1.2

Метод Гаусса и матрицы

[16/94%]
Показать
LaTeX
Задача 1.2.1

Решите методом Гаусса с обратной подстановкой следующую систему:

x1+x2+x3=1,x1+2x2+2x3=1,x1+2x2+3x3=1. \begin{aligned} x_{1} + x_{2} + x_{3} & = 1, \\ x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} & = 1, \\ x_{1} + 2 x_{2} + 3 x_{3} & = 1. \end{aligned}
?
Задача 1.2.2

Примените метод Гаусса с обратной подстановкой к следующей системе:

2x1−x2=0,−x1+2x2−x3=0,−x2+x3=1. \begin{aligned} 2 x_{1} - x_{2} & = 0, \\ -x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} & = 0, \\ -x_{2} + x_{3} & = 1. \end{aligned}
?
Задача 1.2.3

Решите методом Гаусса с обратной подстановкой следующую систему:

4x2−3x3=3,−x1+7x2−5x3=4,−x1+8x2−6x3=5. \begin{aligned} 4 x_{2} - 3 x_{3} & = 3, \\ -x_{1} + 7 x_{2} - 5 x_{3} & = 4, \\ -x_{1} + 8 x_{2} - 6 x_{3} & = 5. \end{aligned}
?
Задача 1.2.4

Решите следующую систему:

x1+x2+x3+x4=1,x1+x2+3x3+3x4=3,x1+x2+2x3+3x4=3,x1+3x2+3x3+3x4=4. \begin{aligned} x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} & = 1, \\ x_{1} + x_{2} + 3 x_{3} + 3 x_{4} & = 3, \\ x_{1} + x_{2} + 2 x_{3} + 3 x_{4} & = 3, \\ x_{1} + 3 x_{2} + 3 x_{3} + 3 x_{4} & = 4. \end{aligned}
?
Задача 1.2.5

Рассмотрим следующие три системы, в которых коэффициенты одинаковы для каждой системы, но правые части различны (такая ситуация встречается часто):

4x−8y+5z=1∣0∣0,4x−7y+4z=0∣1∣0,3x−4y+2z=0∣0∣1. \begin{aligned} 4x - 8y + 5z & = 1 \mid 0 \mid 0, \\ 4x - 7y + 4z & = 0 \mid 1 \mid 0, \\ 3x - 4y + 2z & = 0 \mid 0 \mid 1. \end{aligned}

Решите все три системы одновременно, выполнив гауссово исключение над расширенной матрицей вида

[A∣b1∣b2∣b3]. \left[\mathbf{A} \mid \mathbf{b_{1}} \mid \mathbf{b_{2}} \mid \mathbf{b_{3}}\right].
?
Задача 1.2.6

Предположим, что матрица BB получена из матрицы AA путём выполнения последовательности строчных операций. Объясните, почему AA можно получить, выполняя строчные операции над BB.

?
Задача 1.2.7

Найдите углы α\alpha, β\beta и γ\gamma такие, что

2sin⁡α−cos⁡β+3tan⁡γ=3,4sin⁡α+2cos⁡β−2tan⁡γ=2,6sin⁡α−3cos⁡β+tan⁡γ=9, \begin{aligned} 2 \sin \alpha - \cos \beta + 3 \tan \gamma & = 3, \\ 4 \sin \alpha + 2 \cos \beta - 2 \tan \gamma & = 2, \\ 6 \sin \alpha - 3 \cos \beta + \tan \gamma & = 9, \end{aligned}

где 0≤α≤2π0 \leq \alpha \leq 2\pi, 0≤β≤2π0 \leq \beta \leq 2\pi и 0≤γ<π0 \leq \gamma < \pi.

?
Задача 1.2.8

Следующая система не имеет решения:

−x1+3x2−2x3=1,−x1+4x2−3x3=0,−x1+5x2−4x3=0. \begin{aligned} -x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{3} & = 1, \\ -x_{1} + 4 x_{2} - 3 x_{3} & = 0, \\ -x_{1} + 5 x_{2} - 4 x_{3} & = 0. \end{aligned}

Попытайтесь решить эту систему методом гауссова исключения и объясните, что происходит, указывая на то, что систему невозможно решить.

?
Задача 1.2.9

Попытайтесь решить систему

−x1+3x2−2x3=4,−x1+4x2−3x3=5,−x1+5x2−4x3=6, \begin{aligned} -x_{1} + 3 x_{2} - 2 x_{3} & = 4, \\ -x_{1} + 4 x_{2} - 3 x_{3} & = 5, \\ -x_{1} + 5 x_{2} - 4 x_{3} & = 6, \end{aligned}

методом гауссова исключения и объясните, почему эта система обязана иметь бесконечно много решений.

?
Задача 1.2.10

Решив систему 3×33 \times 3, найдите коэффициенты в уравнении параболы y=α+βx+γx2y = \alpha + \beta x + \gamma x^{2}, проходящей через точки (1,1)(1, 1), (2,2)(2, 2) и (3,0)(3, 0).

?
Задача 1.2.11

Предположим, что 100 насекомых распределены в вольере, состоящем из четырёх камер с проходами между ними, как показано ниже.

По истечении одной минуты насекомые перераспределились. Предположим, что минуты недостаточно, чтобы насекомое посетило более одной камеры, и что к концу минуты 40 насекомых в каждой камере не покинули камеру, которую занимали в начале минуты. Насекомые, покидающие камеру, равномерно распределяются между камерами, напрямую доступными из той, которую они первоначально занимали — например, из 3 половина перемещается в 2, а половина — в 4.

?
(a)

Если по истечении одной минуты в камерах 1, 2, 3 и 4 находится соответственно 12, 25, 26 и 37 насекомых, определите, каким должно было быть начальное распределение.

(b)

Если начальное распределение составляет 20, 20, 20, 40, каким будет распределение по истечении одной минуты?

Задача 1.2.12

Покажите, что три типа элементарных строчных операций, обсуждавшихся на с.8, не являются независимыми, показав, что операция перестановки (1.2.7) может быть выполнена с помощью последовательности операций двух других типов, приведённых в (1.2.8) и (1.2.9).

Напомним три элементарные строчные операции: тип I (уравнение (1.2.7)) — перестановка порядка двух уравнений; тип II — умножение уравнения на ненулевой скаляр; тип III — замена уравнения суммой самого себя и кратного другого уравнения. Уравнения (1.2.8) и (1.2.9) представляют собой операции типа II и типа III соответственно.

?
Задача 1.2.13

Предположим, что [A∣b][A \mid b] — расширенная матрица, соответствующая линейной системе. Вам известно, что выполнение строчных операций над [A∣b][A \mid b] не меняет решение системы. Однако о столбцовых операциях речи не шло, поскольку столбцовые операции могут изменить решение.

?
(a)

Опишите, как повлияет на решение линейной системы перестановка столбцов A∗jA_{*j} и A∗kA_{*k}.

(b)

Опишите эффект, когда столбец A∗jA_{*j} заменяется на αA∗j\alpha A_{*j} при α≠0\alpha \neq 0.

(c)

Опишите эффект, когда A∗jA_{*j} заменяется на A∗j+αA∗kA_{*j} + \alpha A_{*k}.

Примечание.
?

Поэкспериментируйте с системой 2×22 \times 2 или 3×33 \times 3.

Задача 1.2.14

Рассмотрим матрицу Гильберта размера n×nn \times n, определённую как

H=[11213⋯1n]2mm]121314⋯1n+1131415⋯1n+2]2mm]⋮⋮⋮⋯⋮1n1n+11n+2⋯12n−1]. H = \begin{bmatrix} 1 & \dfrac {1}{2} & \dfrac {1}{3} & \cdots & \dfrac {1}{n} \\ ]2mm] \dfrac {1}{2} & \dfrac {1}{3} & \dfrac {1}{4} & \cdots & \dfrac {1}{n+1} \\[2mm] \dfrac {1}{3} & \dfrac {1}{4} & \dfrac {1}{5} & \cdots & \dfrac {1}{n+2} \\ ]2mm] \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\[2mm] \dfrac {1}{n} & \dfrac {1}{n+1} & \dfrac {1}{n+2} & \cdots & \dfrac {1}{2n-1} \end{bmatrix}.

Выразите отдельные элементы hijh_{ij} через ii и jj.

?
Задача 1.2.15

Проверьте, что подсчёты числа операций, приведённые в тексте для гауссова исключения с обратной подстановкой, верны для общей системы 3×33 \times 3. Если вам по силам более сложная задача, попробуйте проверить эти подсчёты для общей системы n×nn \times n.

Подсчёты числа операций, приведённые в тексте: гауссово исключение с обратной подстановкой, применённое к системе n×nn \times n, требует n33+n2−n3\dfrac {n^{3}}{3} + n^{2} - \dfrac {n}{3} умножений/делений и n33+n22−5n6\dfrac {n^{3}}{3} + \dfrac {n^{2}}{2} - \dfrac {5n}{6} сложений/вычитаний.

?
Задача 1.2.16

Объясните, почему линейная система никогда не может иметь ровно два различных решения. Распространите свои рассуждения, чтобы объяснить тот факт, что если система имеет более одного решения, то она обязана иметь бесконечно много различных решений.

?