Принцип равномерной ограниченности

Пусть $X$ — банахово пространство, а $Y$ — нормированное линейное пространство, и пусть $T_{n}$ : $X \rightarrow Y, n \in \mathbb {N}$, — ограниченные линейные операторы. Предположим, что для каждого $x \in X$ последовательность $T_{n} x$ сходится, и пусть $T$ — оператор, определённый как $T x= \lim T_{n} x$. Докажите, что $T$ — ограниченный линейный оператор.

Пусть $X$ — банахово пространство, а $\mathcal{F}$ — неограниченное семейство ограниченных линейных операторов из $X$ в нормированное линейное пространство $Y$. Докажите, что множество $x \in X$, для которых $\sup \left\{ \left\| T x\right\| : T \in \mathcal{F}\right\} =\infty$, плотно в $X$.

Пусть $X, Y, Z$ — банаховы пространства, и пусть $F: X \times Y \rightarrow Z$ — раздельно непрерывное билинейное отображение, т.е. $F_{x} \in \mathcal{L}(Y, Z)$ для каждого $x \in X$ и $F^{y} \in \mathcal{L}(X, Z)$ для каждого $y \in Y$. Докажите, что $F$ непрерывно.

Приведите пример, показывающий, что принцип равномерной ограниченности (теорема 11.3.1) не выполняется, если $X$ не является банаховым пространством.

Теорема 11.3.1 (Принцип равномерной ограниченности): Пусть $X$ — банахово пространство, а $\mathcal{F}$ — семейство ограниченных линейных операторов из $X$ в нормированное линейное пространство $Y$. Если для каждого $x \in X$ $\sup \left\{ \left\| Tx\right\| : T \in \mathcal{F}\right\} < \infty$, то $\sup \left\{ \left\| T\right\| : T \in \mathcal{F}\right\} < \infty$.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства и $\left\{ T_{j, k}\right\} \subset \mathcal{L}(X, Y)$. Предположим, что для каждого $k \in \mathbb {N}$ найдётся $x \in X$, такой что $\sup_{j}\left\| T_{j, k} x\right\| =\infty$. Докажите, что существует $x \in X$, такой что $\sup_{j}\left\| T_{j, k} x\right\| =\infty$ для всех $k \in \mathbb {N}$.

Если $X$ — банахово пространство, последовательность $\left\{ T_{n}\right\} \subset \mathcal{L}(X)$ сходится сильно к линейному оператору $T: X \rightarrow X$, если $\lim T_{n} x=T x$ для всех $x \in X$. Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, последовательность $\left\{ T_{n}\right\} \subset \mathcal{L}(\mathcal{H})$ сходится слабо к линейному оператору $T: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$, если $\lim \left\langle T_{n} x, y \right\rangle = \left\langle T x, y \right\rangle$ для всех $x, y \in \mathcal{H}$.

Пусть $X$ — банахово пространство. Докажите, что если $\left\{ T_{n}\right\}$ сходится сильно к $T$ и $\lim x_{n}=x$, то $\lim T_{n} x_{n}=T x$.

Пусть $X$ — банахово пространство. Докажите, что если $\left\{ T_{n}\right\}$ сходится сильно к $T$ и $\left\{ S_{n}\right\}$ сходится сильно к $S$, то $\left\{ T_{n} S_{n}\right\}$ сходится сильно к $T S$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, и пусть $A, B: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ — линейные операторы, удовлетворяющие $\left\langle B x, y \right\rangle = \left\langle x, A y \right\rangle$ для всех $x, y \in \mathcal{H}$. Докажите, что $A$ и $B$ оба ограничены.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство с ортонормированным базисом $\left\{ e_{n}\right\}$, и пусть $\left\{ T_{n}\right\} ,\left\{ S_{n}\right\}$ — последовательности в $\mathcal{L}(\mathcal{H})$, определённые формулами $T_{n}\left(\sum_{k} a_{k} e_{k}\right)=a_{n} e_{n}$ и $S_{n}\left(\sum_{k} a_{k} e_{k}\right)= \sum_{k} a_{k} e_{n+k}$. Докажите, что:

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, пусть $T \in \mathcal{L}(X, Y)$, пусть $\left\{ T_{n}\right\}$ — ограниченная последовательность в $\mathcal{L}(X, Y)$, и предположим, что $\lim_{n}\left\| T_{n} x-T x\right\| =0$ для всех $x$ из плотного подмножества $X$. Докажите или опровергните: $\lim_{n}\left\| T_{n}-T\right\| =0$.

Докажите утверждения (a)–(c), сделанные в доказательстве теоремы 11.3.5.

Теорема 11.3.5: Пусть $A=[a_{ij}]$ — матрица. Необходимым и достаточным условием того, что для каждой сходящейся последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$ каждый ряд $y_{i} = \sum_{k=1}^{\infty } a_{ik} x_{k}$ сходится и $\lim y_{n} = \lim x_{n}$, является выполнение следующих 3 условий: (i) Существует $M > 0$, такое что $\sum_{k=1}^{\infty } \left|a_{ik}\right| \leq M$ для всех $i=1,2,\ldots$. (ii) $\lim_{i} a_{ik} = 0$ для всех $k=1,2,\ldots$. (iii) $\lim_{i} \sum_{k=1}^{\infty } a_{ik} = 1$.

В доказательстве для сходящейся последовательности $x=\left\{ x_{n}\right\}$ вводятся линейные операторы $T_{i}(x) = \sum_{k=1}^{\infty } a_{ik} x_{k}$ и $T(x) = \lim x_{n}$, а также $e=(1,1,1,\ldots )$ и, для каждого $k$, $e_{k}$ — последовательность с $1$ на $k$-м месте и нулями в остальных. Требуется доказать три утверждения: (a) $\left\| T_{i}\right\| = \sum_{k=1}^{\infty } \left|a_{ik}\right|$ для всех $i=1,2,\ldots$. (b) $T_{i}(e_{k}) = a_{ik}$ для всех $k=1,2,\ldots$. (c) $T_{i}(e) = \sum_{k=1}^{\infty } a_{ik}$.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства и пусть $\left\{ T_{n}\right\} \subset \mathcal{L}(X, Y)$ — операторы, такие что для всех $x \in X$ ряд $\sum_{n} T_{n}(x)$ сходится. Докажите, что $\sum_{n=1}^{\infty }\left\| T_{n}\right\| / 2^{n}$ сходится.

Пусть $p, q$ — вещественные числа, такие что $p>1$ и $1 / p+1 / q=1$. Докажите, что функция $f g \in L^{1}\left(a, b\right)$ для каждого $g \in L^{p}$ тогда и только тогда, когда $f \in L^{q}$.

Докажите, что функция $f g \in L^{1}\left(a, b\right)$ для каждого $g \in L^{1}$ тогда и только тогда, когда $f \in L^{\infty }$.

Пусть $p, q$ — вещественные числа, такие что $p>1$ и $1 / p+1 / q=1$. Докажите, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty } a_{n} b_{n}$ абсолютно сходится для каждой последовательности $\left\{ b_{n}\right\} \in \ell^{p}$ тогда и только тогда, когда $\left\{ a_{n}\right\} \in \ell^{q}$.

Докажите, что ряд $\sum_{n=1}^{\infty } a_{n} b_{n}$ абсолютно сходится для каждой последовательности $\left\{ b_{n}\right\} \in \ell^{1}$ тогда и только тогда, когда $\left\{ a_{n}\right\} \in \ell^{\infty }$.

Докажите, что если ряд $\sum_{n=1}^{\infty } a_{n} b_{n}$ сходится для каждой последовательности $\left\{ b_{n}\right\} \in c_{0}$, то $\left\{ a_{n}\right\} \in \ell^{1}$.

Докажите, что $S_{k}:=\sum_{n=1}^{\infty } a_{n}^{(k)} b_{n}$ сходится для каждой последовательности $\left\{ b_{n}\right\} \in c_{0}$ и $\lim_{k} S_{k}=0$ тогда и только тогда, когда $\sup_{k}\left\| a^{(k)}\right\|_{1}<\infty$ и $\lim_{k} a_{n}^{(k)}=0$ для всех $n \in \mathbb {N}$.

Пусть $1 \leq q<p<\infty$. Определите, для каких функций $h$ на $[0,1]$ умножение на $h$ является ограниченным оператором из $L^{p}[0,1]$ в $L^{q}[0,1]$.

Пусть $s_{n}$ обозначает $n$-ю частичную сумму ряда Фурье функции $f \in C[0,2 \pi ]$, пусть $D_{n}$ обозначает ядро Дирихле, и пусть $\left\| \cdot \right\|_{1}$ — норма в $L^{1}\left(0,2 \pi \right)$. Докажите, что:

Пусть $X$ — банахово пространство, а $Y$ — нормированное линейное пространство, и пусть $\left\{ T_{n}\right\} \subset \mathcal{L}(X, Y)$. Предположим, что всякий раз, когда $\left\{ x_{n}\right\} \subset X$ и $\lim_{n}\left\| x_{n}\right\| =0$, получаем $\lim_{n}\left\| T_{n} x_{n}\right\| =0$. Докажите, что $\sup_{n}\left\| T_{n}\right\| <\infty$.

Пусть $X$ — банахово пространство, а $Y$ — нормированное линейное пространство, и пусть $\left\{ T_{n}\right\} \subset \mathcal{L}(X, Y)$. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:

Пусть $\left\{ a_{n}\right\} \subset \mathbb {R}$ обладает тем свойством, что если $\left\{ x_{n}\right\} \in c_{0}$, то $\left\{ a_{n} x_{n}\right\} \in c_{0}$. Докажите, что $\left\{ a_{n}\right\} \in \ell^{\infty }$.

Пусть $X$ — банахово пространство и $\left\{ T_{n}\right\} \subset \mathcal{L}(X, \mathbb {R})$. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:

Приведите пример того, что импликация (a) ⇒ (b) в упражнении 11.3.24 неверна, если $\left\{ T_{n}\right\} \subset \mathcal{L}(X, Y)$, где $Y$ — банахово пространство.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, и пусть $\left\{ x_{n}\right\} \subset X$ обладает тем свойством, что если $T \in \mathcal{L}(X, \mathbb {R})$, то $\sum_{k=1}^{\infty }\left|T\left(x_{k}\right)\right|$ сходится. Докажите, что

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства, и пусть $\left\{ T_{n}\right\} \subset \mathcal{L}(X, Y)$. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:

Пусть $X$ — банахово пространство и $\left\{ T_{n}\right\} \subset \mathcal{L}(X, \mathbb {R})$. Предположим, что $1< p<\infty$ и $1 / p+1 / q=1$. Докажите, что следующие утверждения эквивалентны:

Приведите пример того, что импликация (a) ⇒ (b) в упражнении 11.3.28 неверна, если $\left\{ T_{n}\right\} \subset \mathcal{L}(X, Y)$, где $Y$ — банахово пространство.

Пусть $1 \leq p<\infty$, пусть $\left[a_{i j}\right]_{i, j=1}^{\infty }$ — бесконечная матрица вещественных чисел, и предположим, что для любого $\mathbf{x} \in \ell^{p}$ последовательность $A \mathbf{x}$ принадлежит $\ell^{p}$. Используя принцип равномерной ограниченности, докажите, что оператор $T$, определённый как $T(\mathbf{x})=A \mathbf{x}$, является ограниченным оператором на $\ell^{p}$.