Теорема Радона–Никодима

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, и $\nu$ — знакопеременная мера на $(X, \mathfrak {M})$. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

1. $\nu$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$.

2. Как $\nu^{+}$, так и $\nu^{-}$абсолютно непрерывны относительно $\mu$.

3. $\left|\nu \right|$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $\left\{ \nu_{k}\right\}$ — меры на $( X, \mathfrak {M} )$, и пусть $\left\{ a_{k}\right\}$ — неотрицательные вещественные числа. Докажите, что

Покажите, что утверждение остаётся верным, когда $\left\{ a_{k}\right\}$ не обязательно неотрицательны, если добавить предположение, что ряд $\sum_{k=1}^{\infty } a_{k} \nu_{k}$ сходится.

Пусть $( X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $\left\{ \nu_{k}\right\}$ — меры на $( X, \mathfrak {M} )$, и пусть $\left\{ a_{k}\right\}$ — неотрицательные вещественные числа. Докажите, что

Покажите, что утверждение остаётся верным, когда $\left\{ a_{k}\right\}$ не обязательно неотрицательны, если добавить предположение, что ряд $\sum_{k=1}^{\infty } a_{k} \nu_{k}$ сходится.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, и $\nu$ — знакопеременная мера на $(X, \mathfrak {M})$. Предположим, что $\nu$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$, и что $\mu$ и $\nu$ взаимно сингулярны. Докажите, что $\nu$ — нулевая мера, т.е. $\nu (E)=0$ для всех $E \in \mathfrak {M}$.

Пусть $( X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, и $f_{1}, f_{2}$ — две интегрируемые функции на $X$. Для $k=1,2$ пусть $A_{k}=\left\{ x \in X: f_{k}(x) \neq 0\right\}$, и определим знакопеременные меры $\nu_{1}, \nu_{2}$ по формуле

Пусть $h$ — абсолютно непрерывная функция на $[a, b]$, и предположим, что $\mu$ — мера на борелевских подмножествах интервала $[a, b]$ такая, что $\mu [a, x]=h(x)$ для $x \in [a, b]$. Докажите, что для любого $c \in [a, b]$, $\mu (\left\{ c\right\} )=0$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой. Докажите, что существует конечная мера $\nu$ на $\mathfrak {M}$, эквивалентная $\mu$.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство, и $\mu , \nu$ — конечные меры на $\mathfrak {M}$. Докажите, что следующие условия эквивалентны:

1. $\mu \perp \nu$;

2. $\mu -(\mu -\nu )^{+}=0$;

3. $\mu +(\nu -\mu )^{+}=\mu +\nu$.

Пусть $\left\{ r_{n}\right\}$ — некоторая нумерация рациональных чисел, пусть $f_{n}: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ — неотрицательные, борелевски измеримые функции такие, что $f_{n}=0$ вне интервала $\left(r_{n}-2^{-n}, r_{n}+2^{-n}\right)$ и $\int_{\mathbb {R}} f_{n}=1$, и пусть $\mu (E)=\int_{E} \sum_{n} f_{n}$ для всех $E \in \mathcal{B}$. Докажите, что:

Приведите пример, показывающий, что предложение 9.5.3 не выполняется, если $\nu$ — $\sigma$-конечная мера.

Предложение 9.5.3: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, и $\nu$ — конечная мера на $(X, \mathfrak {M})$. Тогда $\nu$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$ тогда и только тогда, когда для каждого $\varepsilon > 0$ найдётся $\delta > 0$ такое, что для каждого $E \in \mathfrak {M}$, $\mu \left(E\right) < \delta$ влечёт $\nu \left(E\right) < \varepsilon$.

Приведите пример двух $\sigma$-алгебр $\mathfrak {M}$ и $\mathfrak {N}$ на множестве $X$ и двух мер $\mu$ и $\lambda$ таких, что $\lambda \ll \mu$ на $( X, \mathfrak {M} )$, но не на $( X, \mathfrak {N} )$.

Пусть $\mu$ — ненулевая конечная борелевская мера на $\mathbb {R}$, и для каждого $t \in \mathbb {R}$ пусть $\mu_{t}$ — мера, определённая как $\mu_{t}(A)=\mu (A+t)$. Предположим, что каждая мера $\mu_{t}$ эквивалентна $\mu$. Докажите, что $\mu$ эквивалентна мере Лебега на $\mathbb {R}$.

Докажите или опровергните: существует мера $\nu$ на лебеговой $\sigma$-алгебре $\mathcal{M}$ подмножеств $\mathbb {R}$, абсолютно непрерывная относительно меры Лебега, такая, что $\nu (A)=\infty$ для любого $A \in \mathcal{M}$ с непустой внутренностью.

Пусть $( X, \mathfrak {M}, \mu )$ — конечное пространство с мерой, пусть $\left\{ E_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — набор измеримых множеств, и $\left\{ c_{k}\right\}_{k=1}^{n}$ — набор вещественных чисел. Для $E \in \mathfrak {M}$ определим

Пусть $\mu , \nu$ и $\lambda$ — $\sigma$-конечные меры на измеримом пространстве $( X, \mathfrak {M} )$.

Пусть $\mu_{1}, \nu_{1}$ — меры на измеримом пространстве $( X, \mathcal{S} )$, и пусть $\mu_{2}, \nu_{2}$ — меры на измеримом пространстве $( Y, \mathcal{T} )$. Предположим, что все 4 меры $\sigma$-конечны и что $\nu_{k} \ll \mu_{k}, k=1,2$.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство, и $\mu , \nu$ — $\sigma$-конечные меры на $\mathfrak {M}$ такие, что $\nu \ll \mu$, пусть $\lambda =\mu +\nu$, и пусть $f=d \nu / d \lambda$. Докажите, что $0 \leq f<1$ почти всюду $[\mu ]$ и $d \nu / d \mu =f /(1-f)$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, $\mathfrak {N}$ — подалгебра $\mathfrak {M}$, $\nu$ — ограничение $\mu$ на $\mathfrak {N}$, и $f$ — $\mu$-интегрируемая функция на $X$. Докажите, что:

Пусть $m$ — мера Лебега на вещественной прямой, и для каждого измеримого по Лебегу подмножества $E$ из $\mathbb {R}$ определим

Покажите, что $m$ абсолютно непрерывна относительно $\mu$, и вычислите производную Радона—Никодима $d m / d \mu$.

Пусть $m$ обозначает меру Лебега на $[0,+\infty ]$, и

для любого измеримого по Лебегу множества $E \subset [0,+\infty ]$. Докажите или опровергните:

Пусть $( X, \mathfrak {M} )$ — измеримое пространство, и $\mu , \nu$ — меры на $\mathfrak {M}$ такие, что $\mu$ $\sigma$-конечна и $\nu \ll \mu$, пусть $f=d \nu / d \mu$, и предположим, что существует константа $C>0$ такая, что $\nu (E)>C \mu (E)$ для каждого множества $E$ конечной меры. Докажите, что $f>0$ для $\mu$-почти всех $x \in X$.

Пусть $\nu$ — конечная знакопеременная мера на измеримом пространстве $( X, \mathfrak {M} )$. Докажите, что существует измеримая функция $f$ на $X$ такая, что $\left|f(x)\right|=1$ для почти всех $x \in X$, и

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство, и пусть $\mu , \nu$ — две $\sigma$-конечные меры на $\mathfrak {M}$ такие, что $\mu \ll \nu$, и существует множество $A \in \mathfrak {M}$, являющееся $\nu$-атомом (т.е. для любого измеримого подмножества $B \subset A$ выполняется либо $\nu (B)=0$, либо $\nu (A \backslash B)=$ 0). Определите значения производной Радона—Никодима $d \mu / d \nu$ на $A$.

Пусть $X$ — несчётное множество, и пусть $\mathfrak {M}$ состоит из тех множеств $A$, для которых либо $A$, либо $A^{C}$ счётно. Определим две меры $\mu , \nu$ на $\mathfrak {M}$ по формулам $\mu (A)= \nu (A)=0$, если $A$ счётно, и $\mu (A)=1, \nu (A)=\infty$, если $A^{C}$ счётно.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, и пусть $\lambda , \nu$ — конечные знакопеременные меры на $\mathfrak {M}$. Докажите, что $\lambda \perp \nu$ тогда и только тогда, когда $\left|\lambda \right| \perp \left|\nu \right|$.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство, пусть $E \in \mathfrak {M}$, и пусть $\nu$ — знакопеременная мера на $\mathfrak {M}$. Докажите, что

Пусть $\mu$ и $\nu$ — две $\sigma$-конечные положительные меры на измеримом пространстве $(X, \mathfrak {M})$. Докажите, что существуют $A, B \in \mathfrak {M}$ такие, что $A \cap B=\emptyset , A \cup B=X$, $\mu$ и $\nu$ эквивалентны на $( A, A \cap \mathfrak {M} )$, и $\mu \perp \nu$ на $( B, B \cap \mathfrak {M} )$.

Докажите теорему Радона—Никодима в случае, когда $\nu$ — знакопеременная мера.

Пусть $( X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, и $f, g: X \rightarrow [0,+\infty ]$ — измеримые функции такие, что соответствующие меры $\nu (E)=\int_{X} f d \mu$ и $\lambda (E)= \int_{X} g d \mu$ равны на $\mathfrak {M}$. Докажите или опровергните: $f=g$ почти всюду $[\mu ]$.

Приведите пример того, что теорема Радона—Никодима не выполняется, когда $\nu$ не $\sigma$-конечна.

Докажите или опровергните: теорема о разложении Лебега остаётся верной, если меры $\mu$ и $\nu$ не предполагаются $\sigma$-конечными.

Покажите, что разложение Лебега функции ограниченной вариации единственно, если сингулярная функция обязана обращаться в нуль при $x=a$.

Пусть $( X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, и $f$ — неотрицательная функция, интегрируемая на $X$ относительно $\mu$. Найдите разложение Лебега относительно $\mu$ меры $\nu$, определённой как $\nu (E)=\int_{E} f d \mu$ для $E \in \mathfrak {M}$.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство, и $\mu , \nu$ — две $\sigma$-конечные меры на $\mathfrak {M}$. Докажите, что $\mu \perp \nu$ тогда и только тогда, когда не существует ненулевой $\sigma$-конечной меры $\lambda$ на $(X, \mathfrak {M})$ такой, что $\lambda \ll \mu , \lambda \ll \nu$.

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ — фиксированная последовательность вещественных чисел, и пусть $\left\{ p_{n}\right\}$ — последовательность положительных вещественных чисел. Определим функцию множества $\nu : \mathcal{M} \rightarrow \mathbb {R}$ по формуле

Пусть $f(x)=x^{2}-5 x+6$, и определим функцию множества $\nu : \mathcal{B} \rightarrow \mathbb {R}$ по формуле

Пусть $( X, \mathfrak {M} )$ и $( Y, \mathfrak {N} )$ — измеримые пространства, пусть $\mu , \nu$ — меры на $\mathfrak {M}$, пусть $\mu^{\prime }, \nu^{\prime }$ — меры на $\mathfrak {N}$, и предположим, что $\mu$ и $\mu^{\prime }$ $\sigma$-конечны. Определите разложение Лебега $\mu \times \mu^{\prime }$ относительно $\nu \times \nu^{\prime }$ через разложения Лебега $\mu$ относительно $\nu$ и $\mu^{\prime }$ относительно $\nu^{\prime }$.

Докажите или опровергните: теорема о разложении Лебега выполняется, когда $\nu$ — знакопеременная мера.