Абсолютно непрерывные функции

Докажите, что $f(x)=\sqrt{x}$ абсолютно непрерывна на $[0,1]$, но не липшицева.

Пусть $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывны, и пусть $\alpha , \beta \in \mathbb {R}$. Докажите, что $\alpha f+\beta g$ абсолютно непрерывна на $[a, b]$.

Пусть $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывны. Докажите, что $f g$ абсолютно непрерывна на $[a, b]$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ абсолютно непрерывна, и предположим, что $f(x) \neq 0$ для всех $x \in [a, b]$. Докажите, что $1 / f$ абсолютно непрерывна на $[a, b]$.

Пусть $g$ — строго возрастающая абсолютно непрерывная функция на $[a, b]$, и пусть $f$ — абсолютно непрерывная функция на $[g(a), g(b)]$. Докажите, что $f \circ g$ абсолютно непрерывна на $[a, b]$.

Докажите, что $f$ абсолютно непрерывна на $[a, b]$ тогда и только тогда, когда для каждого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$ такое, что для всякого набора $\left\{ \left[a_{k}, b_{k}\right]\right\}_{k=1}^{\infty }$ непересекающихся замкнутых интервалов в $[a, b]$,

Пусть $\left\{ G_{n}\right\}$ — убывающая последовательность открытых подмножеств $[0,1]$ такая, что $m\left(G_{n}\right)<1 / 2^{n}$, и пусть $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty } m\left(G_{n} \cap [0, x]\right)$. Докажите, что:

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность абсолютно непрерывных функций на $[0,1]$, равномерно сходящаяся на $[0,1]$ к функции $f$. Докажите или опровергните: $f$ абсолютно непрерывна.

Определение 9.4.20. Вещественнозначная функция, определённая на $[a, b]$, обладает свойством Лузина (N), если она переводит каждое множество меры нуль в множество меры 0.

Пусть $f$ — липшицева функция на $[a, b]$ с константой $M$, и пусть $E \subset [a, b]$. Докажите, что $m(f(E)) \leq M m(E)$. Заключите, что если $f$ — липшицева функция на $[a, b]$, то она обладает свойством Лузина (N). Верно ли обратное?

Докажите, что всякая липшицева функция переводит измеримые множества в измеримые множества.

Приведите пример функции, не обладающей свойством Лузина (N).

(Банах—Зарецкий) Докажите, что функция $f$ на отрезке $[a, b]$ абсолютно непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна, имеет ограниченную вариацию и обладает свойством Лузина (N).

Докажите, что абсолютно непрерывная функция переводит измеримое множество в измеримое множество.

Докажите, что если в определении 9.4.1 убрать слово «непересекающихся», то функция обязана быть липшицевой. Точнее, пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — функция, обладающая тем свойством, что для каждого $\varepsilon >0$ существует $\delta >0$ такое, что для всякого набора $\left\{ \left[a_{k}, b_{k}\right]\right\}_{k=1}^{n}$ замкнутых интервалов в $[a, b]$,

Тогда $f$ липшицева на $[a, b]$.

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ — возрастающая непрерывная функция, абсолютно непрерывная на $[\varepsilon , 1]$ для каждого $\varepsilon \in (0,1)$. Докажите, что $f$ абсолютно непрерывна на $[0,1]$.

Пусть $f(x)=\sqrt{x}$ и

Докажите, что $f$ и $g$ абсолютно непрерывны на $[0,1]$, но $h:=f \circ g$ даже не имеет ограниченной вариации на $[0,1]$.

Предположим, что $f$ — функция на $[a, b]$, и пусть $V_{a}^{x}(f)$ — функция полной вариации для $f$. Докажите, что $V_{a}^{x}$ абсолютно непрерывна на $[a, b]$ тогда и только тогда, когда $f$ абсолютно непрерывна. Заключите, что всякая абсолютно непрерывная функция является разностью возрастающих абсолютно непрерывных функций.

Докажите, что функция $f$ липшицева на $[a, b]$ тогда и только тогда, когда она абсолютно непрерывна на $[a, b]$ и $\left|f^{\prime }\right|$ существенно ограничена. (Функция называется существенно ограниченной, если она равна почти всюду ограниченной функции.)

Приведите пример функции ограниченной вариации, не являющейся абсолютно непрерывной.

Пусть $f$ — функция ограниченной вариации на $[a, b]$. Докажите, что $V_{a}^{b}(f)= \int_{a}^{b}\left|f^{\prime }\right|$ тогда и только тогда, когда $f$ абсолютно непрерывна на $[a, b]$.

Пусть $g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — строго возрастающая абсолютно непрерывная функция. Докажите, что для любого измеримого множества $E \subset [a, b]$

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ интегрируема, и пусть $g:[\alpha , \beta ] \rightarrow \mathbb {R}$ — строго возрастающая абсолютно непрерывная функция, для которой $g(\alpha )=a, g(\beta )=b$. Докажите, что

Докажите следствие 9.4.14.

Следствие 9.4.14: Пусть $f: [a,b] \rightarrow \mathbb {R}$ — функция, дифференцируемая почти всюду, с интегрируемой производной. Если $\int_{a}^{x} f' = f(x) - f(a)$ для всех $x \in [a,b]$, то $f$ абсолютно непрерывна на $[a,b]$.

Докажите следствие 9.4.16.

Следствие 9.4.16: Функция $f$ абсолютно непрерывна на $[a,b]$ тогда и только тогда, когда она является неопределённым интегралом на $[a,b]$. (Функция $F$ называется неопределённым (лебеговым) интегралом интегрируемой функции $f$ на $[a,b]$, если $F(x) = F(a) + \int_{a}^{x} f$ для всех $x \in [a,b]$.)

Если $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и вещественнозначна, $f^{\prime }$ интегрируема на $[a, b]$, и $\int_{a}^{b} f^{\prime }=f(b)-f(a)$, обязана ли $f$ быть абсолютно непрерывной? Что будет, если $f$ монотонно возрастает?

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — функция, абсолютно непрерывная на каждом конечном интервале, и предположим, что как $f$, так и $f^{\prime }$ интегрируемы на $\mathbb {R}$. Докажите, что:

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset A C[0,1]$, и предположим, что

1. $f=\sum_{n=1}^{\infty } f_{n}$ сходится для каждого $x \in [0,1]$;

2. $\int_{0}^{1} \sum_{n=1}^{\infty }\left|f_{n}^{\prime }\right|$ конечен.

Докажите, что $f \in A C[0,1]$.

Цель этого упражнения — установить следующий результат: если $f$ дифференцируема при всех $x \in \left[a, b\right]$ и $f^{\prime }$ интегрируема на $\left[a, b\right]$, то выполняется (9.30).

Пусть $f$ дифференцируема на $[a, b]$ с производной $f^{\prime }$, интегрируемой на $[a, b]$. Докажите, что

Пусть $f$ — функция на $[a, b]$, для которой $D^{+} f$ интегрируема на $[a, b]$. Докажите или опровергните: $V_{a}^{b}(f)=\int_{a}^{b}\left|D^{+} f\right|$.

Пусть $f$ и $g$ — абсолютно непрерывные функции на $[a, b]$. Покажите, что

Пусть $f$ интегрируема на $\mathbb {R}$. Докажите, что для почти всех $x \in \mathbb {R}$

Пусть $f$ интегрируема на $\mathbb {R}$, и предположим, что $f$ непрерывна в точке $x=a$. Докажите, что неопределённый интеграл от $f$ дифференцируем в точке $x=a$.

Пусть $A$ — измеримое подмножество $\mathbb {R}$, и предположим, что существует $\alpha >0$ такое, что $m(A \cap [a, b]) \geq \alpha (b-a)$ всякий раз, когда $a<b$. Докажите, что $m\left(A^{C}\right)=0$

Пусть $f$ абсолютно непрерывна и сингулярна на $[a, b]$. Покажите, что $f$ постоянна.

Когда Лебег определял сингулярную функцию, это делалось следующим образом: $F_{s}$ называется сингулярной функцией, ассоциированной с функцией ограниченной вариации $F$, если разность $F-F_{s}$ абсолютно непрерывна, и среди всех функций $G_{s}$, для которых $F-G_{s}$ абсолютно непрерывна, $F_{s}$ имеет наименьшую полную вариацию, и $F_{s}(a)=0$. Докажите, что разложение $F=\left(F-F_{s}\right)+F_{s}$ совпадает с тем, что даёт теорема 9.4.19.

Пусть $A$ — измеримое подмножество $[0,1]$ такое, что $0<m(A \cap I)<m(I)$ для каждого интервала $I \subset [0,1]$ (см. упражнение 5.3.47), и пусть $F(x):=m([0, x] \cap A)$, $G(x):=m([0, x] \cap A)-m\left([0, x] \cap A^{C}\right)$. Докажите, что:

Покажите, что условие, наложенное на множество $A$ в упражнении 9.4.37 (a), не является необходимым, т.е. что существует множество, не удовлетворяющее ему, но при этом $F(x):= m([0, x] \cap A)$ является абсолютно непрерывной, строго возрастающей функцией на $[0,1]$ такой, что $F^{\prime }=0$ на множестве положительной меры.

(Витали) Пусть $f$ — возрастающая функция на замкнутом ограниченном отрезке $[a, b]$. Докажите, что $f$ сингулярна тогда и только тогда, когда для любых $\varepsilon , \delta >0$ существует конечный дизъюнктный набор $\left\{ \left(a_{k}, b_{k}\right)\right\}_{k=1}^{n}$ открытых интервалов в $( a, b )$, для которых

Приведите пример функции $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$, дифференцируемой на $[a, b]$, но производная которой не интегрируема на $[a, b]$.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — возрастающая функция такая, что $f(-\infty )=0$ и $f(\infty )=1$. Докажите, что $f$ абсолютно непрерывна на каждом замкнутом конечном интервале тогда и только тогда, когда $\int_{\mathbb {R}} f^{\prime }=1$.