Монотонные функции

Пусть $\mathcal{F}=\left\{ [p, q]: 0 \leq p<q \leq 1, p, q \in \mathbb {Q}\right\}$. Докажите, что $\mathcal{F}$ — покрытие Витали для $[0,1]$.

Пусть $E \subset \mathbb {R}$, и для каждого $x \in E$ пусть $\left\{ \beta_{n}(x)\right\}$ — строго убывающая последовательность вещественных чисел, сходящаяся к $x$. Докажите, что $\mathcal{F}=\left\{ \left[x, \beta_{n}(x)\right]: x \in E\right\}$ — покрытие Витали для $E$.

Пусть $E \subset \mathbb {R}$ — объединение (не обязательно счётное и не обязательно дизъюнктное) невырожденных интервалов (открытых, замкнутых, полуоткрытых и полузамкнутых, бесконечных и т.д.). Покажите, что $E$ измеримо.

Покажите, что лемма о покрытии Витали распространяется на случай, когда покрывающее семейство состоит из невырожденных интервалов, не обязательно замкнутых.

Покажите, что лемма о покрытии Витали не распространяется на случай, когда покрывающее семейство содержит некоторые интервалы, не обязательно невырожденные.

Докажите, что множество $E \subset \mathbb {R}$ имеет меру 0 тогда и только тогда, когда существует счётное семейство открытых интервалов $\left\{ I_{k}\right\}_{k=1}^{\infty }$ такое, что каждая точка из $E$ принадлежит бесконечному числу этих интервалов и $\sum_{k=1}^{\infty } \ell \left(I_{k}\right)<\infty$.

Докажите, что каждая функция $g_{n}$, определённая в доказательстве следствия 9.2.9, интегрируема по Риману.

В доказательстве следствия 9.2.9 (утверждающего, что для возрастающей на $[a,b]$ функции $f$ производная $f'$ интегрируема на $[a,b]$ и $\int_{a}^{b} f' \leq f(b) - f(a)$), функция $f$ сначала продолжается на $[a, b+1]$ по правилу $f(x) = f(b)$ при $x \in [b, b+1]$, а затем полагается $g_{n}(x) := \dfrac {f(x+1/n) - f(x)}{1/n}$ при $x \in (a, b)$.

Докажите неравенство (9.23).

Докажите теорему 9.2.12.

Теорема 9.2.12: Пусть $f$ — монотонная функция на $(a,b)$. Тогда $f$ имеет не более чем счётное число скачков разрыва на $(a,b)$.

Докажите теорему 9.2.13.

Теорема 9.2.13: Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — счётное подмножество $[a,b]$ и пусть $\left\{ c_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность положительных чисел, для которой ряд $\sum_{n=1}^{\infty } c_{n}$ сходится. Для данного $x \in [a,b]$ пусть $E(x)$ — подмножество $\mathbb {N}$, состоящее из тех целых чисел $n$, для которых $x_{n} < x$, и пусть $f(x) := \sum_{n \in E(x)} c_{n}$ (с $f(x) = 0$, если $E(x) = \varnothing$). Тогда: (a) $f$ — монотонно возрастающая функция на $[a,b]$. (b) $f$ имеет скачок разрыва в каждой точке $x_{n}$. (c) Скачок в точке $x = x_{n}$ равен $c_{n}$. (d) $f$ непрерывна во всех остальных точках $[a,b]$.

Пусть $E$ — подмножество $\mathbb {R}$ и $A$ — счётное подмножество $E$. Докажите или опровергните: существует монотонная функция на $E$, непрерывная только в точках $E \backslash A$.

Пусть $f$ — возрастающая функция на $[a, b]$. Докажите, что

Докажите неравенство (9.20).

Пусть $E \subset [a, b]$ — множество меры 0. Докажите, что существует непрерывная возрастающая функция $f$ такая, что $f^{\prime }(x)=+\infty$ для всех $x \in E$.

Докажите или опровергните: производная непрерывной монотонной функции дифференцируема почти всюду.

Пусть $f$ непрерывна на $(a, b)$ и пусть $E=\left\{ x \in (a, b): D_{-} f(x)< D^{+} f(x)\right\}$. Докажите, что $E$ не может содержать невырожденного интервала.

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ монотонно возрастает и пусть $g(x)=\lim_{h \rightarrow 0+} f(x+ h)$. Докажите, что функция $g$ обладает следующими свойствами:

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ строго возрастает и $E \subset [a, b]$ таково, что в каждой точке $x \in E$ выполняется $D^{+} f(x) \leq M$. Докажите, что $m^{*} f(E) \leq M m^{*}(E)$.

Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ строго возрастает и $E \subset [a, b]$ таково, что в каждой точке $x \in E$ выполняется $D_{-} f(x) \geq C$. Докажите, что $m^{*} f(E) \geq C m^{*}(E)$.

Докажите, что всякая монотонная функция, определённая на интервале, борелевски измерима.

Пусть $f$ непрерывна на $\mathbb {R}$. Докажите или опровергните: существует открытый интервал, на котором $f$ монотонна.

Пусть $f$ дифференцируема на $\mathbb {R}$, пусть $x_{0} \in \mathbb {R}$ и предположим, что $f^{\prime }\left(x_{0}\right)>0$. Докажите или опровергните: существует открытый интервал $I$, содержащий $x_{0}$, такой, что $f$ монотонна на $I$.

(Фубини) Пусть $f_{k}:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — монотонно возрастающие функции при $k= 1,2, \ldots$, и предположим, что ряд $f(x)=\sum_{k=1}^{\infty } f_{k}(x)$ сходится поточечно на $[a, b]$. Докажите, что $f^{\prime }(x)=\sum_{k=1}^{\infty } f_{k}^{\prime }(x)$ для почти всех $x \in [a, b]$.

Пусть $f_{k}:(0,1) \rightarrow \mathbb {R}$ монотонно возрастают при $k=1,2, \ldots$, и предположим, что $\lim_{n} f_{n}(x)=1$ для почти всех $x \in (0,1)$. Докажите, что $\liminf_{n} f_{n}^{\prime }(x)=0$ для почти всех $x \in (0,1)$.

Приведите пример функций $f, g:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ таких, что $f$ возрастает и непрерывна, $g$ — многочлен, и

Докажите или опровергните: если $f: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$ возрастает по каждой переменной, то она борелевски измерима.

Пусть $\phi$ обозначает функцию Кантора—Лебега, и положим $\phi (x)=0$ при $x<0$ и $\phi (x)=1$ при $x>1$. Пусть $\left\{ \left[a_{n}, b_{n}\right]\right\}$ — совокупность всех замкнутых подынтервалов $[0,1]$ с рациональными концами, пусть

и пусть $G=\sum_{1}^{\infty } 2^{-n} F_{n}$. Докажите, что $G$ непрерывна и строго возрастает на $[0,1]$ и что $G^{\prime }=0$ почти всюду.

Цель этого упражнения — установить так называемый принцип отбора Хелли: если $\left\{ f_{n}\right\}$ — равномерно ограниченная последовательность возрастающих функций на $[0,1]$, то существует подпоследовательность $\left\{ f_{n_{k}}\right\}$, которая сходится поточечно в каждой точке $[0,1]$ к возрастающей функции $f$.

Пусть $\left\{ I_{n}\right\}$ — последовательность подынтервалов $[0,1]$ с рациональными концами. Для каждого $I_{n}$ пусть $E_{n}$ — множество всех непрерывных функций на $[0,1]$, монотонных на $I_{n}$. Используя эти множества, докажите, что существует непрерывная функция на $[0,1]$, не монотонная ни на одном подынтервале $[0,1]$.

Пусть $A \subset [0,1]$ — множество первой категории, и $f: A \rightarrow \mathbb {R}$ — строго монотонная функция. Докажите, что $f(A)$ — множество первой категории.