Различные виды равнораспределения

Пусть $f(t)$ дифференцируема и $f^{\prime }(t)$ собственно интегрируема на каждом конечном интервале значений $t>0$. Тогда имеет место формула

Если $N(r)$ есть числовая функция монотонно стремящейся к бесконечности последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$, то

Пусть $N(r)$ — числовая функция и $\lambda$ — показатель сходимости [I, гл. 3, § 2] последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ Тогда

Положительную функцию $L(r)$, определенную для $r \geqslant 0$, будем называть медленно возрастающей, если она монотонно возрастает и удовлетворяет условию

Показать, что для такой функции вообще

Пусть функция $L(r)$ задана для $r \geqslant 0$, монотонно возрастает и для достаточно больших значений $r$ определяется формулой

где $\ln_{k} x=\ln_{k-1}(\ln x)$. Тогда $L(r)$ является медленно возрастающей функцией.

Если $L(r)$ есть медленно возрастающая функция, то

Пусть для числовой функции $N(r)$ последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ выполняется соотношение

где $L(r)$ — медленно возрастающая функция и $0<\lambda <\infty$. Тогда $\lambda$ есть показатель сходимости последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$

Числовая функция $N(r)$ регулярной последовательности с показателем сходимости $\lambda$ удовлетворяет соотношению

Пусть $N(r)$ — числовая функция регулярной последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ с показателем сходимости $\lambda$ и $f(x)$ — кусочно-постоянная функция, заданная в интервале $0<x \leqslant c$ $(c>0)$. Тогда

Предельное соотношение задачи 155 сохраняет силу также в том случае, когда $f(x)$ есть функция, собственно интегрируемая в интервале $0 \leqslant x \leqslant c$.

Пусть $N(r)$ — числовая функция регулярной последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ с показателем сходимости $\lambda$, и $\alpha$ — любое положительное число. Тогда

(Продолжение.) Показать, что

Пусть $N(r)$ — числовая функция регулярной последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ с показателем сходимости $\lambda$; функция $f(x)$ определена для $x>0$ и собственно интегрируема в каждом конечном интервале $0<a \leqslant x \leqslant b$. Пусть, далее, в окрестности точки $x=0$

а в окрестности бесконечно удаленной точки $x=+\infty$

Тогда

Пусть $f(x)$ монотонна в интервале $0<x \leqslant 1$ и в некоторой окрестности точки $x=0$ удовлетворяет неравенству

Если $N(r)$ есть числовая функция и $\lambda$ — показатель сходимости монотонной положительной последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ $(0<\lambda <\infty )$, то

[I 115]. Последовательность $r_{n}$ не должна быть обязательно регулярной.

Пусть $f(x)$ $(x>0)$ — положительная убывающая функция, в окрестности точки $x=0$ удовлетворяющая неравенству

а в окрестности бесконечно удаленной точки $x=+\infty$ — неравенству

Тогда

где $N(r)$ — числовая функция последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ предыдущей задачи [I 116].

Последовательность $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}, \ldots$, $0 \leqslant x_{n} \leqslant 1$, тогда и только тогда является равномерно распределенной в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$, когда «вероятность» попадания некоторого наудачу выхваченного числа последовательности в фиксированный подинтервал интервала $[0,1]$ равна длине этого подинтервала. Точнее говоря, пусть $\alpha \leqslant x \leqslant \beta$ — подинтервал интервала $[0,1]$; обозначим через $v_{n}(\alpha , \beta )$ количество тех точек $x_{v}$ $(v=1,2, \ldots , n)$, которые лежат в этом подинтервале. Тогда должно выполняться предельное соотношение

каков бы ни был подинтервал $[\alpha , \beta ]$ [102].

Пусть $0 \leqslant \alpha <\beta \leqslant 1$. Обозначим через $s_{n}(\alpha , \beta )$ сумму тех из первых $n$ членов последовательности $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}, \ldots$, $0 \leqslant x_{n} \leqslant 1$, которые лежат в интервале $\alpha \leqslant x \leqslant \beta$. Показать, что для того, чтобы последовательность была равномерно распределенной в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$, необходимо и достаточно выполнение предельного соотношения

каков бы ни был подинтервал $[\alpha , \beta ]$ интервала $[0,1]$.

Последовательность $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}, \ldots$, $0 \leqslant x_{n} \leqslant 1$, тогда и только тогда является равномерно распределенной в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$, когда для каждого положительного целого $k$

Последовательность $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}, \ldots$, $0 \leqslant x_{n} \leqslant 1$, тогда и только тогда является равномерно распределенной в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$, когда для каждого положительного целого $k$ одновременно

и

Если $\theta$ — иррациональное число, то последовательность

является равномерно распределенной в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$.

Пусть $\theta$ — иррациональное число. Положим $\varepsilon_{n}=1$ или 0, смотря по тому, будет ли ближайшее к $n \theta$ целое число лежать справа от него или слева. Показать, что для целых чисел $a$, $d$ $(a \geqslant 0, d>0)$

Пусть $\theta$ — иррациональное число и $\alpha$ — иррациональное число вида $\alpha =q \theta$, где $q$ — целое и отличное от нуля. Показать, что асимптотическое поведение функции

при радиальном приближении к точке $e^{2 \pi i \alpha }$ круга сходимости характеризуется формулой

Вычислить предел

($x$ вещественное).

Показать, что десятичная дробь

(все натуральные числа выписаны одно за другим) представляет иррациональное число. Согласно 166 числа

расположены тогда всюду плотно в интервале $[0,1]$. Показать, что этим свойством обладает уже подмножество

Число $e$ иррационально [VIII 258]. Показать, что последовательность

имеет единственную предельную точку 0.

Если полином $P(x)=a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{r} x^{r}$ имеет по крайней мере один иррациональный коэффициент, то последовательность

обладает бесчисленным множеством предельных точек.

Пусть $\theta$ — иррациональное число, $x_{n}=n \theta -[n \theta ]$, $n=1,2,3, \ldots$ и $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}, \ldots$ — монотонно убывающая последовательность положительных чисел с расходящейся суммой. Показать, что для каждой функции $f(x)$, собственно интегрируемой в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$, имеет место предельное соотношение

Пусть функция $g(t)$ $(t \geqslant 1)$ удовлетворяет следующим условиям:

1. $g(t)$ имеет непрерывную производную;

2. $g(t)$ монотонно возрастает до бесконечности вместе с $t$;

3. $g^{\prime }(t)$ при $t \rightarrow \infty$ монотонно стремится к нулю;

4. $t g^{\prime }(t) \rightarrow \infty$ при $t \rightarrow \infty$. Тогда последовательность

является равномерно распределенной в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$.

Последовательность

где $a>0$, $0<\sigma <1$, является равномерно распределенной в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$.

Последовательность

где $a>0$, $\sigma >1$, равномерно распределена в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$.

Ряд

где $0<\sigma <1$, $\xi \neq 0$, абсолютно сходится тогда и только тогда, когда $\rho >1$.

Запишем бесконечные десятичные дроби, представляющие квадратные корни из чисел натурального ряда $1,2,3, \ldots , n, \ldots$, друг под другом в виде бесконечной таблицы. Показать, что среди цифр, стоящих на $j$-м месте справа от запятой ($j \geqslant 1$), все цифры $0,1,2, \ldots , 9$ встречаются в среднем одинаково часто. Точнее говоря: обозначим через $v_{g}(n)$ число тех из $n$ первых целых чисел $1,2,3, \ldots , n$, в десятичном разложении квадратных корней из которых на $j$-м месте справа от запятой стоит цифра $g$. Тогда

Пусть $x_{n}=a \ln n-[a \ln n]$, $n=1,2,3, \ldots$, $a>0$. Если $n \rightarrow \infty$ так, что при этом $x_{n} \rightarrow \xi$ $(0 \leqslant \xi \leqslant 1)$, то для любой функции $f(x)$, собственно интегрируемой в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$, имеет место предельное соотношение

где

(Продолжение.) Предельные точки последовательности

заполняют целый интервал $J=J(a ; f)$, зависящий только от $a$ и $f(x)$. Этот интервал приводится к одной точке тогда и только тогда, когда в каждой своей точке непрерывности $f(x)=c$, где $c$ — постоянная. Каков будет интервал $J(a ; f)$, если $a$ — очень большое или очень малое число?

Представим себе бесконечную таблицу из выписанных друг под другом десятичных логарифмов чисел натурального ряда $1,2,3, \ldots$ и рассмотрим столбец цифр, находящихся на $j$-м месте справа от запятой ($j \geqslant 1$). Показать, что не существует никакой определенной вероятности появления среди этих цифр одной какой-нибудь определенной цифры $0,1,2, \ldots , 9$. Точнее говоря: обозначим через $v_{g}(n)$ количество тех из первых $n$ целых чисел $1,2,3, \ldots , n$, в десятичном разложении логарифмов которых на $j$-м месте справа от запятой стоит цифра $g$. Тогда отношение $\frac{v_{g}(n)}{n}$ при $n \rightarrow \infty$ не имеет никакого определенного предела. Более того, предельные точки последовательности этих отношений будут заполнять целый интервал положительной длины.

Пусть функция $g(t)$ $(t \geqslant 1)$ удовлетворяет условиям:

1. $g(t)$ имеет непрерывную производную;

2. $g(t)$ монотонно возрастает до бесконечности вместе с $t$;

3. $g^{\prime }(t)$ при $t \rightarrow \infty$ монотонно стремится к нулю;

4. $t g^{\prime }(t) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$ (ср. 174). Тогда числа

хотя и лежат в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$ всюду плотно, однако не являются равномерно распределенными в этом интервале. Распределение их, напротив, характеризуется следующим асимптотическим законом: если $n$ безгранично возрастает так, что при этом $x_{n} \rightarrow \xi$, $0<\xi <1$, то для любой функции $f(x)$, собственно интегрируемой в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$,

в предположении, что $f(x)$ в точке $\xi$ непрерывна. Если же $f(x)$ в точке $\xi$ имеет разрыв первого рода, то множество предельных точек отношения

при указанном характере возрастания $n$ заполняет целиком интервал от $f(\xi -0)$ до $f(\xi +0)$. Утверждение будет справедливо также для $\xi =0$ и $\xi =1$, если принять дополнительно, что $f(0)=f(1)$, и распространить $f(x)$ за пределы интервала $0 \leqslant x \leqslant 1$, сделав ее периодической с периодом 1.

Последовательность

$(0<\sigma <1)$ является всюду плотной, однако не равномерно распределенной в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$. (176, 179.)

Представим себе бесконечную таблицу из квадратных корней десятичных логарифмов чисел натурального ряда $1,2,3, \ldots$, т. е. из $\sqrt{\lg n}$, $n=1,2,3, \ldots$, и рассмотрим столбец из цифр, стоящих на $j$-м месте справа от запятой ($j \geqslant 1$). Показать, что не существует никакой определенной вероятности появления среди этих цифр одной какой-нибудь определенной цифры $0,1,2, \ldots , 9$. Точнее говоря: обозначим через $v_{g}(n)$ количество тех чисел $k$ из $n$ первых натуральных чисел, для которых в десятичном разложении $\sqrt{\lg k}$ на $j$-м месте справа от запятой стоит цифра $g$. Тогда значения отношения $\frac{v_{g}(n)}{n}$ $(n=1,2,3, \ldots )$ лежат всюду плотно в интервале между 0 и 1.

Представим себе в $p$-мерном пространстве прямолинейное равномерное движение, определенное уравнениями

где $a_{v}, \theta_{v}$ — постоянные, $v=1,2, \ldots , p$ и $t$ — время. Показать, что если числа $\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots , \theta_{p}$ рационально независимы (т. е. из соотношения $n_{1} \theta_{1}+n_{2} \theta_{2}+\ldots +n_{p} \theta_{p}=0$ с рациональными коэффициентами $n_{1}, n_{2}, \ldots , n_{p}$ вытекает, что $n_{1}=n_{2}=\ldots =n_{p}=0$), то для каждой функции $f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{p}\right)$, периодической относительно $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{p}$ с периодом 1 и собственно интегрируемой в единичном кубе $0 \leqslant x_{v} \leqslant 1$, $v=1,2, \ldots , p$, имеет место предельное соотношение

Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta_{1}, \beta_{2}$ — произвольные числа,

Неравенствами

выделяется бесчисленное множество прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, конгруэнтных по модулю 1, т. е. могущих быть полученными друг из друга смещениями на целые числа параллельно осям координат. Зададим уравнениями $x=a+\theta_{1} t$, $y=b+\theta_{2} t$, где $t$ — время, некоторое равномерное прямолинейное движение и обозначим через $T(t)$ сумму всех тех промежутков времени от начала движения ($t=0$) до момента $t$, в течение которых движущаяся точка находилась в каком-либо из указанных прямоугольников. Показать, что если отношение $\theta_{1}: \theta_{2}$ иррационально, то

Биллиардный шар движется на идеально гладком квадратном столе площади $\mathfrak {F}$ прямолинейно и с постоянной скоростью, причем отскакивает от стенок по закону отражения (угол падения равен углу отражения). Обозначим через $T(t)$ общую сумму всех тех промежутков времени от начала движения $(t=0)$ до момента $t$, в течение которых центр шара находился в некоторой определенной области с площадью $\mathfrak {f}$. Показать, что если тангенс угла между направлением движения и одной из сторон биллиардного стола иррационален, то

Обозначим через $r_{1 n}, r_{2 n}, \ldots , r_{\varphi n}$ целые положительные числа, меньшие, чем $n$, и взаимно простые с ним; пусть $\varphi =\varphi (n)$ будет их количество [VIII 25]. Показать, что для всякой собственно интегрируемой функции $f(x)$

Напишем все несократимые дроби, не превосходящие единицы, числители и знаменатели которых не превосходят $n$, в порядке возрастающей величины:

(дроби Фарея:

Показать, что для всякой собственно интегрируемой функции $f(x)$

Положим

Если функция $f(x)$, собственно интегрируемая в интервале $\left[0, \sqrt{\frac{2}{\pi }}\right]$, такова, что для некоторого положительного $p$ произведение $x^{-p} f(x)$ ограничено в указанном интервале, то

Обозначим через

нули полиномов Лежандра $P_{n}(x)$ [VI 97]. Тогда

где $\lambda$ вещественно и больше единицы.

(Продолжение.) Показать, что для любого целого положительного $k$ справедлива формула

(Продолжение.) Для любой функции $f(x)$, собственно интегрируемой в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$, справедлива формула

Пусть $\alpha \leqslant x \leqslant \beta$ — любой подинтервал основного интервала $-1 \leqslant x \leqslant 1$ и $v_{n}(\alpha , \beta )$ — число нулей $n$-го полинома Лежандра, лежащих в $[\alpha , \beta ]$. Тогда