Теоремы об открытом отображении и замкнутом графике

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства, пусть $T \in \mathcal{L}(X, Y)$ — открытое отображение, и пусть $W$ — плотное подмножество $Y$. Докажите, что $T^{-1}(W)$ плотно в $X$.

Пусть $T$ — оператор на $\ell^{2}$, определённый как $T\left(\left\{ x_{n}\right\} \right)=\left\{ x_{n} / n\right\}$. Докажите, что:

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства, и предположим, что $X$ конечномерно. Докажите, что каждый линейный оператор $T: X \rightarrow Y$ непрерывен и открыт.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, и пусть $T \in \mathcal{L}(X, Y)$. Докажите, что $T$ открыт тогда и только тогда, когда 0 является внутренней точкой $\overline{T\left(B_{X}\right)}$.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, и пусть $T \in \mathcal{L}(X, Y)$. Докажите, что либо $T$ сюръективен, либо $T(X)$ — множество первой категории.

Докажите или опровергните: существует последовательность $a=\left\{ a_{n}\right\} \in \ell_{1}$ с $a_{n}>0$ для всех $n \in \mathbb {N}$, такая что

Пусть $X$ — банахово пространство, и пусть $P \in \mathcal{L}(X)$ — проекция (т.е. линейный оператор, удовлетворяющий $P^{2}=P$ ). Докажите, что $P$ открыт, т.е. что образ каждого открытого подмножества $X$ является относительно открытым множеством в $P(X)$.

Приведите пример банахова пространства $X$, замкнутого подпространства $V \subset X$ и линейного оператора $T \in \mathcal{L}(X)$, который открыт, но ограничение $T \mid V$ не является таковым.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, пусть $T \in \mathcal{L}(X, Y)$ сюръективен, и пусть $\tilde{T}: X / \operatorname {ker} T \rightarrow Y$ определён как $\tilde{T}([x])=T x$. Докажите, что $\tilde{T}$ — изоморфизм на $Y$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Докажите, что $X$ является банаховым пространством тогда и только тогда, когда существует банахово пространство $Y$ и непрерывное линейное открытое отображение $Y$ на $X$.

Докажите, что тождественный оператор $\operatorname {Id}:\left(C[0,1],\left\| \cdot \right\|_{\infty }\right) \rightarrow \left(C[0,1],\left\| \cdot \right\|_{1}\right)$ непрерывен и сюръективен, но не открыт.

Пусть $p \geq 2$ и пусть $X$ — подпространство $L^{p}\left(0,1\right)$, замкнутое в $L^{1}\left(0,1\right)$. Докажите, что ( $X,\left\| \cdot \right\|_{p}$ ) изоморфно гильбертову пространству.

Пусть $X$ — подпространство $L^{\infty }\left(0,1\right)$, замкнутое в $L^{2}\left(0,1\right)$. Докажите, что ( $X,\left\| \cdot \right\|_{\infty }$ ) конечномерно.

Пусть $X$ — линейное пространство, такое что ( $X,\left\| \cdot \right\|_{1}$ ) и ( $X,\left\| \cdot \right\|_{2}$ ) оба полны. Докажите, что эти нормы эквивалентны тогда и только тогда, когда $\left\| x_{n}\right\|_{1} \rightarrow 0$ влечёт $\left\| x_{n}\right\|_{2} \rightarrow 0$.

Пусть $\left\| \right\|$ — норма на $C[a, b]$, такая что ( $C[a, b]$,$\left\| \right\| ) полно, и$ предположим, что всякий раз, когда $\left\| f_{n}-f\right\| \rightarrow 0$, существует подпоследовательность $\left\{ f_{n_{k}}\right\}$, сходящаяся поточечно к $f$ на $[a, b]$. Докажите, что $\left\| \right\|$ эквивалентна $\left\| \cdot \right\|_{\max }$.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, и пусть $T \in \mathcal{L}(X, Y)$. Докажите, что $X / \operatorname {ker} T$ изоморфно $\operatorname {ran} T$ тогда и только тогда, когда $\operatorname {ran} T$ замкнуто.

Пусть $X$ — сепарабельное банахово пространство, пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — счётное плотное подмножество единичного шара $X$, и пусть $T: \ell^{1} \rightarrow X$ определён как $T\left(\left\{ a_{n}\right\} \right)= \sum_{n} a_{n} x_{n}$. Докажите, что:

Пусть $X, Y$ — нормированные пространства, и пусть $T: X \rightarrow Y$ — замкнутый линейный оператор. Докажите, что $\operatorname {ker} T$ замкнуто.

Пусть $\mathcal{D}$ — подмножество $L^{2}\left(0,1\right)$, определённое следующим образом. Функция $f$ принадлежит $\mathcal{D}$ тогда и только тогда, когда $f$ почти всюду равна функции $g$, абсолютно непрерывной на $[0,1]$, $g(0)=g(1)$, и $g^{\prime } \in L^{2}\left(0,1\right)$. Пусть $T$ — оператор, определённый на $\mathcal{D}$ формулой $T(f)=g^{\prime }$. Докажите, что $T$ — корректно определённый линейный оператор на $\mathcal{D}$, и что $T$ замкнут.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, и пусть $T: X \rightarrow X$ — линейное отображение, такое что $\operatorname {Id}-T$ обратимо. Докажите, что $T$ замкнут.

Пусть $X$ — подмножество $\ell^{1}$, состоящее из последовательностей $\left\{ a_{n}\right\}$, для которых $\sum n\left|a_{n}\right|<\infty$, и пусть $T: X \rightarrow \ell^{1}$ определён как $T\left(\left\{ x_{n}\right\} \right)=\left\{ n x_{n}\right\}$. (См. упражнение 10.1.28.) Докажите, что:

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, пусть $D$ — подпространство $X$, и пусть $T: D \rightarrow Y$ — замкнутый линейный оператор. Предположим, что $A \in \mathcal{L}(X, Y)$. Докажите, что $T+A$ замкнут.

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства, пусть $T: X \rightarrow Y$ — замкнутый линейный оператор, и пусть $F$ — компактное множество в $X$. Докажите, что $T(F)$ — замкнутое подмножество $Y$. Остаётся ли утверждение верным, если предположить лишь, что $F$ замкнуто в $X$?

Докажите, что оператор в примере 11.4.9 имеет замкнутый график.

Пример 11.4.9 (замкнутый оператор, не являющийся непрерывным): Пусть $X=C^{1}[0,1]$, $Y=C[0,1]$, оба с нормой $\left\| \cdot \right\|_{\max }$, и пусть $T: X \rightarrow Y$ определён как $Tf = f'$. Оператор $T$ не непрерывен.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, пусть $D$ — подпространство $X$, и $T: D \rightarrow Y$ — замкнутый линейный оператор. Докажите, что если $T$ обратим, то его образ должен быть замкнут в $Y$.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, пусть $T: X \rightarrow Y$ — линейный оператор, и предположим, что $T$ отображает замкнутые множества в замкнутые множества. Докажите, что $T$ — замкнутый оператор.

Пусть $X, Y$ — нормированные линейные пространства, пусть $D$ — подпространство $X$, и пусть $T: D \rightarrow Y$ — замкнутый обратимый линейный оператор. Докажите, что $T^{-1}$ замкнут.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, пусть $D_{A}, D_{B}$ — подпространства $X$, и пусть $A: D_{A} \rightarrow Y$ и $B: D_{B} \rightarrow Y$ — замкнутые линейные операторы. Докажите или опровергните: оператор $A+B: D_{A} \cap D_{B} \rightarrow Y$ замкнут.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, пусть $D$ — подпространство $X$, и пусть $A$ : $D \rightarrow Y$ — замкнутый линейный оператор. Если $D$ — замкнутое подпространство $X$, докажите, что $A$ ограничен.

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, и пусть $T: X \rightarrow Y$ — ограниченный линейный оператор. Покажите, что существует константа $c>0$, такая что $\left\| T x\right\| \geq c\left\| x\right\|$ для всех $x \in X$ тогда и только тогда, когда $T$ имеет тривиальное ядро и замкнутый образ.

Пусть $X, Y, Z$ — банаховы пространства, пусть $T: X \rightarrow Y$ — линейный оператор, и пусть $S$ — инъективный оператор в $\mathcal{L}(Y, Z)$. Докажите, что $S \circ T$ ограничен тогда и только тогда, когда $T$ ограничен.

Пусть $X$ — банахово пространство, и пусть $P: X \rightarrow X$ — проекция (т.е. линейный оператор, удовлетворяющий $P^{2}=P$ ). Докажите, что $P$ ограничен тогда и только тогда, когда его образ и ядро являются замкнутыми подпространствами $X$.

Пусть $\left\{ X_{k}\right\}_{k=1}^{N}$ — замкнутые подпространства банахова пространства $X$, пусть $X$ — прямая сумма $X=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{N}$, и пусть $P_{k}: X \rightarrow X_{k}$ — проекции (т.е. линейные операторы, удовлетворяющие $P_{k}^{2}=P_{k}$ ) такие, что $P_{k}(X)=X_{k}$ и $P_{k} \mid X_{j}=0$ для каждого $j \neq k$. Докажите, что каждый $P_{k}$ является ограниченным оператором.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1 \leq p, q \leq \infty$, и пусть $Y$ — подпространство $L^{p}\left(X, \mu \right) \cap L^{q}\left(X, \mu \right)$, замкнутое как в $L^{p}$, так и в $L^{q}$. Докажите, что нормы $L^{p}$ и $L^{q}$ эквивалентны на $Y$.

Пусть $X, Y$ — нормированные пространства и $T: X \rightarrow Y$ — замкнутый линейный оператор, такой что $T^{-1}: T(X) \rightarrow X$ корректно определён. Докажите, что:

Приведите пример, показывающий, что теорема о замкнутом графике не обязана выполняться, если $X$ не полно.

Пусть $X, Y, Z$ — банаховы пространства, и пусть $\left\{ A_{i}\right\}_{i \in I} \subset \mathcal{L}(Y, Z)$ обладает тем свойством, что если $A_{i} x=0$ для всех $i \in I$, то $x=0$. Предположим, что $A: X \rightarrow Y$ — линейный оператор, такой что для всех $i \in I$ оператор $A_{i} A$ непрерывен. Докажите, что $A$ непрерывен.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, $p, q \in [1, \infty ], p \neq q$, и пусть $L^{p}\left(X, \mu \right) \subset L^{q}\left(X, \mu \right)$. Докажите, что существует $C>0$, такое что $\left\| f\right\|_{q} \leq C\left\| f\right\|_{p}$ для всех $f \in L^{p}\left(X, \mu \right)$.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, пусть $S: X \rightarrow Y$ — неограниченный линейный оператор, и пусть $G$ — график $S$. Докажите, что:

Докажите, что тождественный оператор $\operatorname {Id}: C^{1}[0,1] \rightarrow A C[0,1]$ непрерывен, где норма на $A C[0,1]$ есть $\left\| f\right\| =\left\| f\right\|_{1}+\left\| f^{\prime }\right\|_{1}$ (см. упражнение 10.3.36), а норма на $C^{1}[0,1]$ есть $\left\| f\right\| :=\max_{x \in [0,1]}\left|f(x)\right|+\max_{x \in [0,1]}\left|f^{\prime }(x)\right|$ (см. упражнение 10.1.23).

Пусть $1 \leq p \leq \infty$, пусть $\left[a_{i j}\right]_{i, j=1}^{\infty }$ — бесконечная матрица вещественных чисел, и предположим, что для любого $\mathbf{x} \in \ell^{p}$ последовательность $A \mathbf{x}$ принадлежит $\ell^{p}$. Используя теорему о замкнутом графике, докажите, что оператор $T$, определённый как $T(\mathbf{x})=A \mathbf{x}$, является ограниченным оператором на $\ell^{p}$.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, и пусть $T \in \mathcal{L}(X, Y)$. Докажите, что образ $T$ замкнут в $Y$ тогда и только тогда, когда существует $C>0$, такое что $\inf \left\{ \left\| x-y\right\| : T y=0\right\} \leq C\left\| T x\right\|$ для всех $x \in X$.

Пусть $1 \leq p<\infty$, пусть $k:[0,1] \times [0,1] \rightarrow \mathbb {R}$, и предположим, что для почти каждого $x \in [0,1]$ функция $k(x, y) f(y)$ интегрируема (как функция $y$ ) на $[0,1]$. Докажите, что оператор $T$, определённый как $T f(x)=\int_{0}^{1} k(x, y) f(y) d y$, является ограниченным оператором на $L^{p}\left({[0,1]}\right)$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, пусть $T: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ — линейный оператор, являющийся симметричным, т.е. $\left\langle T x, y \right\rangle = \left\langle x, T y \right\rangle$ для всех $x, y \in \mathcal{H}$. Докажите, что $T$ ограничен. Приведите пример, показывающий, что утверждение неверно, если $D$ — плотное подпространство $\mathcal{H}$ и $T: D \rightarrow \mathcal{H}$ симметричен.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, пусть $T: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ — линейный оператор, такой что $\left\langle T x, x \right\rangle \geq 0$ для всех $x \in \mathcal{H}$. Докажите, что $T$ ограничен.