Функции ограниченной вариации

Пусть $f$ дифференцируема на $[a, b]$ с ограниченной производной. Докажите, что $f$ имеет ограниченную вариацию на $[a, b]$.

Докажите, что функция Дирихле не имеет ограниченной вариации.

Пусть $f$ — функция ограниченной вариации на $[a, b]$ и $[c, d] \subset [a, b]$. Докажите, что $f$ имеет ограниченную вариацию на $[c, d]$.

Докажите, что всякая функция ограниченной вариации ограничена.

Пусть $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — функции ограниченной вариации. Докажите, что $f g$ также имеет ограниченную вариацию.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — функция ограниченной вариации. Докажите, что $\left|f\right|$ также имеет ограниченную вариацию.

Пусть $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — функции ограниченной вариации, и предположим, что $1 / g$ ограничена на $[a, b]$. Докажите, что $f / g$ имеет ограниченную вариацию.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, и предположим, что $f$ имеет ограниченную вариацию на каждом замкнутом подынтервале $(a, b)$. Докажите или опровергните: $f$ имеет ограниченную вариацию на $[a, b]$.

Пусть

Определите, имеет ли $f$ ограниченную вариацию на $[0,1]$.

Пусть

Докажите, что $f$ имеет ограниченную вариацию на $[0,1]$ тогда и только тогда, когда $\alpha +\beta >0$, либо одновременно $\alpha +\beta =0$ и $\beta \geq 0$.

Пусть $g$ — функция ограниченной вариации на $[0,1]$, и пусть $f$ — непрерывная функция на $\mathbb {R}$. Докажите или опровергните: $f \circ g$ имеет ограниченную вариацию на $[0,1]$.

Пусть $g$ — функция ограниченной вариации на $[0,1]$, и пусть $f$ — функция ограниченной вариации на $\mathbb {R}$. Докажите или опровергните: $f \circ g$ имеет ограниченную вариацию на $[0,1]$.

Пусть $f$ — функция на $[0,1]$, не имеющая ограниченной вариации. Докажите, что существует точка $x_{0} \in [0,1]$ такая, что $f$ не имеет ограниченной вариации ни на каком подынтервале $[0,1]$, содержащем $x_{0}$ во внутренней точке.

Приведите пример функции, дифференцируемой на $[0,1]$, но не имеющей ограниченной вариации на $[0,1]$.

Пусть $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$. Докажите, что $V_{a}^{b}(f+g) \leq V_{a}^{b}(f)+V_{a}^{b}(g)$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ и $\alpha \in \mathbb {R}$. Докажите, что $V_{a}^{b}(\alpha f)=\left|\alpha \right| V_{a}^{b}(f)$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$. Докажите, что $V_{a}^{b}(f)=0$ тогда и только тогда, когда $f$ постоянна.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — функция ограниченной вариации, и пусть $x_{0} \in (a, b)$. Докажите, что если $f$ непрерывна слева (справа) в $x_{0}$, то и $V_{a}^{x}(f)$ непрерывна слева (справа) в этой точке.

Для функции $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ длина кривой $y=f(x), a \leq x \leq b$ определяется как

где супремум берётся по всем разбиениям $P=\left\{ x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}\right\}$ отрезка $[a, b]$. Докажите, что $L(f)$ конечна тогда и только тогда, когда $f$ имеет ограниченную вариацию на $[a, b]$.

Пусть $f$ дифференцируема на $[a, b]$ с производной $f^{\prime }$, интегрируемой по Риману на $[a, b]$. Докажите, что

Что будет, если интеграл от $\left|f^{\prime }\right|$ является сходящимся несобственным интегралом?

Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, и предположим, что $D^{+} f$ интегрируема по Риману на $[a, b]$. Докажите, что

Что будет, если интеграл от $\left|D^{+} f\right|$ является сходящимся несобственным интегралом?

Пусть $f, g$ дифференцируемы на $[a, b]$, и пусть $C>0$ таково, что $\left|f^{\prime }\right| \leq C\left|g^{\prime }\right|$ на $[a, b]$. Предположим, что либо $g^{\prime }$ интегрируема по Риману на $[a, b]$, либо интеграл от $\left|g^{\prime }\right|$ является сходящимся несобственным интегралом. Докажите, что $f$ имеет ограниченную вариацию на $[a, b]$.

В упражнениях 9.3.23--9.3.26 найдите полную вариацию:

$V_{0}^{50}\left(e^{x}\right)$.

$V_{1}^{2}(\ln x)$.

$V_{0}^{4 \pi }(\cos x)$.

$V_{-1}^{1}\left(x-x^{3}\right)$.

Пусть $f, g$ — непрерывные функции ограниченной вариации на $[0,1]$. Докажите, что множество $\left\{ (f(x), g(x)): x \in [0,1]\right\}$ не может быть квадратом $[0,1] \times [0,1]$. Что будет, если $f, g$ лишь непрерывны?

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность вещественнозначных функций на $[a, b]$, сходящаяся поточечно на $[a, b]$ к вещественнозначной функции $f$. Докажите, что

Найдите все функции $f$ ограниченной вариации на $[0,1]$ такие, что

Пусть $f$ — функция ограниченной вариации на замкнутом ограниченном отрезке $[a, b]$. Докажите, что существует последовательность разбиений $\left\{ P_{n}\right\}$ отрезка $[a, b]$, для которой последовательность $\left\{ V\left(f, P_{n}\right)\right\}$ возрастает и сходится к $V_{a}^{b}(f)$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция ограниченной вариации, и пусть $P=\left\{ x_{0}, x_{1}, \ldots , x_{n}\right\}$ — разбиение $[a, b]$. Для $1 \leq k \leq n$ пусть $M_{k}$ и $m_{k}$ обозначают максимум и минимум соответственно функции $f$ на $\left[x_{k-1}, x_{k}\right]$, и пусть $\Omega (f, P)=\sum_{k=1}^{n}\left(M_{k}-m_{k}\right)$. Докажите, что

Докажите или опровергните: существует непрерывная функция, не имеющая ограниченной вариации ни на одном интервале.

Пусть $f(x)=\sin x$ на $[0,2 \pi ]$. Найдите две возрастающие функции $h$ и $g$, для которых $f=h-g$ на $[0,2 \pi ]$.

Пусть $f(x)=3 x^{2}-2 x^{3}$ на $[-2,2]$. Найдите две возрастающие функции $h$ и $g$, для которых $f=h-g$ на $[-2,2]$.

Пусть $f(x)=\left\lfloor x\right\rfloor -x$ на $[0,2]$. Найдите две возрастающие функции $h$ и $g$, для которых $f=h-g$ на $[ 0,2 ]$.

Пусть $f$ — функция ограниченной вариации на замкнутом ограниченном отрезке $[a, b]$. Докажите или опровергните: $f$ — измеримая функция.

Пусть $f$ — функция ограниченной вариации на замкнутом ограниченном отрезке $[a, b]$. Докажите, что существуют две ограниченные возрастающие функции $f_{1}$ и $f_{2}$ такие, что $f=f_{1}-f_{2}$ и $f_{1}+f_{2}=V_{a}^{b} f$.

Пусть $f$ — функция ограниченной вариации на замкнутом ограниченном отрезке $[a, b]$. Докажите, что $\left|f^{\prime }(x)\right| \leq \left(V_{a}^{x}(f)\right)^{\prime }$ для почти всех $x \in [a, b]$.

Пусть $f$ — функция ограниченной вариации на замкнутом ограниченном отрезке $[a, b]$, и предположим, что $f$ обладает свойством промежуточного значения, т.е. если $x, y \in [a, b]$ и $C$ — число между $f(x)$ и $f(y)$, то существует $z \in [x, y]$ такое, что $f(z)=C$. Докажите, что $f$ непрерывна.

Пусть $f$ — непрерывная функция на $[a, b]$, и предположим, что $\left|f\right|$ имеет ограниченную вариацию на $[a, b]$. Докажите, что $f$ имеет ограниченную вариацию на $[a, b]$.