Кратные иррационального числа

Если $\theta$ — иррациональное число, то последовательность

является равномерно распределенной в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$.

Пусть $\theta$ — иррациональное число. Положим $\varepsilon_{n}=1$ или 0, смотря по тому, будет ли ближайшее к $n \theta$ целое число лежать справа от него или слева. Показать, что для целых чисел $a$, $d$ $(a \geqslant 0, d>0)$

Пусть $\theta$ — иррациональное число и $\alpha$ — иррациональное число вида $\alpha =q \theta$, где $q$ — целое и отличное от нуля. Показать, что асимптотическое поведение функции

при радиальном приближении к точке $e^{2 \pi i \alpha }$ круга сходимости характеризуется формулой

Вычислить предел

($x$ вещественное).

Показать, что десятичная дробь

(все натуральные числа выписаны одно за другим) представляет иррациональное число. Согласно 166 числа

расположены тогда всюду плотно в интервале $[0,1]$. Показать, что этим свойством обладает уже подмножество

Число $e$ иррационально [VIII 258]. Показать, что последовательность

имеет единственную предельную точку 0.

Если полином $P(x)=a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{r} x^{r}$ имеет по крайней мере один иррациональный коэффициент, то последовательность

обладает бесчисленным множеством предельных точек.

Пусть $\theta$ — иррациональное число, $x_{n}=n \theta -[n \theta ]$, $n=1,2,3, \ldots$ и $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}, \ldots$ — монотонно убывающая последовательность положительных чисел с расходящейся суммой. Показать, что для каждой функции $f(x)$, собственно интегрируемой в интервале $0 \leqslant x \leqslant 1$, имеет место предельное соотношение