Банк задач по математике

Задача 1.5.1

Рассмотрим следующую систему:

\begin{aligned} 10^{-3} x - y & = 1, \\ x + y & = 0. \end{aligned}

?

(a)

Используя 3-значную арифметику без выбора ведущего элемента, решите эту систему.

(b)

Найдите систему, которая точно удовлетворяется вашим решением из пункта (а), и отметьте, насколько эта система близка к исходной.

(c)

Теперь используйте частичный выбор ведущего элемента и 3-значную арифметику для решения исходной системы.

(d)

Найдите систему, которая точно удовлетворяется вашим решением из пункта (в), и отметьте, насколько эта система близка к исходной.

(e)

Используя точную арифметику, найдите решение исходной системы и сравните точное решение с результатами пунктов (а) и (в).

(f)

Округлите точное решение до трёх значащих цифр и сравните результат с результатами пунктов (а) и (в).

Задача 1.5.2

(a)(b)(c)(d)

Рассмотрим следующую систему:

\begin{aligned} x + y & = 3, \\ -10 x + 10^{5} y & = 10^{5}. \end{aligned}

?

(a)

Используя 4-значную арифметику с частичным выбором ведущего элемента и без масштабирования, вычислите решение.

(b)

Используя 4-значную арифметику с полным выбором ведущего элемента и без масштабирования, вычислите решение исходной системы.

(c)

На этот раз сначала промасштабируйте строки исходной системы, а затем примените частичный выбор ведущего элемента с 4-значной арифметикой для вычисления решения.

(d)

Теперь найдите точное решение и сравните его с результатами пунктов (а), (б) и (в).

Задача 1.5.3

Без масштабирования вычислите 3-значное решение системы

\begin{aligned} -3 x + y & = -2, \\ 10 x - 3 y & = 7, \end{aligned}

без частичного выбора ведущего элемента и с частичным выбором ведущего элемента. Сравните ваши результаты с точным решением.

?

Задача 1.5.4

(a)(b)(c)(d)

Рассмотрим следующую систему, в которой матрица коэффициентов является матрицей Гильберта:

\begin{aligned} x + \frac{1}{2} y + \frac{1}{3} z & = \frac{1}{3}, \\ \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y + \frac{1}{4} z & = \frac{1}{3}, \\ \frac{1}{3} x + \frac{1}{4} y + \frac{1}{5} z & = \frac{1}{5}. \end{aligned}

?

(a)

Сначала преобразуйте коэффициенты в 3-значные числа с плавающей точкой, а затем используйте 3-значную арифметику с частичным выбором ведущего элемента, но без масштабирования, чтобы вычислить решение.

(b)

Снова используя 3-значную арифметику, промасштабируйте строки коэффициентов (после преобразования их в числа с плавающей точкой), а затем примените частичный выбор ведущего элемента для вычисления решения.

(c)

Действуйте, как в пункте (б), но на этот раз масштабируйте строки коэффициентов перед каждым шагом исключения.

(d)

Теперь, используя точную арифметику для исходной системы, найдите точное решение и сравните результат с результатами пунктов (а), (б) и (в).

Задача 1.5.5

(a)(b)(c)(d)

Чтобы увидеть, что смена единиц измерения может повлиять на решение с плавающей точкой, рассмотрим горнодобывающее предприятие, извлекающее из земли кремнезём, железо и золото. Для работы рудника требуются капитал (в долларах), время работы (в часах) и труд (в человеко-часах). Для добычи одного фунта кремнезёма требуется $.0055, .0011 часа работы и .0093 человеко-часа труда. Для добычи каждого фунта железа требуется $.095, .01 часа работы и .025 человеко-часа труда. Для добычи каждого фунта золота требуется $960, 112 часов работы и 560 человеко-часов труда.

?

(a)

Предположим, что за 600 часов работы израсходовано ровно $5000 и 3000 человеко-часов. Пусть $x$ , $y$ и $z$ обозначают число фунтов кремнезёма, железа и золота соответственно, добытых за этот период. Составьте линейную систему, решение которой даст значения $x$ , $y$ и $z$ .

(b)

Без масштабирования, используя 3-значную арифметику и частичный выбор ведущего элемента, вычислите решение $(\tilde{x}, \tilde{y}, \tilde{z})$ системы из пункта (а). Затем приближённо найдите точное решение $(x, y, z)$ , используя полную точность вашей машины (или калькулятора) с частичным выбором ведущего элемента для решения системы из пункта (а), и сравните его с вашим 3-значным решением, вычислив относительную погрешность, определяемую как

e_{r} = \frac{\sqrt{(x-\tilde{x})^{2}+(y-\tilde{y})^{2}+(z-\tilde{z})^{2}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}.

(c)

Используя 3-значную арифметику, промасштабируйте столбцы коэффициентов сменой единиц измерения: переведите фунты кремнезёма в тонны кремнезёма, фунты железа в полутонны железа, а фунты золота в тройские унции золота (1 фунт = 12 тройских унций).

(d)

Используя 3-значную арифметику с частичным выбором ведущего элемента, решите промасштабированную по столбцам систему из пункта (в). Затем приближённо найдите точное решение, используя полную точность вашей машины (или калькулятора) с частичным выбором ведущего элемента для решения системы из пункта (в), и сравните его с вашим 3-значным решением, вычислив относительную погрешность $e_{r}$ , как определено в пункте (б).

Задача 1.5.6

(a)(b)

Рассмотрим систему, приведённую в Примере 1.5.3.

Система из Примера 1.5.3: $x-y=-2$ , $-9x+10y=12$ .

?

(a)

Используя 3-значную арифметику с частичным выбором ведущего элемента, но без масштабирования, решите систему.

(b)

Теперь используйте частичный выбор ведущего элемента с масштабированием. Даёт ли полный выбор ведущего элемента преимущество перед масштабированным частичным выбором в этом случае?

Задача 1.5.7

(a)(b)(c)

Рассмотрим следующую хорошо масштабированную матрицу:

W_{n} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 & \ddots & 0 & 0 & 1 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\ -1 & -1 & -1 & \ddots & 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 & \cdots & -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}.

?

(a)

Приведите $W_{n}$ к верхнетреугольному виду методом гауссова исключения с частичным выбором ведущего элемента и определите элемент максимальной величины, возникающий в процессе исключения.

(b)

Теперь используйте полный выбор ведущего элемента и повторите пункт (а).

(c)

Сформулируйте утверждение, сравнивающее результаты частичного выбора ведущего элемента с результатами полного выбора для $W_{n}$ , и опишите, как это скажется на определении $t$ -значного решения системы, расширенная матрица которой имеет вид $[W_{n} \mid b]$ .

Задача 1.5.8

Предположим, что $A$ — это $n \times n$ матрица вещественных чисел, масштабированная так, что каждый элемент удовлетворяет условию $\left|a_{ij}\right| \leq 1$ , и рассмотрим приведение $A$ к треугольному виду методом гауссова исключения с частичным выбором ведущего элемента. Покажите, что после $k$ шагов процесса ни один элемент не может иметь величину, превышающую $2^{k}$ .

?

Примечание.

?

Предыдущая задача показывает, что бывают случаи, когда некоторые элементы действительно могут достигать максимальной величины $2^{k}$ после $k$ шагов.

Практическая реализация метода Гаусса