Банк задач по математике

Задача 2.218

Функция

\sqrt{x}(x-1)(x-2) \ldots (x-n) a^{-x} \quad (a>1)

в интервале $(n,+\infty )$ имеет наибольшее значение $M_{n}$ . Показать, что

\frac{M_{n}}{n!} \sim \frac{1}{\sqrt{2 \pi }} \frac{1}{(a-1)^{n+\frac{1}{2}}} . \tag {16}

?

Задача 2.219

Функция

x\left(x^{2}-1^{2}\right)\left(x^{2}-2^{2}\right) \ldots \left(x^{2}-n^{2}\right) a^{-x},

где $a>1$ , в интервале $(n,+\infty )$ имеет наибольшее значение $M_{n}$ . Показать, что

\frac{M_{n}}{(n!)^{2}} \sim \frac{1}{2 \pi }\left(\frac{2 \sqrt{a}}{a-1}\right)^{2 n+1} . \tag {17}

?

Задача 2.220

Положим

\sqrt{x}=Q_{0}(x),

\sqrt{x}\left(1-\frac{x}{1}\right)\left(1-\frac{x}{2}\right) \ldots \left(1-\frac{x}{n}\right)=Q_{n}(x) \quad (n=1,2,3, \ldots ) .

Показать, что последовательность

Q_{1}(x) a^{-x}, \quad Q_{2}(x) a^{-x}, \ldots , \quad Q_{n}(x) a^{-x}, \ldots

для положительных $x$ равномерно ограничена при $a \geqslant 2$ и не остается уже равномерно ограниченной, если $0<a<2$ .

?

Задача 2.221

Положим

\begin{gathered} x=P_{0}(x), \\ x\left(1-\frac{x^{2}}{1}\right)\left(1-\frac{x^{2}}{4}\right)\left(1-\frac{x^{2}}{9}\right) \ldots \left(1-\frac{x^{2}}{n^{2}}\right)=P_{n}(x) \quad (n=1,2,3, \ldots ) . \end{gathered}

Показать, что последовательность

P_{1}(x) a^{-x}, \quad P_{2}(x) a^{-x}, \ldots , P_{n}(x) a^{-x}, \ldots

для положительных $x$ равномерно ограничена при $a \geqslant 3+\sqrt{8}$ и не остается уже равномерно ограниченной, если $0<a<3+\sqrt{8}$ .

?

Задача 2.222

Пусть $a>0$ , $0<\mu <1$ и $M_{n}$ — максимум функции $e^{-\left(x+a x^{\mu }\right)} x^{n}$ в интервале $(0,+\infty )$ . Показать, что

\lim _{n \rightarrow \infty }\left(\frac{M_{n}}{n!}\right)^{n^{-\mu }}=e^{-a} .

?

Асимптотическая оценка некоторых максимумов