$ существует и непрерывна и, наконец, $h^{\prime \prime }(\xi )<0$ .
$\varphi (x)$ непрерывна в точке $x=\xi$ , причем $\varphi (\xi ) \neq 0$ . Показать, что при $n \rightarrow +\infty$ имеет место следующая асимптотическая формула¹:

\begin{aligned} & \int _{a}^{b} \varphi (x)[f(x)]^{n} d x \sim \varphi (\xi )[f(\xi )]^{n+\frac{1}{2}} \sqrt{-\frac{2 \pi }{n f^{\prime \prime }(\xi )}}= \\ & =\varphi (\xi ) e^{n h(\xi )} \sqrt{-\frac{2 \pi }{n h^{\prime \prime }(\xi )}} . \end{aligned}

${}^{1}$ ) Лаплас следующим образом высказывается об употреблении подобных интегралов:

«Мы часто приходим к выражениям, содержащим такое количество членов и множителей, что числовые подстановки становятся невыполнимыми. Это имеет место в вопросах о вероятностях, когда рассматривается большое число событий. Однако тогда бывает важно получить числовое значение формул, чтобы узнать, какова вероятность результатов, которые события раскрывают по мере увеличения их числа. Особенно же важно получить закон, по которому эта вероятность непрерывно приближается к достоверности, которой она и достигла бы наконец, если бы число событий стало бесконечным. С этой целью я обратил внимание на то, что определенные интегралы дифференциалов, умноженных на множители, возведенные в высокие степени, дают по интегрировании формулы, состоящие из большого числа членов и множителей»

Употребленный им прием, первый шаг которого приведен в задаче 201, он характеризует далее следующим образом:

«прием, который делает ряд тем быстрее сходящимся, чем сложнее формула, которая его выражает, так что этот прием тем более точен, чем более он необходим» (Laplace, Essai philosophique sur les probabilités, Oeuvres, т. 7, стр. XXXVIII, Paris, Gauthier-Villars, 1886. [Лаплас, Опыт философии теории вероятностей, стр. 52, 53, М., 1908.]) ↩

?

Задача 2.202

Доказать, основываясь на формуле

\int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \sin ^{2 n} x d x=\int _{0}^{\frac{\pi }{2}} \cos ^{2 n} x d x=\frac{1 \cdot 3 \ldots (2 n-1)}{2 \cdot 4 \ldots 2 n} \frac{\pi }{2}

( $n$ — целое), что при $n \rightarrow +\infty$

\frac{1 \cdot 3 \ldots (2 n-1)}{2 \cdot 4 \ldots 2 n} \sim \frac{1}{\sqrt{n \pi }} .

?

Задача 2.203

Показать, что для полинома Лежандра $P_{n}(\lambda )$ $n$ -го порядка при $n \rightarrow \infty$ имеет место следующая асимптотическая формула:

P_{n}(\lambda ) \sim \frac{1}{\sqrt{2 n \pi }} \frac{\left(\lambda +\sqrt{\lambda ^{2}-1}\right)^{n+\frac{1}{2}}}{\sqrt[4]{\lambda ^{2}-1}},

где $\lambda$ — вещественное число $>1$ и корни берутся положительные.

?

Задача 2.204

Вывести из разложения Ганзена

e^{i t \cos x}=J_{0}(t)+2 \sum _{v=1}^{\infty } i^{v} J_{v}(t) \cos v x,

могущего служить для определения функций Бесселя $J_{v}(t)$ , следующую формулу: при $t \rightarrow +\infty$

J_{v}(i t) \sim i^{v} \frac{e^{t}}{\sqrt{2 \pi t}} \quad (v=0,1,2, \ldots ) .

?

Задача 2.205

Показать, что при $n \rightarrow \infty$

\Gamma (n+1)=\int _{0}^{\infty } e^{-x} x^{n} d x \sim \left(\frac{n}{e}\right)^{n} \sqrt{2 \pi n} ;

более того,

\left(\frac{e}{n}\right)^{n} \Gamma (n+1)=\sqrt{2 \pi n}+O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right) . \tag {18, I 167}

?

Задача 2.206

При $n \rightarrow +\infty$

\binom {n k+l}{n} \sim \frac{(k-1)^{n}}{\sqrt{2 \pi n}}\left(\frac{k}{k-1}\right)^{n k+l+\frac{1}{2}}

( $k$ и $l$ вещественны, $k>1$ ).

?

Задача 2.207

При вещественном $\alpha$ и $t \rightarrow +\infty$

\int _{1}^{\infty } x^{\alpha }\left(\frac{t e}{x}\right)^{x} \frac{d x}{x} \sim \sqrt{2 \pi } t^{\alpha -\frac{1}{2}} e^{t} .

?

Задача 2.208

Пусть $0<\alpha <1$ . Тогда при $\tau \rightarrow +0$

\int _{0}^{\infty } e^{\alpha ^{-1} x^{\alpha }-\tau x} d x \sim \sqrt{\frac{2 \pi }{1-\alpha }} \tau ^{-\frac{\alpha }{2(1-\alpha )}-1} \exp \left(\frac{1-\alpha }{\alpha } \tau ^{-\frac{\alpha }{1-\alpha }}\right) .

?

Задача 2.209

При $\alpha >0$ и $t \rightarrow +\infty$

\int _{0}^{\infty } x^{\alpha x} t^{x} d x \sim \sqrt{\frac{2 \pi }{e \alpha }} t^{\frac{1}{2 \alpha }} \exp \left(e^{-1} \alpha t^{\frac{1}{\alpha }}\right) .

?

Метод Лапласа

Footnotes