Непрерывные линейные операторы между банаховыми пространствами

Докажите предложение 11.1.10.

Предложение 11.1.10: Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства. Операторная норма на $\mathcal{L}(X, Y)$ является нормой.

Докажите предложение 11.1.11.

Предложение 11.1.11: Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства и $T \in \mathcal{L}(X, Y)$. Тогда (a) $\left\| T\right\| = \sup \left\{ \left\| Tx\right\| : \left\| x\right\| \leq 1\right\} = \sup \left\{ \left\| Tx\right\| : \left\| x\right\| = 1\right\}$. (b) $\left\| Tx\right\| \leq \left\| T\right\| \left\| x\right\|$ для всех $x \in X$.

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства и $T \in \mathcal{L}(X, Y)$. Предположим, что $M>0$ и $\left\| T\right\| \leq M$.

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства, и пусть $T: X \rightarrow Y$ — линейный оператор. Докажите, что $T$ ограничен тогда и только тогда, когда он переводит ограниченные множества в ограниченные.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $x_{0} \in X$. Докажите, что линейный оператор на нормированном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в точке $x_{0}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $T, S \in \mathcal{L}(X, X)$. Докажите, что композиция $S T$ принадлежит $\mathcal{L}(X, X)$ и что $\left\| S T\right\| \leq \left\| S\right\| \left\| T\right\|$. (Мы пишем $S T$ вместо $S \circ T$, так же как когда $S$ и $T$ — матрицы.)

Пусть $X$ — банахово пространство, а $\mathcal{F}$ — семейство ограниченных линейных операторов из $X$ в нормированное линейное пространство $Y$. Докажите, что $\mathcal{F}$ равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство и $T \in \mathcal{L}(\mathcal{H})$. Докажите, что

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства и $T: X \rightarrow Y$ — линейное отображение такое, что $\left\{ T x_{n}\right\}$ ограничена в $Y$ всякий раз, когда последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ сходится к 0 в $X$. Докажите, что $T \in \mathcal{L}(X, Y)$.

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства, и пусть $T: X \rightarrow Y$ — линейный оператор. Докажите, что $T$ ограничен тогда и только тогда, когда он переводит всякую фундаментальную последовательность в $X$ в фундаментальную последовательность в $Y$.

Докажите, что множество всех линейных отображений из векторного пространства $X$ в векторное пространство $Y$ является векторным пространством.

Пусть $Z$ — подпространство нормированного линейного пространства $X$, пусть $Y$ — банахово пространство, и пусть $A: Z \rightarrow Y$ — непрерывный линейный оператор. Докажите, что существует единственный непрерывный линейный оператор $\bar{A}: \bar{Z} \rightarrow Y$ такой, что $\bar{A} \mid Z=A$ и $\left\| \bar{A}\right\| =\left\| A\right\|$.

Пусть $X, Y$ — нормированные пространства, пусть $T \in \mathcal{L}(X, Y)$, и пусть $\tilde{T}: X / \operatorname {ker} T \rightarrow Y$ определён формулой $\tilde{T}([x])=T x$ (см. упражнение 10.1.13). Докажите, что $\tilde{T}$ является корректно определённым, инъективным, ограниченным линейным оператором, для которого $\left\| \tilde{T}\right\| =\left\| T\right\|$.

Пусть $X$ — нормированное пространство и $V$ — замкнутое подпространство $X$ (см. упражнение 10.1.13). Докажите, что:

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство и пусть $T \in \mathcal{L}(\mathcal{H})$. Докажите, что $T=0$ тогда и только тогда, когда $\left\langle T x, y \right\rangle =0$ для всех $x, y \in \mathcal{H}$.

Пусть $X$ — банахово пространство и $T \in \mathcal{L}(X, X)$ с $\left\| T\right\| <1$. Определим $T^{0}=\operatorname {Id}$. Докажите, что $\sum_{n=0}^{\infty } T^{n}$ сходится в $\mathcal{L}(X, X)$.

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства, пусть $\left\{ T_{n}\right\}$ сходится к $T$ в $\mathcal{L}(X, Y)$, и пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ сходится к $x$ в $X$. Докажите, что $\left\{ T_{n} x_{n}\right\}$ сходится к $T x$ в $Y$.

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства и $\left\{ T_{n}\right\} , T \in \mathcal{L}(X, Y)$. Докажите, что $\lim_{n} T_{n}=T$ тогда и только тогда, когда $\left\{ T_{n} x\right\}$ сходится к $T x$ равномерно на единичном шаре $X$.

Пусть $g$ — непрерывная функция на $[0,1]$, и пусть $T: L^{p}\left({[0,1]}\right) \rightarrow L^{p}\left({[0,1]}\right)$ определён формулой $T(f)=g f$. Докажите, что $T$ — ограниченный оператор и $\left\| T\right\| =\left\| g\right\|_{\max }$.

Пусть $p, q$ — вещественные числа такие, что $q>1$ и $1 / p+1 / q=1$, и пусть $\left(a_{i j}\right)$ — бесконечная матрица вещественных чисел такая, что

Докажите, что

задаёт ограниченный линейный оператор

из $\ell^{p}$ в $\ell^{q}$.

Пусть $K:[0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция такая, что

Докажите, что

задаёт оператор в $\mathcal{L}\left(L^{\infty }\right)$,

Пусть $K:[0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Докажите, что

задаёт оператор в $\mathcal{L}(C[0,1])$,

Пусть $K:[0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция такая, что

где $\left\| K(s, t)\right\|_{t, \infty }$ означает $L^{\infty }$-норму $K$ как функции от $t$ при фиксированном $s$. Докажите, что

задаёт оператор в $\mathcal{L}\left(L^{1}\left({[0,1]}\right)\right)$,

Пусть $q>1$ и пусть $K:[0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция такая, что

Докажите, что

задаёт оператор в $\mathcal{L}\left(L^{p}\left({[0,1]}\right), L^{q}\left({[0,1]}\right)\right),(1 / p+1 / q=1)$

Пусть $K:[0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция такая, что

Докажите, что

задаёт оператор в $\mathcal{L}\left(L^{2}\left({[0,1]}\right)\right)$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $h$ — ограниченная измеримая функция на $X$, и пусть $T$ — оператор на $L^{p}\left(X, \mu \right)$, определённый формулой $T f=h f$. Докажите, что:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой и пусть $p \geq q$. Найдите норму тождественного оператора $\operatorname {Id}: L^{p}\left(X, \mu \right) \rightarrow L^{q}\left(X, \mu \right)$.

Пусть $1 \leq p \leq q<\infty$. Определите, для каких функций $h$ на $[0,1]$ умножение на $h$ является ограниченным оператором из $L^{p}[0,1]$ в $L^{q}[0,1]$.

Пусть $T: C[0,1] \rightarrow C[0,1]$ определён формулой $T f(x)=x^{3} f(x)$ для всех $f \in C[0,1]$ и каждого $x \in [0,1]$.

Пусть $T: C[0,1] \rightarrow C[0,1]$ определён формулой $T f(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t$ для всех $f \in C[0,1]$ и каждого $x \in [0,1]$. Докажите, что $T$ — ограниченный линейный оператор, и найдите его норму.

Пусть $T: L^{1}[0,1] \rightarrow L^{1}[0,1]$ определён формулой $T f(x)=f(\sqrt{x})$ для всех $f \in C[0,1]$ и каждого $x \in [0,1]$. Докажите, что $T$ — ограниченный линейный оператор, и найдите его норму.

Для $f \in L^{1}[0,1]$ пусть $x_{n}=\int_{0}^{1} f(t) t^{n} d t$, и пусть $T(f)=\left\{ x_{n}\right\}$. Докажите, что оператор $T$ является ограниченным линейным оператором, отображающим $L^{1}[0,1]$ в $c_{0}$, и найдите его норму. (См. упражнение 10.1.15.)

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \nu$ ) — $\sigma$-конечные пространства с мерой, пусть $K$ — $\mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}$-измеримая функция на $X \times Y$, и пусть $C>0$. Предположим, что

Докажите, что оператор $T$, определённый на $L^{p}\left(X, \mu \right)$ формулой

является ограниченным оператором и что $\left\| T f\right\|_{p} \leq C\left\| f\right\|_{p}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $1 \leq p<r \leq \infty$. Докажите, что:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $1 \leq p<r \leq \infty$. Докажите, что:

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства и пусть $S, T \in \mathcal{L}(X, Y)$. Предположим, что оператор $S T$ обратим. Докажите или опровергните: $T$ обратим.

Пусть $X$ — банахово пространство и пусть $T \in \mathcal{L}(X)$ удовлетворяет $\left\| T\right\| \leq \eta <1$. Докажите, что оператор $\operatorname {Id}-T$ имеет ограниченный обратный $(\operatorname {Id}-T)^{-1}$ и что $\left\| (\operatorname {Id}-T)^{-1}\right\| \leq 1 /(1-\eta )$.

Пусть $X, Y$ — нормированные пространства и $T: X \rightarrow Y$ — линейное отображение, имеющее единственный левый обратный $S$. Докажите, что $T$ обратим.

Приведите пример нормированных пространств $X, Y$ и оператора $T: X \rightarrow Y$, который:

Пусть $X$ — линейное пространство, и пусть $S, T: X \rightarrow X$ — линейные отображения. Докажите:

Пусть $X$ — линейное пространство, и пусть $T: X \rightarrow X$ — линейное отображение, удовлетворяющее уравнению $p(T)=0$ для некоторого многочлена $p$ с $p(0) \neq 0$. Докажите, что $T$ обратим.

Пусть $X$ — линейное пространство, пусть $T: X \rightarrow X$ — ограниченное отображение, удовлетворяющее уравнению $T^{2}=T$, и пусть $0<\left|\lambda \right|<1$. Найдите обратный к $\lambda \operatorname {Id}-T$.

Пусть $X$ — линейное пространство, пусть $T: X \rightarrow X$ — ограниченный оператор с $\left\| T\right\| <1$. Докажите или опровергните: уравнение $x-T x=y$ имеет решение $x$ для каждого $y \in X$.

Пусть $X$ — банахово пространство. Докажите, что множество обратимых операторов в $\mathcal{L}(X, X)$ открыто.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — ортонормированный базис $\mathcal{H}$, пусть $0 \leq C<1$, и пусть $\left\{ y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность в $\mathcal{H}$, такая что для любых скаляров $\left\{ \alpha_{n}\right\}$,

Докажите, что для каждого $x \in \mathcal{H}$ найдутся скаляры $\left\{ \beta_{n}\right\}$, такие что $x=\sum_{k=1}^{\infty } \beta_{k} y_{k}$, причём ряд сходится по норме $\mathcal{H}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство размерности $n$, пусть $\left\{ e_{1}, \ldots , e_{n}\right\}$ — базис $X$, и пусть $T: \mathbb {R}^{n} \rightarrow (X,\left\| \cdot \right\| )$ определён формулой $T\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)= \sum_{k=1}^{n} x_{k} e_{k}$. Докажите, что $T$ — обратимый линейный оператор.

Докажите следствие 11.2.6.

Следствие 11.2.6: Два нормированных линейных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда существует линейный оператор $T$, отображающий $X$ на $Y$, и положительные константы $m, M$, такие что $m\left\| x\right\| \leq \left\| Tx\right\| \leq M\left\| x\right\|$ для всех $x \in X$.

Докажите следствие 11.2.7.

Следствие 11.2.7: Пусть $X$ — векторное пространство, и пусть $\left\| \cdot \right\|_{\alpha }$ и $\left\| \cdot \right\|_{\beta }$ — две нормы на $X$. Нормированные пространства $(X, \left\| \cdot \right\|_{\alpha })$ и $(X, \left\| \cdot \right\|_{\beta })$ изоморфны тогда и только тогда, когда существуют положительные константы $m, M$, такие что $m\left\| x\right\|_{\alpha } \leq \left\| x\right\|_{\beta } \leq M\left\| x\right\|_{\alpha }$ для всех $x \in X$.

Докажите, что любые два бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространства изометрически изоморфны и что любой такой изоморфизм сохраняет скалярное произведение.

Докажите, что пространство $C[0,1]$ изометрически изоморфно своему подпространству $A=\left\{ f \in C[0,1]: f(t)=f(1-t)\right\}$.

Пусть $B\left(\ell^{1}\right)$ обозначает векторное пространство ограниченных последовательностей $\left\{ a_{n}\right\}$, где для каждого $n \in \mathbb {N}, a_{n} \in \ell^{1}$. Норма на $B\left(\ell^{1}\right)$ определена формулой

Докажите, что нормированные пространства $B\left(\ell^{1}\right)$ и $\mathcal{L}\left(\ell^{1}\right)$ изометрически изоморфны.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, и пусть $T \in \mathcal{L}(X, Y)$ — изометрия. Докажите, что образ $T$ — замкнутое подпространство $Y$.

Пусть $X, Y, Z$ — нормированные линейные пространства, пусть $F: X \rightarrow Y$ — изометрический изоморфизм, и пусть $G \in \mathcal{L}(Y, Z)$. Докажите, что $\left\| G\right\| =\left\| G \circ F\right\|$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство. Докажите, что существует пространство с мерой ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ), для которого $\mathcal{H}$ изометрически изоморфно $L^{2}\left(X, \mu \right)$.

Пусть $\mathcal{H}$ — бесконечномерное гильбертово пространство. Докажите, что существует непрерывное инъективное отображение $\gamma :[0,1] \rightarrow \mathcal{H}$, такое что $\gamma (b)-\gamma (a)$ ортогонально $\gamma (d)-\gamma (c)$ всякий раз, когда $0 \leq a \leq b \leq c \leq d \leq 1$.

Докажите, что если $T \in \mathcal{L}(\mathcal{H})$, то $T$ является изометрией на гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ тогда и только тогда, когда $\left\langle T u, T v \right\rangle = \left\langle u, v \right\rangle$ для всех $u, v \in \mathcal{H}$.

Пусть $X$ — векторное пространство, и пусть $\left\| \cdot \right\|_{\alpha }$ и $\left\| \cdot \right\|_{\beta }$ — две эквивалентные нормы на $X$. Докажите, что последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ в $X$ является последовательностью Коши относительно $\left\| \cdot \right\|_{\alpha }$ тогда и только тогда, когда она является последовательностью Коши относительно $\left\| \cdot \right\|_{\beta }$. Заключите, что ( $X,\left\| \cdot \right\|_{\alpha }$ ) полно тогда и только тогда, когда полно ( $X,\left\| \cdot \right\|_{\beta }$ ).

Пусть $X$ — векторное пространство, и пусть $\left\| \cdot \right\|_{\alpha }$ и $\left\| \cdot \right\|_{\beta }$ — две эквивалентные нормы на $X$. Пусть $\mathcal{T}_{\alpha }$ и $\mathcal{T}_{\beta }$ — соответствующие топологии. Докажите, что $\mathcal{T}_{\alpha }=\mathcal{T}_{\beta }$.

Докажите, что эквивалентность норм является отношением эквивалентности.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, и пусть $T$ — линейный обратимый оператор на $X$, такой что

Докажите, что существует эквивалентная норма на $X$, которая делает $T$ изометрией.

Докажите, что $\left\| f\right\| =\left|f(0)\right|+\left\| f^{\prime }\right\|_{\infty }$ задаёт норму на $C^{1}[0,1]$, эквивалентную норме, определённой как $\left\| f\right\|_{\alpha }:=\left\| f\right\|_{\infty }+\left\| f^{\prime }\right\|_{\infty }$.

Пусть $X$ — линейное пространство, снабжённое двумя нормами $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$, такими что ( $X,\left\| \cdot \right\|_{1}$ ) полно, а тождественное отображение $\operatorname {Id}:\left(X,\left\| \cdot \right\|_{1}\right) \rightarrow \left(X,\left\| \cdot \right\|_{2}\right)$ непрерывно. Предположим, что существует $r>0$, такое что $B_{2}(0,1) \subset B_{1}(0, r)+ B_{2}(0,1 / 2)$. Докажите, что эти нормы эквивалентны.

Докажите, что существует $M>0$, такое что если $p(t)=a_{0}+a_{1} t+\cdots +a_{n} t^{n}$, то

Пусть

Для данного $p \in [1, \infty )$ определим

Покажите, что $\left\| \cdot \right\|_{p}^{i n f}$ является нормой для каждого $p$, и что все эти нормы эквивалентны.

Приведите пример открытого покрытия замкнутого единичного шара в $\ell^{2}$, не имеющего конечного подпокрытия.

Приведите пример открытого покрытия замкнутого единичного шара в $C[0,1]$, не имеющего конечного подпокрытия.

Гильбертов куб — это подмножество $\ell^{2}$, состоящее из всех последовательностей $\left\{ x_{n}\right\}$, таких что $\left|x_{n}\right| \leq 1 / n$ для всех $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что это компактное множество.

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}$ — ортонормированный базис гильбертова пространства $\mathcal{H}$, пусть $\left\{ a_{n}\right\} \subset$ ( $0,+\infty$ ), и пусть

Докажите, что $A$ компактно тогда и только тогда, когда $\sum_{n} a_{n}^{2}$ сходится.

Пусть $X$ — бесконечномерное нормированное линейное пространство. Докажите, что существует последовательность $\left\{ x_{n}\right\} \subset X$, такая что $\left\| x_{n}\right\| =1$ для всех $n \in \mathbb {N}$ и $\left\| x_{m}-x_{n}\right\| \geq 1 / 2$ при $m \neq n$.

Докажите, что векторное пространство всех многочленов от одной переменной не является банаховым пространством ни при какой норме.

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства. Докажите, что:

Пусть $\mathcal{F}$ — замкнутое подпространство $L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{M}, m\right), 1 \leq p<\infty$. Докажите, что $\mathcal{F}$ компактно тогда и только тогда, когда выполняются все следующие условия:

Пусть $X$ — банахово пространство, а $Y$ — нормированное линейное пространство, и пусть $T_{n}$ : $X \rightarrow Y, n \in \mathbb {N}$, — ограниченные линейные операторы. Предположим, что для каждого $x \in X$ последовательность $T_{n} x$ сходится, и пусть $T$ — оператор, определённый как $T x= \lim T_{n} x$. Докажите, что $T$ — ограниченный линейный оператор.

Пусть $X$ — банахово пространство, а $\mathcal{F}$ — неограниченное семейство ограниченных линейных операторов из $X$ в нормированное линейное пространство $Y$. Докажите, что множество $x \in X$, для которых $\sup \left\{ \left\| T x\right\| : T \in \mathcal{F}\right\} =\infty$, плотно в $X$.

Пусть $X, Y, Z$ — банаховы пространства, и пусть $F: X \times Y \rightarrow Z$ — раздельно непрерывное билинейное отображение, т.е. $F_{x} \in \mathcal{L}(Y, Z)$ для каждого $x \in X$ и $F^{y} \in \mathcal{L}(X, Z)$ для каждого $y \in Y$. Докажите, что $F$ непрерывно.

Приведите пример, показывающий, что принцип равномерной ограниченности (теорема 11.3.1) не выполняется, если $X$ не является банаховым пространством.

Теорема 11.3.1 (Принцип равномерной ограниченности): Пусть $X$ — банахово пространство, а $\mathcal{F}$ — семейство ограниченных линейных операторов из $X$ в нормированное линейное пространство $Y$. Если для каждого $x \in X$ $\sup \left\{ \left\| Tx\right\| : T \in \mathcal{F}\right\} < \infty$, то $\sup \left\{ \left\| T\right\| : T \in \mathcal{F}\right\} < \infty$.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства и $\left\{ T_{j, k}\right\} \subset \mathcal{L}(X, Y)$. Предположим, что для каждого $k \in \mathbb {N}$ найдётся $x \in X$, такой что $\sup_{j}\left\| T_{j, k} x\right\| =\infty$. Докажите, что существует $x \in X$, такой что $\sup_{j}\left\| T_{j, k} x\right\| =\infty$ для всех $k \in \mathbb {N}$.

Если $X$ — банахово пространство, последовательность $\left\{ T_{n}\right\} \subset \mathcal{L}(X)$ сходится сильно к линейному оператору $T: X \rightarrow X$, если $\lim T_{n} x=T x$ для всех $x \in X$. Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, последовательность $\left\{ T_{n}\right\} \subset \mathcal{L}(\mathcal{H})$ сходится слабо к линейному оператору $T: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$, если $\lim \left\langle T_{n} x, y \right\rangle = \left\langle T x, y \right\rangle$ для всех $x, y \in \mathcal{H}$.