Изоморфизмы банаховых пространств

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства и пусть $S, T \in \mathcal{L}(X, Y)$. Предположим, что оператор $S T$ обратим. Докажите или опровергните: $T$ обратим.

Пусть $X$ — банахово пространство и пусть $T \in \mathcal{L}(X)$ удовлетворяет $\left\| T\right\| \leq \eta <1$. Докажите, что оператор $\operatorname {Id}-T$ имеет ограниченный обратный $(\operatorname {Id}-T)^{-1}$ и что $\left\| (\operatorname {Id}-T)^{-1}\right\| \leq 1 /(1-\eta )$.

Пусть $X, Y$ — нормированные пространства и $T: X \rightarrow Y$ — линейное отображение, имеющее единственный левый обратный $S$. Докажите, что $T$ обратим.

Приведите пример нормированных пространств $X, Y$ и оператора $T: X \rightarrow Y$, который:

Пусть $X$ — линейное пространство, и пусть $S, T: X \rightarrow X$ — линейные отображения. Докажите:

Пусть $X$ — линейное пространство, и пусть $T: X \rightarrow X$ — линейное отображение, удовлетворяющее уравнению $p(T)=0$ для некоторого многочлена $p$ с $p(0) \neq 0$. Докажите, что $T$ обратим.

Пусть $X$ — линейное пространство, пусть $T: X \rightarrow X$ — ограниченное отображение, удовлетворяющее уравнению $T^{2}=T$, и пусть $0<\left|\lambda \right|<1$. Найдите обратный к $\lambda \operatorname {Id}-T$.

Пусть $X$ — линейное пространство, пусть $T: X \rightarrow X$ — ограниченный оператор с $\left\| T\right\| <1$. Докажите или опровергните: уравнение $x-T x=y$ имеет решение $x$ для каждого $y \in X$.

Пусть $X$ — банахово пространство. Докажите, что множество обратимых операторов в $\mathcal{L}(X, X)$ открыто.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — ортонормированный базис $\mathcal{H}$, пусть $0 \leq C<1$, и пусть $\left\{ y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность в $\mathcal{H}$, такая что для любых скаляров $\left\{ \alpha_{n}\right\}$,

Докажите, что для каждого $x \in \mathcal{H}$ найдутся скаляры $\left\{ \beta_{n}\right\}$, такие что $x=\sum_{k=1}^{\infty } \beta_{k} y_{k}$, причём ряд сходится по норме $\mathcal{H}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство размерности $n$, пусть $\left\{ e_{1}, \ldots , e_{n}\right\}$ — базис $X$, и пусть $T: \mathbb {R}^{n} \rightarrow (X,\left\| \cdot \right\| )$ определён формулой $T\left(x_{1}, \ldots , x_{n}\right)= \sum_{k=1}^{n} x_{k} e_{k}$. Докажите, что $T$ — обратимый линейный оператор.

Докажите следствие 11.2.6.

Следствие 11.2.6: Два нормированных линейных пространства изоморфны тогда и только тогда, когда существует линейный оператор $T$, отображающий $X$ на $Y$, и положительные константы $m, M$, такие что $m\left\| x\right\| \leq \left\| Tx\right\| \leq M\left\| x\right\|$ для всех $x \in X$.

Докажите следствие 11.2.7.

Следствие 11.2.7: Пусть $X$ — векторное пространство, и пусть $\left\| \cdot \right\|_{\alpha }$ и $\left\| \cdot \right\|_{\beta }$ — две нормы на $X$. Нормированные пространства $(X, \left\| \cdot \right\|_{\alpha })$ и $(X, \left\| \cdot \right\|_{\beta })$ изоморфны тогда и только тогда, когда существуют положительные константы $m, M$, такие что $m\left\| x\right\|_{\alpha } \leq \left\| x\right\|_{\beta } \leq M\left\| x\right\|_{\alpha }$ для всех $x \in X$.

Докажите, что любые два бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространства изометрически изоморфны и что любой такой изоморфизм сохраняет скалярное произведение.

Докажите, что пространство $C[0,1]$ изометрически изоморфно своему подпространству $A=\left\{ f \in C[0,1]: f(t)=f(1-t)\right\}$.

Пусть $B\left(\ell^{1}\right)$ обозначает векторное пространство ограниченных последовательностей $\left\{ a_{n}\right\}$, где для каждого $n \in \mathbb {N}, a_{n} \in \ell^{1}$. Норма на $B\left(\ell^{1}\right)$ определена формулой

Докажите, что нормированные пространства $B\left(\ell^{1}\right)$ и $\mathcal{L}\left(\ell^{1}\right)$ изометрически изоморфны.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, и пусть $T \in \mathcal{L}(X, Y)$ — изометрия. Докажите, что образ $T$ — замкнутое подпространство $Y$.

Пусть $X, Y, Z$ — нормированные линейные пространства, пусть $F: X \rightarrow Y$ — изометрический изоморфизм, и пусть $G \in \mathcal{L}(Y, Z)$. Докажите, что $\left\| G\right\| =\left\| G \circ F\right\|$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство. Докажите, что существует пространство с мерой ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ), для которого $\mathcal{H}$ изометрически изоморфно $L^{2}\left(X, \mu \right)$.

Пусть $\mathcal{H}$ — бесконечномерное гильбертово пространство. Докажите, что существует непрерывное инъективное отображение $\gamma :[0,1] \rightarrow \mathcal{H}$, такое что $\gamma (b)-\gamma (a)$ ортогонально $\gamma (d)-\gamma (c)$ всякий раз, когда $0 \leq a \leq b \leq c \leq d \leq 1$.

Докажите, что если $T \in \mathcal{L}(\mathcal{H})$, то $T$ является изометрией на гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ тогда и только тогда, когда $\left\langle T u, T v \right\rangle = \left\langle u, v \right\rangle$ для всех $u, v \in \mathcal{H}$.

Пусть $X$ — векторное пространство, и пусть $\left\| \cdot \right\|_{\alpha }$ и $\left\| \cdot \right\|_{\beta }$ — две эквивалентные нормы на $X$. Докажите, что последовательность $\left\{ x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ в $X$ является последовательностью Коши относительно $\left\| \cdot \right\|_{\alpha }$ тогда и только тогда, когда она является последовательностью Коши относительно $\left\| \cdot \right\|_{\beta }$. Заключите, что ( $X,\left\| \cdot \right\|_{\alpha }$ ) полно тогда и только тогда, когда полно ( $X,\left\| \cdot \right\|_{\beta }$ ).

Пусть $X$ — векторное пространство, и пусть $\left\| \cdot \right\|_{\alpha }$ и $\left\| \cdot \right\|_{\beta }$ — две эквивалентные нормы на $X$. Пусть $\mathcal{T}_{\alpha }$ и $\mathcal{T}_{\beta }$ — соответствующие топологии. Докажите, что $\mathcal{T}_{\alpha }=\mathcal{T}_{\beta }$.

Докажите, что эквивалентность норм является отношением эквивалентности.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, и пусть $T$ — линейный обратимый оператор на $X$, такой что

Докажите, что существует эквивалентная норма на $X$, которая делает $T$ изометрией.

Докажите, что $\left\| f\right\| =\left|f(0)\right|+\left\| f^{\prime }\right\|_{\infty }$ задаёт норму на $C^{1}[0,1]$, эквивалентную норме, определённой как $\left\| f\right\|_{\alpha }:=\left\| f\right\|_{\infty }+\left\| f^{\prime }\right\|_{\infty }$.

Пусть $X$ — линейное пространство, снабжённое двумя нормами $\left\| \cdot \right\|_{1}$ и $\left\| \cdot \right\|_{2}$, такими что ( $X,\left\| \cdot \right\|_{1}$ ) полно, а тождественное отображение $\operatorname {Id}:\left(X,\left\| \cdot \right\|_{1}\right) \rightarrow \left(X,\left\| \cdot \right\|_{2}\right)$ непрерывно. Предположим, что существует $r>0$, такое что $B_{2}(0,1) \subset B_{1}(0, r)+ B_{2}(0,1 / 2)$. Докажите, что эти нормы эквивалентны.

Докажите, что существует $M>0$, такое что если $p(t)=a_{0}+a_{1} t+\cdots +a_{n} t^{n}$, то

Пусть

Для данного $p \in [1, \infty )$ определим

Покажите, что $\left\| \cdot \right\|_{p}^{i n f}$ является нормой для каждого $p$, и что все эти нормы эквивалентны.

Приведите пример открытого покрытия замкнутого единичного шара в $\ell^{2}$, не имеющего конечного подпокрытия.

Приведите пример открытого покрытия замкнутого единичного шара в $C[0,1]$, не имеющего конечного подпокрытия.

Гильбертов куб — это подмножество $\ell^{2}$, состоящее из всех последовательностей $\left\{ x_{n}\right\}$, таких что $\left|x_{n}\right| \leq 1 / n$ для всех $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что это компактное множество.

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}$ — ортонормированный базис гильбертова пространства $\mathcal{H}$, пусть $\left\{ a_{n}\right\} \subset$ ( $0,+\infty$ ), и пусть

Докажите, что $A$ компактно тогда и только тогда, когда $\sum_{n} a_{n}^{2}$ сходится.

Пусть $X$ — бесконечномерное нормированное линейное пространство. Докажите, что существует последовательность $\left\{ x_{n}\right\} \subset X$, такая что $\left\| x_{n}\right\| =1$ для всех $n \in \mathbb {N}$ и $\left\| x_{m}-x_{n}\right\| \geq 1 / 2$ при $m \neq n$.

Докажите, что векторное пространство всех многочленов от одной переменной не является банаховым пространством ни при какой норме.

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства. Докажите, что:

Пусть $\mathcal{F}$ — замкнутое подпространство $L^{p}\left(\mathbb {R}, \mathcal{M}, m\right), 1 \leq p<\infty$. Докажите, что $\mathcal{F}$ компактно тогда и только тогда, когда выполняются все следующие условия: