Линейные операторы

Докажите предложение 11.1.10.

Предложение 11.1.10: Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства. Операторная норма на $\mathcal{L}(X, Y)$ является нормой.

Докажите предложение 11.1.11.

Предложение 11.1.11: Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства и $T \in \mathcal{L}(X, Y)$. Тогда (a) $\left\| T\right\| = \sup \left\{ \left\| Tx\right\| : \left\| x\right\| \leq 1\right\} = \sup \left\{ \left\| Tx\right\| : \left\| x\right\| = 1\right\}$. (b) $\left\| Tx\right\| \leq \left\| T\right\| \left\| x\right\|$ для всех $x \in X$.

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства и $T \in \mathcal{L}(X, Y)$. Предположим, что $M>0$ и $\left\| T\right\| \leq M$.

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства, и пусть $T: X \rightarrow Y$ — линейный оператор. Докажите, что $T$ ограничен тогда и только тогда, когда он переводит ограниченные множества в ограниченные.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $x_{0} \in X$. Докажите, что линейный оператор на нормированном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда он непрерывен в точке $x_{0}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и $T, S \in \mathcal{L}(X, X)$. Докажите, что композиция $S T$ принадлежит $\mathcal{L}(X, X)$ и что $\left\| S T\right\| \leq \left\| S\right\| \left\| T\right\|$. (Мы пишем $S T$ вместо $S \circ T$, так же как когда $S$ и $T$ — матрицы.)

Пусть $X$ — банахово пространство, а $\mathcal{F}$ — семейство ограниченных линейных операторов из $X$ в нормированное линейное пространство $Y$. Докажите, что $\mathcal{F}$ равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство и $T \in \mathcal{L}(\mathcal{H})$. Докажите, что

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства и $T: X \rightarrow Y$ — линейное отображение такое, что $\left\{ T x_{n}\right\}$ ограничена в $Y$ всякий раз, когда последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ сходится к 0 в $X$. Докажите, что $T \in \mathcal{L}(X, Y)$.

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства, и пусть $T: X \rightarrow Y$ — линейный оператор. Докажите, что $T$ ограничен тогда и только тогда, когда он переводит всякую фундаментальную последовательность в $X$ в фундаментальную последовательность в $Y$.

Докажите, что множество всех линейных отображений из векторного пространства $X$ в векторное пространство $Y$ является векторным пространством.

Пусть $Z$ — подпространство нормированного линейного пространства $X$, пусть $Y$ — банахово пространство, и пусть $A: Z \rightarrow Y$ — непрерывный линейный оператор. Докажите, что существует единственный непрерывный линейный оператор $\bar{A}: \bar{Z} \rightarrow Y$ такой, что $\bar{A} \mid Z=A$ и $\left\| \bar{A}\right\| =\left\| A\right\|$.

Пусть $X, Y$ — нормированные пространства, пусть $T \in \mathcal{L}(X, Y)$, и пусть $\tilde{T}: X / \operatorname {ker} T \rightarrow Y$ определён формулой $\tilde{T}([x])=T x$ (см. упражнение 10.1.13). Докажите, что $\tilde{T}$ является корректно определённым, инъективным, ограниченным линейным оператором, для которого $\left\| \tilde{T}\right\| =\left\| T\right\|$.

Пусть $X$ — нормированное пространство и $V$ — замкнутое подпространство $X$ (см. упражнение 10.1.13). Докажите, что:

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство и пусть $T \in \mathcal{L}(\mathcal{H})$. Докажите, что $T=0$ тогда и только тогда, когда $\left\langle T x, y \right\rangle =0$ для всех $x, y \in \mathcal{H}$.

Пусть $X$ — банахово пространство и $T \in \mathcal{L}(X, X)$ с $\left\| T\right\| <1$. Определим $T^{0}=\operatorname {Id}$. Докажите, что $\sum_{n=0}^{\infty } T^{n}$ сходится в $\mathcal{L}(X, X)$.

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства, пусть $\left\{ T_{n}\right\}$ сходится к $T$ в $\mathcal{L}(X, Y)$, и пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ сходится к $x$ в $X$. Докажите, что $\left\{ T_{n} x_{n}\right\}$ сходится к $T x$ в $Y$.

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства и $\left\{ T_{n}\right\} , T \in \mathcal{L}(X, Y)$. Докажите, что $\lim_{n} T_{n}=T$ тогда и только тогда, когда $\left\{ T_{n} x\right\}$ сходится к $T x$ равномерно на единичном шаре $X$.

Пусть $g$ — непрерывная функция на $[0,1]$, и пусть $T: L^{p}\left({[0,1]}\right) \rightarrow L^{p}\left({[0,1]}\right)$ определён формулой $T(f)=g f$. Докажите, что $T$ — ограниченный оператор и $\left\| T\right\| =\left\| g\right\|_{\max }$.

Пусть $p, q$ — вещественные числа такие, что $q>1$ и $1 / p+1 / q=1$, и пусть $\left(a_{i j}\right)$ — бесконечная матрица вещественных чисел такая, что

Докажите, что

задаёт ограниченный линейный оператор

из $\ell^{p}$ в $\ell^{q}$.

Пусть $K:[0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция такая, что

Докажите, что

задаёт оператор в $\mathcal{L}\left(L^{\infty }\right)$,

Пусть $K:[0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Докажите, что

задаёт оператор в $\mathcal{L}(C[0,1])$,

Пусть $K:[0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция такая, что

где $\left\| K(s, t)\right\|_{t, \infty }$ означает $L^{\infty }$-норму $K$ как функции от $t$ при фиксированном $s$. Докажите, что

задаёт оператор в $\mathcal{L}\left(L^{1}\left({[0,1]}\right)\right)$,

Пусть $q>1$ и пусть $K:[0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция такая, что

Докажите, что

задаёт оператор в $\mathcal{L}\left(L^{p}\left({[0,1]}\right), L^{q}\left({[0,1]}\right)\right),(1 / p+1 / q=1)$

Пусть $K:[0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — измеримая функция такая, что

Докажите, что

задаёт оператор в $\mathcal{L}\left(L^{2}\left({[0,1]}\right)\right)$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $h$ — ограниченная измеримая функция на $X$, и пусть $T$ — оператор на $L^{p}\left(X, \mu \right)$, определённый формулой $T f=h f$. Докажите, что:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой и пусть $p \geq q$. Найдите норму тождественного оператора $\operatorname {Id}: L^{p}\left(X, \mu \right) \rightarrow L^{q}\left(X, \mu \right)$.

Пусть $1 \leq p \leq q<\infty$. Определите, для каких функций $h$ на $[0,1]$ умножение на $h$ является ограниченным оператором из $L^{p}[0,1]$ в $L^{q}[0,1]$.

Пусть $T: C[0,1] \rightarrow C[0,1]$ определён формулой $T f(x)=x^{3} f(x)$ для всех $f \in C[0,1]$ и каждого $x \in [0,1]$.

Пусть $T: C[0,1] \rightarrow C[0,1]$ определён формулой $T f(x)=\int_{0}^{x} f(t) d t$ для всех $f \in C[0,1]$ и каждого $x \in [0,1]$. Докажите, что $T$ — ограниченный линейный оператор, и найдите его норму.

Пусть $T: L^{1}[0,1] \rightarrow L^{1}[0,1]$ определён формулой $T f(x)=f(\sqrt{x})$ для всех $f \in C[0,1]$ и каждого $x \in [0,1]$. Докажите, что $T$ — ограниченный линейный оператор, и найдите его норму.

Для $f \in L^{1}[0,1]$ пусть $x_{n}=\int_{0}^{1} f(t) t^{n} d t$, и пусть $T(f)=\left\{ x_{n}\right\}$. Докажите, что оператор $T$ является ограниченным линейным оператором, отображающим $L^{1}[0,1]$ в $c_{0}$, и найдите его норму. (См. упражнение 10.1.15.)

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \nu$ ) — $\sigma$-конечные пространства с мерой, пусть $K$ — $\mathfrak {M} \otimes \mathfrak {N}$-измеримая функция на $X \times Y$, и пусть $C>0$. Предположим, что

Докажите, что оператор $T$, определённый на $L^{p}\left(X, \mu \right)$ формулой

является ограниченным оператором и что $\left\| T f\right\|_{p} \leq C\left\| f\right\|_{p}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $1 \leq p<r \leq \infty$. Докажите, что:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $1 \leq p<r \leq \infty$. Докажите, что: