Другие виды равнораспределения

Представим себе в $p$-мерном пространстве прямолинейное равномерное движение, определенное уравнениями

где $a_{v}, \theta_{v}$ — постоянные, $v=1,2, \ldots , p$ и $t$ — время. Показать, что если числа $\theta_{1}, \theta_{2}, \ldots , \theta_{p}$ рационально независимы (т. е. из соотношения $n_{1} \theta_{1}+n_{2} \theta_{2}+\ldots +n_{p} \theta_{p}=0$ с рациональными коэффициентами $n_{1}, n_{2}, \ldots , n_{p}$ вытекает, что $n_{1}=n_{2}=\ldots =n_{p}=0$), то для каждой функции $f\left(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{p}\right)$, периодической относительно $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{p}$ с периодом 1 и собственно интегрируемой в единичном кубе $0 \leqslant x_{v} \leqslant 1$, $v=1,2, \ldots , p$, имеет место предельное соотношение

Пусть $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \beta_{1}, \beta_{2}$ — произвольные числа,

Неравенствами

выделяется бесчисленное множество прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат, конгруэнтных по модулю 1, т. е. могущих быть полученными друг из друга смещениями на целые числа параллельно осям координат. Зададим уравнениями $x=a+\theta_{1} t$, $y=b+\theta_{2} t$, где $t$ — время, некоторое равномерное прямолинейное движение и обозначим через $T(t)$ сумму всех тех промежутков времени от начала движения ($t=0$) до момента $t$, в течение которых движущаяся точка находилась в каком-либо из указанных прямоугольников. Показать, что если отношение $\theta_{1}: \theta_{2}$ иррационально, то

Биллиардный шар движется на идеально гладком квадратном столе площади $\mathfrak {F}$ прямолинейно и с постоянной скоростью, причем отскакивает от стенок по закону отражения (угол падения равен углу отражения). Обозначим через $T(t)$ общую сумму всех тех промежутков времени от начала движения $(t=0)$ до момента $t$, в течение которых центр шара находился в некоторой определенной области с площадью $\mathfrak {f}$. Показать, что если тангенс угла между направлением движения и одной из сторон биллиардного стола иррационален, то

Обозначим через $r_{1 n}, r_{2 n}, \ldots , r_{\varphi n}$ целые положительные числа, меньшие, чем $n$, и взаимно простые с ним; пусть $\varphi =\varphi (n)$ будет их количество [VIII 25]. Показать, что для всякой собственно интегрируемой функции $f(x)$

Напишем все несократимые дроби, не превосходящие единицы, числители и знаменатели которых не превосходят $n$, в порядке возрастающей величины:

(дроби Фарея:

Показать, что для всякой собственно интегрируемой функции $f(x)$

Положим

Если функция $f(x)$, собственно интегрируемая в интервале $\left[0, \sqrt{\frac{2}{\pi }}\right]$, такова, что для некоторого положительного $p$ произведение $x^{-p} f(x)$ ограничено в указанном интервале, то

Обозначим через

нули полиномов Лежандра $P_{n}(x)$ [VI 97]. Тогда

где $\lambda$ вещественно и больше единицы.

(Продолжение.) Показать, что для любого целого положительного $k$ справедлива формула

(Продолжение.) Для любой функции $f(x)$, собственно интегрируемой в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$, справедлива формула

Пусть $\alpha \leqslant x \leqslant \beta$ — любой подинтервал основного интервала $-1 \leqslant x \leqslant 1$ и $v_{n}(\alpha , \beta )$ — число нулей $n$-го полинома Лежандра, лежащих в $[\alpha , \beta ]$. Тогда