Производные Дини

Вычислите все производные Дини функции $\chi_{\mathbb {Q}}$ — характеристической функции рациональных чисел.

Пусть

Вычислите все четыре производные Дини функции $f$ в точках $x=0$ и $x=1$.

Вычислите все производные Дини функции $x \chi_{\mathbb {Q}}(x)-x \chi_{\mathbb {Q}^{C}}(x)$ в точках $x=0$ и $x=1$.

Пусть $f(x)=2^{-n}$, если $x \in \left(2^{-n}, 2^{-n+1}\right]$, и $f(0)=0$. Вычислите все четыре производные Дини функции $f$ в точке $x=0$.

Вычислите все производные Дини функции $\chi_{[0,1]}(x)$ в точках $x=0$ и $x=1$.

Постройте возрастающую функцию $f:[-1,1] \rightarrow \mathbb {R}$ такую, что ни одна из четырёх производных Дини в точке 0 не равна остальным.

Докажите, что функция $f$ дифференцируема в точке $x_{0}$ (в стандартном смысле) тогда и только тогда, когда все 4 производные Дини равны между собой и конечны, и в этом случае $f^{\prime }\left(x_{0}\right)= D^{+} f\left(x_{0}\right)=D_{+} f\left(x_{0}\right)=D^{-} f\left(x_{0}\right)=D_{-} f\left(x_{0}\right)$.

Если $f$ определена и конечна на $[-c, c]$, докажите следующее:

Если $f$ и $g$ определены и конечны на $[a, b]$, докажите, что для каждого $x$, $D^{+}(f+ g)(x) \leq D^{+} f(x)+D^{+} g(x)$. Приведите пример, показывающий, что неравенство может быть строгим.

Пусть $f, g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывны и предположим, что для каждого $x \in \mathbb {R}$, $D^{+} f(x)=D^{+} g(x)<\infty$. Докажите, что $f$ и $g$ отличаются на константу.

Приведите пример, показывающий, что правило цепочки для производных Дини $D^{+}(f \circ g)(x)=D^{+} f(g(x)) D^{+} g(x)$ не выполняется.

Пусть $A$ — подмножество $\mathbb {R}$ меры 0. Докажите, что существует непрерывная возрастающая функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, для которой каждая производная Дини бесконечна в каждой точке $A$.

Пусть $f:(a, b) \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Докажите, что $f$ невозрастает на ( $a, b$ ) тогда и только тогда, когда $D^{+} f \leq 0$ на ( $a, b$ ).

Пусть $f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывные функции такие, что $D^{+} f(t) \leq 0$ и $D^{+} g(t) \leq 0$ на $(a, b)$. Если $h(t)=\max \left\{ f(t), g(t)\right\}$, докажите, что $D^{+} h(t) \leq 0$ на $(a, b)$.

Если $f$ и $g$ определены и конечны на $[a, b]$, докажите следующее:

Пусть $f$ и $g$ неотрицательны и непрерывны в точке $c$.

Завершите доказательство предложения 9.1.4 (если $f$ монотонна, то все четыре производные Дини функции $f$ измеримы), показав, что если $f$ монотонна, то остальные три производные Дини функции $f$ измеримы ( $D_{+}, D^{-}$, и $D_{-}$).

Предположим, что $D_{+} f\left(x_{0}\right)$ конечна. Докажите, что $f$ непрерывна справа в точке $x_{0}$.

Предположим, что $f$ непрерывна на $(a, b)$. Докажите, что $f$ возрастает на $(a, b)$ тогда и только тогда, когда хотя бы одна из четырёх производных Дини функции $f$ неотрицательна на $(a, b)$.

Пусть $f$ — возрастающая функция на $[a, b]$ и пусть $x_{0} \in (a, b)$. Докажите, что ни одна из производных Дини не может быть отрицательной (или равной $-\infty$ ) в точке $x_{0}$.

(Дини, 1878) Пусть $f:[a, b] \rightarrow \mathbb {R}$ — непрерывная функция. Докажите, что грани каждой из производных Дини совпадают с гранями разностного отношения

при $x, y \in [a, b]$. Используйте это, чтобы заключить, что если одна производная Дини непрерывной функции $f$ непрерывна в точке $x_{0}$, то и остальные три непрерывны. Покажите, что в этом случае все четыре производные Дини равны между собой, так что $f$ дифференцируема в точке $x_{0}$.

Приведите пример, показывающий, что заключения упражнения 9.1.21 не обязаны выполняться, если убрать предположение непрерывности $f$.

Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$, и пусть константа $M$ и множество $E \subset [a, b]$ положительной меры удовлетворяют $D^{+} f(x) \geq M$ для всех $x \in E$ (или $D^{-} f(x) \geq M$ для всех $x \in E$ ). Докажите, что для каждого $\varepsilon >0$ существует конечный набор непересекающихся интервалов $\left(a_{1}, b_{1}\right), \ldots ,\left(a_{n}, b_{n}\right)$ в $[a, b]$ таких, что $\sum_{i=1}^{n}\left(b_{i}-a_{i}\right)> m(E)-\varepsilon$ и

Пусть $f$ — вещественнозначная функция. Докажите, что множество точек, где $D^{+} f(x)<D_{-} f(x)$, счётно.

Приведите пример, показывающий, что множество $A_{1}$ из теоремы 9.1.7 может иметь меру Лебега $b-a$. Сделайте то же самое для множеств $A_{2}$ и $A_{3}$.

Теорема 9.1.7 (теорема Данжуа--Юнга--Сакса): пусть $f$ — вещественнозначная функция, определённая на $[a, b]$. Тогда почти каждая точка $x \in [a,b]$ принадлежит одному из четырёх множеств: $A_1$, на котором $f$ имеет конечную производную; $A_2$, на котором $D^{+} f=D_{-} f$ конечна, $D^{-} f=\infty$, а $D_{+} f=-\infty$; $A_3$, на котором $D^{-} f=D_{+} f$ конечна, $D^{+} f=\infty$, а $D_{-} f=-\infty$; $A_4$, на котором $D^{-} f=D^{+} f=\infty$ и $D_{-} f=D_{+} f=-\infty$.

Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$ и предположим, что она имеет локальный максимум в точке $c \in (a, b)$. Докажите, что

Пусть $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и предположим, что $D^{+} f$ интегрируема по Риману на $[a, b]$. Докажите, что

Если $f$ непрерывна на $[a, b]$, докажите, что все четыре производные Дини функции $f$ измеримы.

Если $f$ измерима, докажите, что все четыре производные Дини функции $f$ измеримы.

Функция $f \in C[a, b]$ называется гёльдеровски непрерывной порядка $\delta$, обозначение $f \in \Lambda_{\delta }$, если существует константа $C$ такая, что $\left|f(x)-f(y)\right| \leq C\left|x-y\right|^{\delta }$ для всех $x, y \in [a, b]$. Докажите, что гёльдеровски непрерывные функции образуют множество первой категории в $C[a, b]$.