Дифференцирование и интегрирование

Вычислите все производные Дини функции $\chi_{\mathbb {Q}}$ — характеристической функции рациональных чисел.

Пусть

Вычислите все четыре производные Дини функции $f$ в точках $x=0$ и $x=1$.

Вычислите все производные Дини функции $x \chi_{\mathbb {Q}}(x)-x \chi_{\mathbb {Q}^{C}}(x)$ в точках $x=0$ и $x=1$.

Пусть $f(x)=2^{-n}$, если $x \in \left(2^{-n}, 2^{-n+1}\right]$, и $f(0)=0$. Вычислите все четыре производные Дини функции $f$ в точке $x=0$.

Вычислите все производные Дини функции $\chi_{[0,1]}(x)$ в точках $x=0$ и $x=1$.

Постройте возрастающую функцию $f:[-1,1] \rightarrow \mathbb {R}$ такую, что ни одна из четырёх производных Дини в точке 0 не равна остальным.

Докажите, что функция $f$ дифференцируема в точке $x_{0}$ (в стандартном смысле) тогда и только тогда, когда все 4 производные Дини равны между собой и конечны, и в этом случае $f^{\prime }\left(x_{0}\right)= D^{+} f\left(x_{0}\right)=D_{+} f\left(x_{0}\right)=D^{-} f\left(x_{0}\right)=D_{-} f\left(x_{0}\right)$.

Если $f$ определена и конечна на $[-c, c]$, докажите следующее:

Если $f$ и $g$ определены и конечны на $[a, b]$, докажите, что для каждого $x$, $D^{+}(f+ g)(x) \leq D^{+} f(x)+D^{+} g(x)$. Приведите пример, показывающий, что неравенство может быть строгим.

Пусть $f, g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывны и предположим, что для каждого $x \in \mathbb {R}$, $D^{+} f(x)=D^{+} g(x)<\infty$. Докажите, что $f$ и $g$ отличаются на константу.

Приведите пример, показывающий, что правило цепочки для производных Дини $D^{+}(f \circ g)(x)=D^{+} f(g(x)) D^{+} g(x)$ не выполняется.

Пусть $A$ — подмножество $\mathbb {R}$ меры 0. Докажите, что существует непрерывная возрастающая функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, для которой каждая производная Дини бесконечна в каждой точке $A$.

Пусть $f:(a, b) \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Докажите, что $f$ невозрастает на ( $a, b$ ) тогда и только тогда, когда $D^{+} f \leq 0$ на ( $a, b$ ).

Пусть $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывные функции такие, что $D^{+} f(t) \leq 0$ и $D^{+} g(t) \leq 0$ на $(a, b)$. Если $h(t)=\max \left\{ f(t), g(t)\right\}$, докажите, что $D^{+} h(t) \leq 0$ на $(a, b)$.

Если $f$ и $g$ определены и конечны на $[a, b]$, докажите следующее:

Пусть $f$ и $g$ неотрицательны и непрерывны в точке $c$.

Завершите доказательство предложения 9.1.4 (если $f$ монотонна, то все четыре производные Дини функции $f$ измеримы), показав, что если $f$ монотонна, то остальные три производные Дини функции $f$ измеримы ( $D_{+}, D^{-}$, и $D_{-}$).

Предположим, что $D_{+} f\left(x_{0}\right)$ конечна. Докажите, что $f$ непрерывна справа в точке $x_{0}$.

Предположим, что $f$ непрерывна на $(a, b)$. Докажите, что $f$ возрастает на $(a, b)$ тогда и только тогда, когда хотя бы одна из четырёх производных Дини функции $f$ неотрицательна на $(a, b)$.

Пусть $f$ — возрастающая функция на $[a, b]$ и пусть $x_{0} \in (a, b)$. Докажите, что ни одна из производных Дини не может быть отрицательной (или равной $-\infty$ ) в точке $x_{0}$.

(Дини, 1878) Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Докажите, что грани каждой из производных Дини совпадают с гранями разностного отношения

при $x, y \in [a, b]$. Используйте это, чтобы заключить, что если одна производная Дини непрерывной функции $f$ непрерывна в точке $x_{0}$, то и остальные три непрерывны. Покажите, что в этом случае все четыре производные Дини равны между собой, так что $f$ дифференцируема в точке $x_{0}$.

Приведите пример, показывающий, что заключения упражнения 9.1.21 не обязаны выполняться, если убрать предположение непрерывности $f$.

Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, и пусть константа $M$ и множество $E \subset [a, b]$ положительной меры удовлетворяют $D^{+} f(x) \geq M$ для всех $x \in E$ (или $D^{-} f(x) \geq M$ для всех $x \in E$ ). Докажите, что для каждого $\varepsilon >0$ существует конечный набор непересекающихся интервалов $\left(a_{1}, b_{1}\right), \ldots ,\left(a_{n}, b_{n}\right)$ в $[a, b]$ таких, что $\sum_{i=1}^{n}\left(b_{i}-a_{i}\right)> m(E)-\varepsilon$ и

Пусть $f$ — вещественнозначная функция. Докажите, что множество точек, где $D^{+} f(x)<D_{-} f(x)$, счётно.

Приведите пример, показывающий, что множество $A_{1}$ из теоремы 9.1.7 может иметь меру Лебега $b-a$. Сделайте то же самое для множеств $A_{2}$ и $A_{3}$.

Теорема 9.1.7 (теорема Данжуа--Юнга--Сакса): пусть $f$ — вещественнозначная функция, определённая на $[a, b]$. Тогда почти каждая точка $x \in [a,b]$ принадлежит одному из четырёх множеств: $A_1$, на котором $f$ имеет конечную производную; $A_2$, на котором $D^{+} f=D_{-} f$ конечна, $D^{-} f=\infty$, а $D_{+} f=-\infty$; $A_3$, на котором $D^{-} f=D_{+} f$ конечна, $D^{+} f=\infty$, а $D_{-} f=-\infty$; $A_4$, на котором $D^{-} f=D^{+} f=\infty$ и $D_{-} f=D_{+} f=-\infty$.

Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$ и предположим, что она имеет локальный максимум в точке $c \in (a, b)$. Докажите, что

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и предположим, что $D^{+} f$ интегрируема по Риману на $[a, b]$. Докажите, что

Если $f$ непрерывна на $[a, b]$, докажите, что все четыре производные Дини функции $f$ измеримы.

Если $f$ измерима, докажите, что все четыре производные Дини функции $f$ измеримы.

Функция $f \in C[a, b]$ называется гёльдеровски непрерывной порядка $\delta$, обозначение $f \in \Lambda_{\delta }$, если существует константа $C$ такая, что $\left|f(x)-f(y)\right| \leq C\left|x-y\right|^{\delta }$ для всех $x, y \in [a, b]$. Докажите, что гёльдеровски непрерывные функции образуют множество первой категории в $C[a, b]$.

Пусть $\mathcal{F}=\left\{ [p, q]: 0 \leq p<q \leq 1, p, q \in \mathbb {Q}\right\}$. Докажите, что $\mathcal{F}$ — покрытие Витали для $[0,1]$.

Пусть $E \subset \mathbb {R}$, и для каждого $x \in E$ пусть $\left\{ \beta_{n}(x)\right\}$ — строго убывающая последовательность вещественных чисел, сходящаяся к $x$. Докажите, что $\mathcal{F}=\left\{ \left[x, \beta_{n}(x)\right]: x \in E\right\}$ — покрытие Витали для $E$.

Пусть $E \subset \mathbb {R}$ — объединение (не обязательно счётное и не обязательно дизъюнктное) невырожденных интервалов (открытых, замкнутых, полуоткрытых и полузамкнутых, бесконечных и т.д.). Покажите, что $E$ измеримо.

Покажите, что лемма о покрытии Витали распространяется на случай, когда покрывающее семейство состоит из невырожденных интервалов, не обязательно замкнутых.

Покажите, что лемма о покрытии Витали не распространяется на случай, когда покрывающее семейство содержит некоторые интервалы, не обязательно невырожденные.

Докажите, что множество $E \subset \mathbb {R}$ имеет меру 0 тогда и только тогда, когда существует счётное семейство открытых интервалов $\left\{ I_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ такое, что каждая точка из $E$ принадлежит бесконечному числу этих интервалов и $\sum_{k=1}^{\infty } \ell \left(I_{k}\right)<\infty$.

Докажите, что каждая функция $g_{n}$, определённая в доказательстве следствия 9.2.9, интегрируема по Риману.

В доказательстве следствия 9.2.9 (утверждающего, что для возрастающей на $[a,b]$ функции $f$ производная $f'$ интегрируема на $[a,b]$ и $\int_{a}^{b} f' \leq f(b) - f(a)$), функция $f$ сначала продолжается на $[a, b+1]$ по правилу $f(x) = f(b)$ при $x \in [b, b+1]$, а затем полагается $g_{n}(x) := \dfrac {f(x+1/n) - f(x)}{1/n}$ при $x \in (a, b)$.

Докажите неравенство (9.23).

Докажите теорему 9.2.12.

Теорема 9.2.12: Пусть $f$ — монотонная функция на $(a,b)$. Тогда $f$ имеет не более чем счётное число скачков разрыва на $(a,b)$.

Докажите теорему 9.2.13.

Теорема 9.2.13: Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — счётное подмножество $[a,b]$ и пусть $\left\{ c_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность положительных чисел, для которой ряд $\sum_{n=1}^{\infty } c_{n}$ сходится. Для данного $x \in [a,b]$ пусть $E(x)$ — подмножество $\mathbb {N}$, состоящее из тех целых чисел $n$, для которых $x_{n} < x$, и пусть $f(x) := \sum_{n \in E(x)} c_{n}$ (с $f(x) = 0$, если $E(x) = \varnothing$). Тогда: (a) $f$ — монотонно возрастающая функция на $[a,b]$. (b) $f$ имеет скачок разрыва в каждой точке $x_{n}$. (c) Скачок в точке $x = x_{n}$ равен $c_{n}$. (d) $f$ непрерывна во всех остальных точках $[a,b]$.

Пусть $E$ — подмножество $\mathbb {R}$ и $A$ — счётное подмножество $E$. Докажите или опровергните: существует монотонная функция на $E$, непрерывная только в точках $E \backslash A$.

Пусть $f$ — возрастающая функция на $[a, b]$. Докажите, что

Докажите неравенство (9.20).

Пусть $E \subset [a, b]$ — множество меры 0. Докажите, что существует непрерывная возрастающая функция $f$ такая, что $f^{\prime }(x)=+\infty$ для всех $x \in E$.

Докажите или опровергните: производная непрерывной монотонной функции дифференцируема почти всюду.

Пусть $f$ непрерывна на $(a, b)$ и пусть $E=\left\{ x \in (a, b): D_{-} f(x)< D^{+} f(x)\right\}$. Докажите, что $E$ не может содержать невырожденного интервала.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ монотонно возрастает и пусть $g(x)=\lim_{h \rightarrow 0+} f(x+ h)$. Докажите, что функция $g$ обладает следующими свойствами:

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ строго возрастает и $E \subset [a, b]$ таково, что в каждой точке $x \in E$ выполняется $D^{+} f(x) \leq M$. Докажите, что $m^{*} f(E) \leq M m^{*}(E)$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ строго возрастает и $E \subset [a, b]$ таково, что в каждой точке $x \in E$ выполняется $D_{-} f(x) \geq C$. Докажите, что $m^{*} f(E) \geq C m^{*}(E)$.

Докажите, что всякая монотонная функция, определённая на интервале, борелевски измерима.

Пусть $f$ непрерывна на $\mathbb {R}$. Докажите или опровергните: существует открытый интервал, на котором $f$ монотонна.

Пусть $f$ дифференцируема на $\mathbb {R}$, пусть $x_{0} \in \mathbb {R}$ и предположим, что $f^{\prime }\left(x_{0}\right)>0$. Докажите или опровергните: существует открытый интервал $I$, содержащий $x_{0}$, такой, что $f$ монотонна на $I$.

(Фубини) Пусть $f_{k}:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — монотонно возрастающие функции при $k= 1,2, \ldots$, и предположим, что ряд $f(x)=\sum_{k=1}^{\infty } f_{k}(x)$ сходится поточечно на $[a, b]$. Докажите, что $f^{\prime }(x)=\sum_{k=1}^{\infty } f_{k}^{\prime }(x)$ для почти всех $x \in [a, b]$.

Пусть $f_{k}:(0,1) \rightarrow \mathbb {R}$ монотонно возрастают при $k=1,2, \ldots$, и предположим, что $\lim_{n} f_{n}(x)=1$ для почти всех $x \in (0,1)$. Докажите, что $\liminf_{n} f_{n}^{\prime }(x)=0$ для почти всех $x \in (0,1)$.

Приведите пример функций $f, g:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ таких, что $f$ возрастает и непрерывна, $g$ — многочлен, и

Докажите или опровергните: если $f: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ возрастает по каждой переменной, то она борелевски измерима.

Пусть $\phi$ обозначает функцию Кантора—Лебега, и положим $\phi (x)=0$ при $x<0$ и $\phi (x)=1$ при $x>1$. Пусть $\left\{ \left[a_{n}, b_{n}\right]\right\}$ — совокупность всех замкнутых подынтервалов $[0,1]$ с рациональными концами, пусть

и пусть $G=\sum_{1}^{\infty } 2^{-n} F_{n}$. Докажите, что $G$ непрерывна и строго возрастает на $[0,1]$ и что $G^{\prime }=0$ почти всюду.

Цель этого упражнения — установить так называемый принцип отбора Хелли: если $\left\{ f_{n}\right\}$ — равномерно ограниченная последовательность возрастающих функций на $[0,1]$, то существует подпоследовательность $\left\{ f_{n_{k}}\right\}$, которая сходится поточечно в каждой точке $[0,1]$ к возрастающей функции $f$.

Пусть $\left\{ I_{n}\right\}$ — последовательность подынтервалов $[0,1]$ с рациональными концами. Для каждого $I_{n}$ пусть $E_{n}$ — множество всех непрерывных функций на $[0,1]$, монотонных на $I_{n}$. Используя эти множества, докажите, что существует непрерывная функция на $[0,1]$, не монотонная ни на одном подынтервале $[0,1]$.

Пусть $A \subset [0,1]$ — множество первой категории, и $f: A \rightarrow \mathbb {R}$ — строго монотонная функция. Докажите, что $f(A)$ — множество первой категории.

Пусть $f$ дифференцируема на $[a, b]$ с ограниченной производной. Докажите, что $f$ имеет ограниченную вариацию на $[a, b]$.

Докажите, что функция Дирихле не имеет ограниченной вариации.

Пусть $f$ — функция ограниченной вариации на $[a, b]$ и $[c, d] \subset [a, b]$. Докажите, что $f$ имеет ограниченную вариацию на $[c, d]$.

Докажите, что всякая функция ограниченной вариации ограничена.

Пусть $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — функции ограниченной вариации. Докажите, что $f g$ также имеет ограниченную вариацию.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — функция ограниченной вариации. Докажите, что $\left|f\right|$ также имеет ограниченную вариацию.

Пусть $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — функции ограниченной вариации, и предположим, что $1 / g$ ограничена на $[a, b]$. Докажите, что $f / g$ имеет ограниченную вариацию.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, и предположим, что $f$ имеет ограниченную вариацию на каждом замкнутом подынтервале $(a, b)$. Докажите или опровергните: $f$ имеет ограниченную вариацию на $[a, b]$.

Пусть

Определите, имеет ли $f$ ограниченную вариацию на $[0,1]$.

Пусть

Докажите, что $f$ имеет ограниченную вариацию на $[0,1]$ тогда и только тогда, когда $\alpha +\beta >0$, либо одновременно $\alpha +\beta =0$ и $\beta \geq 0$.

Пусть $g$ — функция ограниченной вариации на $[0,1]$, и пусть $f$ — непрерывная функция на $\mathbb {R}$. Докажите или опровергните: $f \circ g$ имеет ограниченную вариацию на $[0,1]$.

Пусть $g$ — функция ограниченной вариации на $[0,1]$, и пусть $f$ — функция ограниченной вариации на $\mathbb {R}$. Докажите или опровергните: $f \circ g$ имеет ограниченную вариацию на $[0,1]$.

Пусть $f$ — функция на $[0,1]$, не имеющая ограниченной вариации. Докажите, что существует точка $x_{0} \in [0,1]$ такая, что $f$ не имеет ограниченной вариации ни на каком подынтервале $[0,1]$, содержащем $x_{0}$ во внутренней точке.

Приведите пример функции, дифференцируемой на $[0,1]$, но не имеющей ограниченной вариации на $[0,1]$.

Пусть $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$. Докажите, что $V_{a}^{b}(f+g) \leq V_{a}^{b}(f)+V_{a}^{b}(g)$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ и $\alpha \in \mathbb {R}$. Докажите, что $V_{a}^{b}(\alpha f)=\left|\alpha \right| V_{a}^{b}(f)$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$. Докажите, что $V_{a}^{b}(f)=0$ тогда и только тогда, когда $f$ постоянна.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — функция ограниченной вариации, и пусть $x_{0} \in (a, b)$. Докажите, что если $f$ непрерывна слева (справа) в $x_{0}$, то и $V_{a}^{x}(f)$ непрерывна слева (справа) в этой точке.

Для функции $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ длина кривой $y=f(x), a \leq x \leq b$ определяется как

где супремум берётся по всем разбиениям $P=\left\{ x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}\right\}$ отрезка $[a, b]$. Докажите, что $L(f)$ конечна тогда и только тогда, когда $f$ имеет ограниченную вариацию на $[a, b]$.

Пусть $f$ дифференцируема на $[a, b]$ с производной $f^{\prime }$, интегрируемой по Риману на $[a, b]$. Докажите, что

Что будет, если интеграл от $\left|f^{\prime }\right|$ является сходящимся несобственным интегралом?

Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, и предположим, что $D^{+} f$ интегрируема по Риману на $[a, b]$. Докажите, что

Что будет, если интеграл от $\left|D^{+} f\right|$ является сходящимся несобственным интегралом?

Пусть $f, g$ дифференцируемы на $[a, b]$, и пусть $C>0$ таково, что $\left|f^{\prime }\right| \leq C\left|g^{\prime }\right|$ на $[a, b]$. Предположим, что либо $g^{\prime }$ интегрируема по Риману на $[a, b]$, либо интеграл от $\left|g^{\prime }\right|$ является сходящимся несобственным интегралом. Докажите, что $f$ имеет ограниченную вариацию на $[a, b]$.

В упражнениях 9.3.23--9.3.26 найдите полную вариацию:

$V_{0}^{50}\left(e^{x}\right)$.

$V_{1}^{2}(\ln x)$.

$V_{0}^{4 \pi }(\cos x)$.

$V_{-1}^{1}\left(x-x^{3}\right)$.

Пусть $f, g$ — непрерывные функции ограниченной вариации на $[0,1]$. Докажите, что множество $\left\{ (f(x), g(x)): x \in [0,1]\right\}$ не может быть квадратом $[0,1] \times [0,1]$. Что будет, если $f, g$ лишь непрерывны?

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность вещественнозначных функций на $[a, b]$, сходящаяся поточечно на $[a, b]$ к вещественнозначной функции $f$. Докажите, что

Найдите все функции $f$ ограниченной вариации на $[0,1]$ такие, что

Пусть $f$ — функция ограниченной вариации на замкнутом ограниченном отрезке $[a, b]$. Докажите, что существует последовательность разбиений $\left\{ P_{n}\right\}$ отрезка $[a, b]$, для которой последовательность $\left\{ V\left(f, P_{n}\right)\right\}$ возрастает и сходится к $V_{a}^{b}(f)$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция ограниченной вариации, и пусть $P=\left\{ x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}\right\}$ — разбиение $[a, b]$. Для $1 \leq k \leq n$ пусть $M_{k}$ и $m_{k}$ обозначают максимум и минимум соответственно функции $f$ на $\left[x_{k-1}, x_{k}\right]$, и пусть $\Omega (f, P)=\sum_{k=1}^{n}\left(M_{k}-m_{k}\right)$. Докажите, что

Докажите или опровергните: существует непрерывная функция, не имеющая ограниченной вариации ни на одном интервале.

Пусть $f(x)=\sin x$ на $[0,2 \pi ]$. Найдите две возрастающие функции $h$ и $g$, для которых $f=h-g$ на $[0,2 \pi ]$.

Пусть $f(x)=3 x^{2}-2 x^{3}$ на $[-2,2]$. Найдите две возрастающие функции $h$ и $g$, для которых $f=h-g$ на $[-2,2]$.

Пусть $f(x)=\left\lfloor x\right\rfloor -x$ на $[0,2]$. Найдите две возрастающие функции $h$ и $g$, для которых $f=h-g$ на $[ 0,2 ]$.

Пусть $f$ — функция ограниченной вариации на замкнутом ограниченном отрезке $[a, b]$. Докажите или опровергните: $f$ — измеримая функция.

Пусть $f$ — функция ограниченной вариации на замкнутом ограниченном отрезке $[a, b]$. Докажите, что существуют две ограниченные возрастающие функции $f_{1}$ и $f_{2}$ такие, что $f=f_{1}-f_{2}$ и $f_{1}+f_{2}=V_{a}^{b} f$.

Пусть $f$ — функция ограниченной вариации на замкнутом ограниченном отрезке $[a, b]$. Докажите, что $\left|f^{\prime }(x)\right| \leq \left(V_{a}^{x}(f)\right)^{\prime }$ для почти всех $x \in [a, b]$.