Глава 1

Линейные уравнения

[38/84%]
Показать
LaTeX
§
1.2 · Метод Гаусса и матрицы[16/94%]
Задача 1.2.1

Решите методом Гаусса с обратной подстановкой следующую систему:

x1+x2+x3=1,x1+2x2+2x3=1,x1+2x2+3x3=1. \begin{aligned} x_{1} + x_{2} + x_{3} & = 1, \\ x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} & = 1, \\ x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} & = 1. \end{aligned}
?
Задача 1.2.2

Примените метод Гаусса с обратной подстановкой к следующей системе:

2x1−x2=0,−x1+2x2−x3=0,−x2+x3=1. \begin{aligned} 2 x_{1} - x_{2} & = 0, \\ -x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} & = 0, \\ -x_{2} + x_{3} & = 1. \end{aligned}
?
Задача 1.2.3

Решите методом Гаусса с обратной подстановкой следующую систему:

4x2−3x3=3,−x1+7x2−5x3=4,−x1+8x2−6x3=5. \begin{aligned} 4 x_{2} - 3 x_{3} & = 3, \\ -x_{1} + 7 x_{2} - 5 x_{3} & = 4, \\ -x_{1} + 8 x_{2} - 6 x_{3} & = 5. \end{aligned}
?
Задача 1.2.4

Решите следующую систему:

x1+x2+x3+x4=1,x1+x2+3x3+3x4=3,x1+x2+2x3+3x4=3,x1+3x2+3x3+3x4=4. \begin{aligned} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} & = 1, \\ x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} + 3 x_{4} & = 3, \\ x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 3 x_{4} & = 3, \\ x_{1} + 3 x_{2} + 3 x_{3} + 3 x_{4} & = 4. \end{aligned}
?
Задача 1.2.5

Рассмотрим следующие три системы, в которых коэффициенты одинаковы для каждой системы, но правые части различны (такая ситуация встречается часто):

4x−8y+5z=1∣0∣0,4x−7y+4z=0∣1∣0,3x−4y+2z=0∣0∣1. \begin{aligned} 4x - 8y + 5z & = 1 \mid 0 \mid 0, \\ 4x - 7y + 4z & = 0 \mid 1 \mid 0, \\ 3x - 4y + 2z & = 0 \mid 0 \mid 1. \end{aligned}

Решите все три системы одновременно, выполнив гауссово исключение над расширенной матрицей вида

[A∣b1∣b2∣b3]. \left[\mathbf{A} \mid \mathbf{b_{1}} \mid \mathbf{b_{2}} \mid \mathbf{b_{3}}\right].
?
Задача 1.2.6

Предположим, что матрица BB получена из матрицы AA путём выполнения последовательности строчных операций. Объясните, почему AA можно получить, выполняя строчные операции над BB.

?
Задача 1.2.7

Найдите углы α\alpha, β\beta и γ\gamma такие, что

2sin⁡α−cos⁡β+3tan⁡γ=3,4sin⁡α+2cos⁡β−2tan⁡γ=2,6sin⁡α−3cos⁡β+tan⁡γ=9, \begin{aligned} 2 \sin \alpha - \cos \beta + 3 \tan \gamma & = 3, \\ 4 \sin \alpha + 2 \cos \beta - 2 \tan \gamma & = 2, \\ 6 \sin \alpha - 3 \cos \beta + \tan \gamma & = 9, \end{aligned}

где 0≤α≤2π0 \leq \alpha \leq 2\pi, 0≤β≤2π0 \leq \beta \leq 2\pi и 0≤γ<π0 \leq \gamma < \pi.

?
Задача 1.2.8

Следующая система не имеет решения:

−x1+3x2−2x3=1,−x1+4x2−3x3=0,−x1+5x2−4x3=0. \begin{aligned} -x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{3} & = 1, \\ -x_{1} + 4 x_{2} - 3 x_{3} & = 0, \\ -x_{1} + 5 x_{2} - 4 x_{3} & = 0. \end{aligned}

Попытайтесь решить эту систему методом гауссова исключения и объясните, что происходит, указывая на то, что систему невозможно решить.

?
Задача 1.2.9

Попытайтесь решить систему

−x1+3x2−2x3=4,−x1+4x2−3x3=5,−x1+5x2−4x3=6, \begin{aligned} -x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{3} & = 4, \\ -x_{1} + 4 x_{2} - 3 x_{3} & = 5, \\ -x_{1} + 5 x_{2} - 4 x_{3} & = 6, \end{aligned}

методом гауссова исключения и объясните, почему эта система обязана иметь бесконечно много решений.

?
Задача 1.2.10

Решив систему 3×33 \times 3, найдите коэффициенты в уравнении параболы y=α+βx+γx2y = \alpha + \beta x + \gamma x^{2}, проходящей через точки (1,1)(1, 1), (2,2)(2, 2) и (3,0)(3, 0).

?
Задача 1.2.11

Предположим, что 100 насекомых распределены в вольере, состоящем из четырёх камер с проходами между ними, как показано ниже.

По истечении одной минуты насекомые перераспределились. Предположим, что минуты недостаточно, чтобы насекомое посетило более одной камеры, и что к концу минуты 40 насекомых в каждой камере не покинули камеру, которую занимали в начале минуты. Насекомые, покидающие камеру, равномерно распределяются между камерами, напрямую доступными из той, которую они первоначально занимали — например, из 3 половина перемещается в 2, а половина — в 4.

?
(a)

Если по истечении одной минуты в камерах 1, 2, 3 и 4 находится соответственно 12, 25, 26 и 37 насекомых, определите, каким должно было быть начальное распределение.

(b)

Если начальное распределение составляет 20, 20, 20, 40, каким будет распределение по истечении одной минуты?

Задача 1.2.12

Покажите, что три типа элементарных строчных операций, обсуждавшихся на с.8, не являются независимыми, показав, что операция перестановки (1.2.7) может быть выполнена с помощью последовательности операций двух других типов, приведённых в (1.2.8) и (1.2.9).

Напомним три элементарные строчные операции: тип I (уравнение (1.2.7)) — перестановка порядка двух уравнений; тип II — умножение уравнения на ненулевой скаляр; тип III — замена уравнения суммой самого себя и кратного другого уравнения. Уравнения (1.2.8) и (1.2.9) представляют собой операции типа II и типа III соответственно.

?
Задача 1.2.13

Предположим, что [A∣b][A \mid b] — расширенная матрица, соответствующая линейной системе. Вам известно, что выполнение строчных операций над [A∣b][A \mid b] не меняет решение системы. Однако о столбцовых операциях речи не шло, поскольку столбцовые операции могут изменить решение.

?
(a)

Опишите, как повлияет на решение линейной системы перестановка столбцов A∗jA_{*j} и A∗kA_{*k}.

(b)

Опишите эффект, когда столбец A∗jA_{*j} заменяется на αA∗j\alpha A_{*j} при α≠0\alpha \neq 0.

(c)

Опишите эффект, когда A∗jA_{*j} заменяется на A∗j+αA∗kA_{*j} + \alpha A_{*k}.

Примечание.
?

Поэкспериментируйте с системой 2×22 \times 2 или 3×33 \times 3.

Задача 1.2.14

Рассмотрим матрицу Гильберта размера n×nn \times n, определённую как

H=[11213⋯1n]2mm]121314⋯1n+1131415⋯1n+2]2mm]⋮⋮⋮⋯⋮1n1n+11n+2⋯12n−1]. H = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac {1}{2} & \dfrac {1}{3} & \cdots & \dfrac {1}{n} \\ ]2mm] \dfrac {1}{2} & \dfrac {1}{3} & \dfrac {1}{4} & \cdots & \dfrac {1}{n+1} \\[2mm] \dfrac {1}{3} & \dfrac {1}{4} & \dfrac {1}{5} & \cdots & \dfrac {1}{n+2} \\ ]2mm] \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\[2mm] \dfrac {1}{n} & \dfrac {1}{n+1} & \dfrac {1}{n+2} & \cdots & \dfrac {1}{2n-1} \end{bmatrix}.

Выразите отдельные элементы hijh_{ij} через ii и jj.

?
Задача 1.2.15

Проверьте, что подсчёты числа операций, приведённые в тексте для гауссова исключения с обратной подстановкой, верны для общей системы 3×33 \times 3. Если вам по силам более сложная задача, попробуйте проверить эти подсчёты для общей системы n×nn \times n.

Подсчёты числа операций, приведённые в тексте: гауссово исключение с обратной подстановкой, применённое к системе n×nn \times n, требует n33+n2−n3\dfrac {n^{3}}{3} + n^{2} - \dfrac {n}{3} умножений/делений и n33+n22−5n6\dfrac {n^{3}}{3} + \dfrac {n^{2}}{2} - \dfrac {5n}{6} сложений/вычитаний.

?
Задача 1.2.16

Объясните, почему линейная система никогда не может иметь ровно два различных решения. Распространите свои рассуждения, чтобы объяснить тот факт, что если система имеет более одного решения, то она обязана иметь бесконечно много различных решений.

?
§
1.3 · Метод Гаусса--Жордана[4/75%]
Задача 1.3.1

Используйте метод Гаусса--Жордана, чтобы решить следующую систему:

4x2−3x3=3,−x1+7x2−5x3=4,−x1+8x2−6x3=5. \begin{aligned} 4 x_{2} - 3 x_{3} & = 3, \\ -x_{1} + 7 x_{2} - 5 x_{3} & = 4, \\ -x_{1} + 8 x_{2} - 6 x_{3} & = 5. \end{aligned}
?
Задача 1.3.2

Примените метод Гаусса--Жордана к следующей системе:

x1+x2+x3+x4=1,x1+2x2+2x3+2x4=0,x1+2x2+3x3+3x4=0,x1+2x2+3x3+4x4=0. \begin{aligned} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} & = 1, \\ x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} & = 0, \\ x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} + 3 x_{4} & = 0, \\ x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} + 4 x_{4} & = 0. \end{aligned}
?
Задача 1.3.3

Используйте метод Гаусса--Жордана, чтобы решить следующие три системы одновременно.

2x1−x2=1∣0∣0,−x1+2x2−x3=0∣1∣0,−x2+x3=0∣0∣1. \begin{aligned} 2 x_{1} - x_{2} & = 1 \mid 0 \mid 0, \\ -x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} & = 0 \mid 1 \mid 0, \\ -x_{2} + x_{3} & = 0 \mid 0 \mid 1. \end{aligned}
?
Задача 1.3.4

Проверьте, что число операций, указанное в тексте для метода Гаусса--Жордана, верно для общей системы 3×33 \times 3. Если вам это по силам, попробуйте проверить это число операций для общей системы n×nn \times n.

Число операций, указанное в тексте: для системы n×nn \times n процедура Гаусса--Жордана требует n32+n22\dfrac {n^{3}}{2} + \dfrac {n^{2}}{2} умножений/делений и n32−n2\dfrac {n^{3}}{2} - \dfrac {n}{2} сложений/вычитаний.

?
§
1.4 · Двухточечные краевые задачи[3/33%]
Задача 1.4.1

Разбейте отрезок [0,1][0, 1] на пять равных подынтервалов и примените метод конечных разностей для приближённого решения двухточечной краевой задачи

y′′(t)=125t,y(0)=y(1)=0 y''(t) = 125 t, \quad y(0) = y(1) = 0

в четырёх внутренних узлах сетки. Сравните ваши приближённые значения в узлах сетки с точным решением в этих узлах. Замечание: не следует ожидать очень точных приближений при всего четырёх внутренних узлах сетки.

?
Задача 1.4.2

Разбейте [0,1][0, 1] на n+1n+1 равных подынтервалов и примените метод конечно-разностной аппроксимации для вывода линейной системы, соответствующей двухточечной краевой задаче

y′′(t)−y′(t)=f(t),y(0)=y(1)=0. y''(t) - y'(t) = f(t), \quad y(0) = y(1) = 0.
?
Задача 1.4.3

Разбейте [0,1][0, 1] на пять равных подынтервалов и приближённо решите

y′′(t)−y′(t)=125t,y(0)=y(1)=0 y''(t) - y'(t) = 125 t, \quad y(0) = y(1) = 0

в четырёх внутренних узлах сетки. Сравните приближённые значения с точными в узлах сетки.

?
§
1.5 · Практическая реализация метода Гаусса[8/100%]
Задача 1.5.1

Рассмотрим следующую систему:

10−3x−y=1,x+y=0. \begin{aligned} 10^{-3} x - y & = 1, \\ x + y & = 0. \end{aligned}
?
(a)

Используя 3-значную арифметику без выбора ведущего элемента, решите эту систему.

(b)

Найдите систему, которая точно удовлетворяется вашим решением из пункта (а), и отметьте, насколько эта система близка к исходной.

(c)

Теперь используйте частичный выбор ведущего элемента и 3-значную арифметику для решения исходной системы.

(d)

Найдите систему, которая точно удовлетворяется вашим решением из пункта (в), и отметьте, насколько эта система близка к исходной.

(e)

Используя точную арифметику, найдите решение исходной системы и сравните точное решение с результатами пунктов (а) и (в).

(f)

Округлите точное решение до трёх значащих цифр и сравните результат с результатами пунктов (а) и (в).

Задача 1.5.2

Рассмотрим следующую систему:

x+y=3,−10x+105y=105. \begin{aligned} x + y & = 3, \\ -10 x + 10^{5} y & = 10^{5}. \end{aligned}
?
(a)

Используя 4-значную арифметику с частичным выбором ведущего элемента и без масштабирования, вычислите решение.

(b)

Используя 4-значную арифметику с полным выбором ведущего элемента и без масштабирования, вычислите решение исходной системы.

(c)

На этот раз сначала промасштабируйте строки исходной системы, а затем примените частичный выбор ведущего элемента с 4-значной арифметикой для вычисления решения.

(d)

Теперь найдите точное решение и сравните его с результатами пунктов (а), (б) и (в).

Задача 1.5.3

Без масштабирования вычислите 3-значное решение системы

−3x+y=−2,10x−3y=7, \begin{aligned} -3 x + y & = -2, \\ 10 x - 3 y & = 7, \end{aligned}

без частичного выбора ведущего элемента и с частичным выбором ведущего элемента. Сравните ваши результаты с точным решением.

?
Задача 1.5.4

Рассмотрим следующую систему, в которой матрица коэффициентов является матрицей Гильберта:

x+12y+13z=13,12x+13y+14z=13,13x+14y+15z=15. \begin{aligned} x + \frac{1}{2} y + \frac{1}{3} z & = \frac{1}{3}, \\ \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y + \frac{1}{4} z & = \frac{1}{3}, \\ \frac{1}{3} x + \frac{1}{4} y + \frac{1}{5} z & = \frac{1}{5}. \end{aligned}
?
(a)

Сначала преобразуйте коэффициенты в 3-значные числа с плавающей точкой, а затем используйте 3-значную арифметику с частичным выбором ведущего элемента, но без масштабирования, чтобы вычислить решение.

(b)

Снова используя 3-значную арифметику, промасштабируйте строки коэффициентов (после преобразования их в числа с плавающей точкой), а затем примените частичный выбор ведущего элемента для вычисления решения.

(c)

Действуйте, как в пункте (б), но на этот раз масштабируйте строки коэффициентов перед каждым шагом исключения.

(d)

Теперь, используя точную арифметику для исходной системы, найдите точное решение и сравните результат с результатами пунктов (а), (б) и (в).

Задача 1.5.5

Чтобы увидеть, что смена единиц измерения может повлиять на решение с плавающей точкой, рассмотрим горнодобывающее предприятие, извлекающее из земли кремнезём, железо и золото. Для работы рудника требуются капитал (в долларах), время работы (в часах) и труд (в человеко-часах). Для добычи одного фунта кремнезёма требуется $.0055, .0011 часа работы и .0093 человеко-часа труда. Для добычи каждого фунта железа требуется $.095, .01 часа работы и .025 человеко-часа труда. Для добычи каждого фунта золота требуется $960, 112 часов работы и 560 человеко-часов труда.

?
(a)

Предположим, что за 600 часов работы израсходовано ровно $5000 и 3000 человеко-часов. Пусть xx, yy и zz обозначают число фунтов кремнезёма, железа и золота соответственно, добытых за этот период. Составьте линейную систему, решение которой даст значения xx, yy и zz.

(b)

Без масштабирования, используя 3-значную арифметику и частичный выбор ведущего элемента, вычислите решение (x~,y~,z~)(\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z}) системы из пункта (а). Затем приближённо найдите точное решение (x,y,z)(x, y, z), используя полную точность вашей машины (или калькулятора) с частичным выбором ведущего элемента для решения системы из пункта (а), и сравните его с вашим 3-значным решением, вычислив относительную погрешность, определяемую как

er=(x−x~)2+(y−y~)2+(z−z~)2x2+y2+z2. e_{r} = \frac{\sqrt{(x-\tilde{x})^{2}+(y-\tilde{y})^{2}+(z-\tilde{z})^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.
(c)

Используя 3-значную арифметику, промасштабируйте столбцы коэффициентов сменой единиц измерения: переведите фунты кремнезёма в тонны кремнезёма, фунты железа в полутонны железа, а фунты золота в тройские унции золота (1 фунт = 12 тройских унций).

(d)

Используя 3-значную арифметику с частичным выбором ведущего элемента, решите промасштабированную по столбцам систему из пункта (в). Затем приближённо найдите точное решение, используя полную точность вашей машины (или калькулятора) с частичным выбором ведущего элемента для решения системы из пункта (в), и сравните его с вашим 3-значным решением, вычислив относительную погрешность ere_{r}, как определено в пункте (б).

Задача 1.5.6

Рассмотрим систему, приведённую в Примере 1.5.3.

Система из Примера 1.5.3: x−y=−2x-y=-2, −9x+10y=12-9x+10y=12.

?
(a)

Используя 3-значную арифметику с частичным выбором ведущего элемента, но без масштабирования, решите систему.

(b)

Теперь используйте частичный выбор ведущего элемента с масштабированием. Даёт ли полный выбор ведущего элемента преимущество перед масштабированным частичным выбором в этом случае?

Задача 1.5.7

Рассмотрим следующую хорошо масштабированную матрицу:

Wn=[100⋯001−110⋯001−1−11⋱001⋮⋮⋱⋱⋱⋮⋮−1−1−1⋱101−1−1−1⋯−111−1−1−1⋯−1−11]. W_{n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & \ddots & 0 & 0 & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ -1 & -1 & -1 & \ddots & 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}.
?
(a)

Приведите WnW_{n} к верхнетреугольному виду методом гауссова исключения с частичным выбором ведущего элемента и определите элемент максимальной величины, возникающий в процессе исключения.

(b)

Теперь используйте полный выбор ведущего элемента и повторите пункт (а).

(c)

Сформулируйте утверждение, сравнивающее результаты частичного выбора ведущего элемента с результатами полного выбора для WnW_{n}, и опишите, как это скажется на определении tt-значного решения системы, расширенная матрица которой имеет вид [Wn∣b][W_{n} \mid b].

Задача 1.5.8

Предположим, что AA — это n×nn \times n матрица вещественных чисел, масштабированная так, что каждый элемент удовлетворяет условию ∣aij∣≤1\left|a_{ij}\right| \leq 1, и рассмотрим приведение AA к треугольному виду методом гауссова исключения с частичным выбором ведущего элемента. Покажите, что после kk шагов процесса ни один элемент не может иметь величину, превышающую 2k2^{k}.

?
Примечание.
?

Предыдущая задача показывает, что бывают случаи, когда некоторые элементы действительно могут достигать максимальной величины 2k2^{k} после kk шагов.

§
1.6 · Плохо обусловленные системы[7/71%]
Задача 1.6.1

Рассмотрим плохо обусловленную систему из примера 1.6.1:

.835x+.667y=.168,.333x+.266y=.067. \begin{aligned} .835 x + .667 y & = .168, \\ .333 x + .266 y & = .067. \end{aligned}
?
(a)

Опишите результат, который получится при попытке решить систему с использованием 5-значной арифметики без масштабирования.

(b)

Снова используя 5-значную арифметику, сначала выполните построчное масштабирование системы, прежде чем пытаться её решить. Опишите, насколько это помогает.

(c)

Теперь используйте 6-значную арифметику без масштабирования. Сравните результаты с точным решением.

(d)

Используя 6-значную арифметику, вычислите невязки для вашего решения из пункта (в) и проинтерпретируйте результаты.

(e)

Для того же решения, полученного в пункте (в), снова вычислите невязки, но на этот раз используя 7-значную арифметику, и проинтерпретируйте результаты.

(f)

Сформулируйте заключительное утверждение, обобщающее выводы пунктов (а)--(д).

Задача 1.6.2

Возмутите плохо обусловленную систему из упражнения 1.6.1 выше так, чтобы получить следующую систему:

.835x+.667y=.1669995,.333x+.266y=.066601. \begin{aligned} .835 x + .667 y & = .1669995, \\ .333 x + .266 y & = .066601. \end{aligned}
?
(a)

Определите точное решение и сравните его с точным решением системы из упражнения 1.6.1.

(b)

На основании результатов пункта (а) сформулируйте утверждение о необходимости того, чтобы решение плохо обусловленной системы претерпевало радикальное изменение при каждом возмущении исходной системы.

Задача 1.6.3

Рассмотрим две прямые линии, определяемые графиками следующих двух уравнений:

.835x+.667y=.168,.333x+.266y=.067. \begin{aligned} .835 x + .667 y & = .168, \\ .333 x + .266 y & = .067. \end{aligned}
?
(a)

Используя 5-значную арифметику, вычислите наклоны каждой из линий, а затем используя 6-значную арифметику, сделайте то же самое. В каждом случае изобразите графики на координатной системе.

(b)

Покажите с помощью диаграммы, почему малое возмущение любой из этих линий может привести к большому изменению решения.

(c)

Опишите в геометрических терминах ситуацию, которая должна иметь место для того, чтобы система была оптимально хорошо обусловлена.

Задача 1.6.4

Используя геометрические соображения, упорядочите следующие три системы по их обусловленности.

?
(a)
1.001x−y=.235,x+.0001y=.765. \begin{aligned} 1.001 x - y & = .235, \\ x + .0001 y & = .765. \end{aligned}
(b)
1.001x−y=.235,x+.9999y=.765. \begin{aligned} 1.001 x - y & = .235, \\ x + .9999 y & = .765. \end{aligned}
(c)
1.001x+y=.235,x+.9999y=.765. \begin{aligned} 1.001 x + y & = .235, \\ x + .9999 y & = .765. \end{aligned}
Задача 1.6.5

Определите точное решение следующей системы:

8x+5y+2z=15,21x+19y+16z=56,39x+48y+53z=140. \begin{aligned} 8 x + 5 y + 2 z & = 15, \\ 21 x + 19 y + 16 z & = 56, \\ 39 x + 48 y + 53 z & = 140. \end{aligned}

Теперь замените 1515 на 1414 в первом уравнении и снова решите систему с использованием точной арифметики. Является ли система плохо обусловленной?

?
Задача 1.6.6

Покажите, что система

v−w−x−y−z=0,w−x−y−z=0,x−y−z=0,y−z=0,z=1, \begin{aligned} v - w - x - y - z & = 0, \\ w - x - y - z & = 0, \\ x - y - z & = 0, \\ y - z & = 0, \\ z & = 1, \end{aligned}

плохо обусловлена, рассмотрев следующую возмущённую систему:

v−w−x−y−z=0,−115v+w−x−y−z=0,−115v+x−y−z=0,−115v+y−z=0,−115v+z=1. \begin{aligned} v - w - x - y - z & = 0, \\ -\frac{1}{15} v + w - x - y - z & = 0, \\ -\frac{1}{15} v + x - y - z & = 0, \\ -\frac{1}{15} v + y - z & = 0, \\ -\frac{1}{15} v + z & = 1. \end{aligned}
?
Задача 1.6.7

Пусть f(x)=sin⁡πxf(x) = \sin \pi x на [0,1][0, 1]. Цель этой задачи — определить коэффициенты αi\alpha_{i} кубического многочлена

p(x)=∑i=03αixi p(x) = \sum _{i=0}^{3} \alpha _{i} x^{i}

который максимально близок к f(x)f(x) в том смысле, что

r=∫01[f(x)−p(x)]2 dx=∫01[f(x)]2 dx−2∑i=03αi∫01xif(x) dx+∫01(∑i=03αixi)2dx \begin{aligned} r & = \int _{0}^{1} [f(x) - p(x)]^{2} \, dx \\ & = \int _{0}^{1} [f(x)]^{2} \, dx - 2 \sum _{i=0}^{3} \alpha _{i} \int _{0}^{1} x^{i} f(x) \, dx + \int _{0}^{1} \left( \sum _{i=0}^{3} \alpha _{i} x^{i} \right)^{2} dx \end{aligned}

минимально по величине.

?
(a)

Чтобы минимизировать rr, наложите условие ∂r/∂αi=0\partial r / \partial \alpha_{i} = 0 для каждого i=0,1,2,3i = 0, 1, 2, 3, и покажите, что это приводит к системе линейных уравнений, расширенная матрица которой равна [H4∣b][H_{4} \mid b], где H4H_{4} и bb заданы как

H4=[1121314]2mm]1213141513141516]2mm]14151617]иb=[2π1π]2mm]1π−4π31π−6π3]. H_{4} = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac {1}{2} & \dfrac {1}{3} & \dfrac {1}{4} \\ ]2mm] \dfrac {1}{2} & \dfrac {1}{3} & \dfrac {1}{4} & \dfrac {1}{5} \\[2mm] \dfrac {1}{3} & \dfrac {1}{4} & \dfrac {1}{5} & \dfrac {1}{6} \\ ]2mm] \dfrac {1}{4} & \dfrac {1}{5} & \dfrac {1}{6} & \dfrac {1}{7} \end{bmatrix} \quad \text{и} \quad b = \begin{bmatrix} \dfrac {2}{\pi } \\[2mm] \dfrac {1}{\pi } \\ ]2mm] \dfrac {1}{\pi } - \dfrac {4}{\pi ^{3}} \\[2mm] \dfrac {1}{\pi } - \dfrac {6}{\pi ^{3}} \end{bmatrix}.

Любая матрица HnH_{n}, имеющая тот же вид, что и H4H_{4}, называется матрицей Гильберта порядка nn.

(b)

Системы с матрицами Гильберта сильно плохо обусловлены, и плохая обусловленность усугубляется с ростом размера. Используя точную арифметику и метод гауссова исключения, приведите H4H_{4} к треугольному виду. Предполагая, что случай n=4n = 4 типичен, объясните, почему общая система [Hn∣b][H_{n} \mid b] будет плохо обусловлена. Заметьте, что даже полный выбор ведущего элемента здесь не помогает.