Банк задач по математике

Задача 2.147

Пусть $f(t)$ дифференцируема и $f^{\prime }(t)$ собственно интегрируема на каждом конечном интервале значений $t>0$ . Тогда имеет место формула

\sum _{r_{n} \leqslant r} f\left(r_{n}\right)=N(r) f(r)-\int _{0}^{r} N(t) f^{\prime }(t) d t .

?

Задача 2.148

Если $N(r)$ есть числовая функция монотонно стремящейся к бесконечности последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ , то

\begin{array}{rcr} \limsup _{r \rightarrow \infty } \frac{N(r)}{r} & =\limsup _{n \rightarrow \infty } \frac{n}{r_{n}}, & \liminf _{r \rightarrow \infty } \frac{N(r)}{r}=\liminf _{n \rightarrow \infty } \frac{n}{r_{n}}, \\ \limsup _{r \rightarrow \infty } \frac{\ln N(r)}{\ln r} & =\limsup _{n \rightarrow \infty } \frac{\ln n}{\ln r_{n}}, & \liminf _{r \rightarrow \infty } \frac{\ln N(r)}{\ln r}=\liminf _{n \rightarrow \infty } \frac{\ln n}{\ln r_{n}} . \end{array}

?

Задача 2.149

Пусть $N(r)$ — числовая функция и $\lambda$ — показатель сходимости [I, гл. 3, § 2] последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ Тогда

\limsup _{r \rightarrow \infty } \frac{\ln N(r)}{\ln r}=\lambda .

?

Задача 2.150

Положительную функцию $L(r)$ , определенную для $r \geqslant 0$ , будем называть медленно возрастающей, если она монотонно возрастает и удовлетворяет условию

\lim _{r \rightarrow \infty } \frac{L(2 r)}{L(r)}=1 .

Показать, что для такой функции вообще

\lim _{r \rightarrow \infty } \frac{L(c r)}{L(r)}=1 \quad (c>0) .

?

Задача 2.151

Пусть функция $L(r)$ задана для $r \geqslant 0$ , монотонно возрастает и для достаточно больших значений $r$ определяется формулой

L(r)=(\ln r)^{\alpha _{1}}\left(\ln _{2} r\right)^{\alpha _{2}} \ldots \left(\ln _{k} r\right)^{\alpha _{k}} \quad \left(\alpha _{1}>0\right),

где $\ln_{k} x=\ln_{k-1}(\ln x)$ . Тогда $L(r)$ является медленно возрастающей функцией.

?

Задача 2.152

Если $L(r)$ есть медленно возрастающая функция, то

\lim _{r \rightarrow \infty } \frac{\ln L(r)}{\ln r}=0 .

?

Задача 2.153

Пусть для числовой функции $N(r)$ последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ выполняется соотношение

N(r) \sim r^{\lambda } L(r),

где $L(r)$ — медленно возрастающая функция и $0<\lambda <\infty$ . Тогда $\lambda$ есть показатель сходимости последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$

?

Задача 2.154

Числовая функция $N(r)$ регулярной последовательности с показателем сходимости $\lambda$ удовлетворяет соотношению

\lim _{r \rightarrow \infty } \frac{N(c r)}{N(r)}=c^{\lambda } \quad (c>0) .

?

Задача 2.155

Пусть $N(r)$ — числовая функция регулярной последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ с показателем сходимости $\lambda$ и $f(x)$ — кусочно-постоянная функция, заданная в интервале $0<x \leqslant c$ $(c>0)$ . Тогда

\lim _{r \rightarrow \infty } \frac{1}{N(r)} \sum _{r_{n} \leqslant c r} f\left(\frac{r_{n}}{r}\right)=\int _{0}^{c^{\lambda }} f\left(x^{\frac{1}{\lambda }}\right) d x .

?

Задача 2.156

Предельное соотношение задачи 155 сохраняет силу также в том случае, когда $f(x)$ есть функция, собственно интегрируемая в интервале $0 \leqslant x \leqslant c$ .

?

Задача 2.157

Пусть $N(r)$ — числовая функция регулярной последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ с показателем сходимости $\lambda$ , и $\alpha$ — любое положительное число. Тогда

\lim _{r \rightarrow \infty } \frac{1}{N(r)} \sum _{r_{n} \leqslant r}\left(\frac{r_{n}}{r}\right)^{\alpha -\lambda }=\int _{0}^{1} x^{\frac{\alpha -\lambda }{\lambda }} d x=\frac{\lambda }{\alpha } .

?

Задача 2.158

(Продолжение.) Показать, что

\lim _{r \rightarrow \infty } \frac{1}{N(r)} \sum _{r_{n}>r}\left(\frac{r_{n}}{r}\right)^{-\alpha -\lambda }=\int _{1}^{\infty } x^{\frac{-\alpha -\lambda }{\lambda }} d x=\frac{\lambda }{\alpha } .

?

Задача 2.159

Пусть $N(r)$ — числовая функция регулярной последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ с показателем сходимости $\lambda$ ; функция $f(x)$ определена для $x>0$ и собственно интегрируема в каждом конечном интервале $0<a \leqslant x \leqslant b$ . Пусть, далее, в окрестности точки $x=0$

\left|f(x)\right|<x^{\alpha -\lambda },

а в окрестности бесконечно удаленной точки $x=+\infty$

\left|f(x)\right|<x^{-\alpha -\lambda } \quad (\alpha >0) .

Тогда

\lim _{r \rightarrow \infty } \frac{1}{N(r)} \sum _{n=1}^{\infty } f\left(\frac{r_{n}}{r}\right)=\int _{0}^{\infty } f\left(x^{\frac{1}{\lambda }}\right) d x .

?

Задача 2.160

Пусть $f(x)$ монотонна в интервале $0<x \leqslant 1$ и в некоторой окрестности точки $x=0$ удовлетворяет неравенству

\left|f(x)\right|<x^{\alpha -\lambda } \quad (\alpha >0) .

Если $N(r)$ есть числовая функция и $\lambda$ — показатель сходимости монотонной положительной последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ $(0<\lambda <\infty )$ , то

\liminf _{r \rightarrow \infty } \frac{1}{N(r)} \sum _{r_{n} \leqslant r} f\left(\frac{r_{n}}{r}\right) \leqslant \int _{0}^{1} f\left(x^{\frac{1}{\lambda }}\right) d x \leqslant \limsup _{r \rightarrow \infty } \frac{1}{N(r)} \sum _{r_{n} \leqslant r} f\left(\frac{r_{n}}{r}\right)

[I 115]. Последовательность $r_{n}$ не должна быть обязательно регулярной.

?

Задача 2.161

Пусть $f(x)$ $(x>0)$ — положительная убывающая функция, в окрестности точки $x=0$ удовлетворяющая неравенству

f(x)<x^{\alpha -\lambda },

а в окрестности бесконечно удаленной точки $x=+\infty$ — неравенству

f(x)<x^{-\alpha -\lambda } \quad (\alpha >0) .

Тогда

\liminf _{r \rightarrow \infty } \frac{1}{N(r)} \sum _{n=1}^{\infty } f\left(\frac{r_{n}}{r}\right) \leqslant \int _{0}^{\infty } f\left(x^{\frac{1}{\lambda }}\right) d x,

где $N(r)$ — числовая функция последовательности $r_{1}, r_{2}, \ldots , r_{n}, \ldots$ предыдущей задачи [I 116].

?

Функция подсчёта. Регулярные последовательности