1.3

Метод Гаусса--Жордана

[4/75%]
Показать
LaTeX
Задача 1.3.1

Используйте метод Гаусса--Жордана, чтобы решить следующую систему:

4x2−3x3=3,−x1+7x2−5x3=4,−x1+8x2−6x3=5. \begin{aligned} 4 x_{2} - 3 x_{3} & = 3, \\ -x_{1} + 7 x_{2} - 5 x_{3} & = 4, \\ -x_{1} + 8 x_{2} - 6 x_{3} & = 5. \end{aligned}
?
Задача 1.3.2

Примените метод Гаусса--Жордана к следующей системе:

x1+x2+x3+x4=1,x1+2x2+2x3+2x4=0,x1+2x2+3x3+3x4=0,x1+2x2+3x3+4x4=0. \begin{aligned} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} & = 1, \\ x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} + 2 x_{4} & = 0, \\ x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} + 3 x_{4} & = 0, \\ x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} + 4 x_{4} & = 0. \end{aligned}
?
Задача 1.3.3

Используйте метод Гаусса--Жордана, чтобы решить следующие три системы одновременно.

2x1−x2=1∣0∣0,−x1+2x2−x3=0∣1∣0,−x2+x3=0∣0∣1. \begin{aligned} 2 x_{1} - x_{2} & = 1 \mid 0 \mid 0, \\ -x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} & = 0 \mid 1 \mid 0, \\ -x_{2} + x_{3} & = 0 \mid 0 \mid 1. \end{aligned}
?
Задача 1.3.4

Проверьте, что число операций, указанное в тексте для метода Гаусса--Жордана, верно для общей системы 3×33 \times 3. Если вам это по силам, попробуйте проверить это число операций для общей системы n×nn \times n.

Число операций, указанное в тексте: для системы n×nn \times n процедура Гаусса--Жордана требует n32+n22\dfrac {n^{3}}{2} + \dfrac {n^{2}}{2} умножений/делений и n32−n2\dfrac {n^{3}}{2} - \dfrac {n}{2} сложений/вычитаний.

?