Ряды

Сходится ли ряд ${ }^{*)} \sum \frac{\varepsilon_{n}}{n}$, где $\varepsilon_{n}=0$, если в десятичной записи числа $n$ имеется цифра 9 , и $\varepsilon_{n}=1$ в противном случае?

Сходятся ли ряды

Докажите, что ряд $\sum \frac{\cos (b \ln n)}{n^{a}}$ сходится лишь при $a>1$.

При каких $p>0$ сходятся ряды

Пусть $\tau (n)$ - число делителей числа $n, p_{n}$ - $n$-е простое число, $\varphi (n)$ - число взаимно простых с $n$ чисел, меньших $n$. Сходятся ли ряды

Пусть $\varphi \in C(\left[a, b\right])$ и

Для каких функций $\varphi$ сходится ряд $\sum_{n \geqslant N} a_{n}$ ?

Пусть $\varphi \in C(\left[-\pi , \pi \right])$. Для каких функций $\varphi$ сходятся ряды

Докажите, что при $a>1$ сходится ряд

Сходятся ли двойные ряды

Проверьте, что сумма ряда

(группа членов $\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{2^{n}}$ повторяется $2^{n}$ раз) равна 1. Укажите перестановку, после которой сумма ряда станет равной -1 .

Пусть $a_{n}>0, a_{n} \uparrow$. Докажите, что ограниченность последовательности $\left\{ a_{n}\right\}$ равносильна сходимости ряда $\sum \arccos^{2}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right)$.

Пусть $a_{n} \downarrow 0$. Докажите, что

Пусть $a_{n} \downarrow 0, b_{n} \downarrow 0$ и $\sum a_{n}=\sum b_{n}=+\infty$. Всегда ли расходится ряд $\sum \min \left\{ a_{n}, b_{n}\right\}$ ?

В решениях многих последующих задач используется признак Абеля для рядов: если последовательности $\left\{ a_{n}\right\}$ и $\left\{ b_{n}\right\}$ таковы, что последовательность $\left\{ a_{n} B_{n}\right\}$ сходится (здесь $B_{n}=b_{1}+\ldots +b_{n}$), то ряды $\sum a_{n} b_{n}$ и $\sum \left(a_{n}-a_{n+1}\right) B_{n}$ сходятся или расходятся одновременно. В случае, когда ряд $\sum b_{n}$ сходится, может оказаться полезным другой вариант этого утверждения: если последовательность $\left\{ a_{n} \beta_{n}\right\}$ сходится (здесь $\beta_{n}=b_{n}+b_{n+1}+\ldots$), то ряды $\sum a_{n} b_{n}$ и $\sum \left(a_{n}-a_{n+1}\right) \beta_{n}$ сходятся или расходятся одновременно. Доказательства этих утверждений легко получить, применяя преобразование Абеля (см. § 2 гл. I) к суммам $\sum_{1 \leqslant n \leqslant N} a_{n} b_{n}$. Признак Абеля особенно удобно использовать, если последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ монотонна.

Пусть $a_{n} \downarrow 0, p>-1$. Докажите, что ряды $\sum \left(a_{n}-a_{n+1}\right) n^{p+1}$ и $\sum n^{p} a_{n}$ сходятся или расходятся одновременно и в случае сходимости $a_{n}=o\left(n^{-p-1}\right)$. В частности, ряды $\sum a_{n}$ и $\sum \left(a_{n}-a_{n+1}\right) n$ сходятся или расходятся одновременно и в случае сходимости $a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)$.

Пусть $a_{n} \downarrow 0$. Докажите, что ряды $\sum \frac{a_{n}}{n}$ и $\sum \left(a_{n}-a_{n+1}\right) \ln n$ сходятся или расходятся одновременно и в случае сходимости $a_{n}=o\left(\frac{1}{\ln n}\right)$.

Пусть $a_{n} \geqslant 0$ для всех $n \in \mathbb {N}$ и $\sum a_{n} \ln n<\infty$. Для $p>0$ положим $b_{n}=\sum_{k \geqslant n^{p}} a_{k}$. Докажите, что $\sum \frac{b_{n}}{n}<\infty$.

Пусть $p>1$ и $a_{n} \downarrow 0$. Докажите, что из сходимости ряда $\sum a_{n}^{p-1} n^{-1 / p}$ вытекает сходимость ряда $\sum a_{n}^{p}$. Существенна ли монотонность?

Пусть $a_{n} \downarrow 0$. Докажите, что

Пусть $a_{n} \downarrow 0$ и ряд $\sum x_{n}$ сходится. Докажите, что ряд $\sum a_{n} x_{n}$ сходится и $\sum_{k \geqslant n} a_{k} x_{k}=o\left(a_{n}\right)$.

Пусть $x_{n}>0, x_{n} \rightarrow 0$. Докажите, что существует такая убывающая к нулю последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$, что $\sum a_{n}=\infty$ и $\sum a_{n} x_{n}<\infty$.

Пусть $p>0, q, Q \in \mathbb {N}, Q>1$. Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ - неотрицательная последовательность и $A_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}$. Докажите эквивалентность следующих утверждений:

1. $\sum \frac{a_{n}}{n^{p}}<+\infty$;

2. $\sum \frac{A_{Q^{n}}}{Q^{p n}}<+\infty$.

3. $\sum \frac{A_{n} q}{n^{1+p q}}<+\infty$;

Докажите, что ряд $\sum \frac{x_{n}}{n^{1+\varepsilon }}$ сходится, если $\varepsilon >0$ и последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ такова, что $\frac{1}{n}\left(x_{1}+\ldots +x_{n}\right) \rightarrow 0$. Всегда ли сходимость абсолютная? Всегда ли сходится ряд $\sum \frac{x_{n}}{n}$ ?

Пусть $a_{n}>0$ и $S_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}, S_{n} \rightarrow +\infty$. Докажите, что

Пусть $a_{n}>0, \sum a_{n}<+\infty$ и $\alpha_{n}=\sum_{k \geqslant n} a_{k}$. Докажите, что

Пусть $p \geqslant 1, a_{n} \geqslant 0$ и $r_{n}=\sum_{k \geqslant n} a_{k}^{p}<+\infty$. Докажите, что

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ - положительная монотонная последовательность, $a_{n} \neq 1$ для всех номеров $n$ и $a_{n} \rightarrow a<+\infty$. Докажите, что ряд

расходится, если $a=0$ или $a=1$, и сходится в остальных случаях. Что будет при $a=+\infty$ ?

Пусть $f$ - положительная строго возрастающая на промежутке $[1,+\infty )$ функция и $f(x) \rightarrow +\infty$ при $x \rightarrow +\infty$. Докажите, что ряды

сходятся одновременно ($f^{-1}$ - обратная $\kappa f$ функция).

Пусть функция $f$ убывает к нулю на промежутке $[0,+\infty )$; последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ неотрицательна и ограничена, $\sum a_{n}=+\infty$. Докажите, что ряды

сходятся или расходятся одновременно.

Пусть $a_{n} \downarrow 0$ и $\sum a_{n}=A$. Для произвольного множества $\nu \subset \mathbb {N}$ суммой частичного ряда, соответствующего $\nu$, будем называть величину $A(\nu )=\sum_{n \in \nu } a_{n}$ (по определению $A(\varnothing )=0$). Докажите эквивалентность следующих утверждений:

1. суммы частичных рядов заполняют промежуток $\left[0, A\right]$;

2. $a_{n} \leqslant a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots$ для всех номеров $n$.

Существует ли такой ряд $\sum a_{n}$, что $a_{n} \downarrow 0$ и суммы его частичных рядов (см. 2.19) заполняют канторово множество?

Пусть $a_{n} \downarrow 0$ и $\sum a_{n}=+\infty$. Докажите, что существует такая последовательность номеров $\left\{ n_{k}\right\}$, что $n_{k}<n_{k+1}, a_{n_{k}}<\frac{1}{k}$ и ряд $\sum a_{n_{k}}$ расходится. Можно ли отказаться от монотонности $\left\{ a_{n}\right\}$ ?

Пусть $\left\{ t_{n}\right\}$ - последовательность положительных чисел.

Существует ли такая последовательность $\left\{ a_{n}\right\} , a_{n} \neq 0$, что ряды $\sum a_{n}$ и $\sum \frac{1}{n^{2} a_{n}}$ сходятся? Можно ли подобрать положительную последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ ?

Пусть $f \in C^{1}([1,+\infty ))$ и $\int_{1}^{\infty }\left|f^{\prime }(x)\right| d x<+\infty$. Докажите, что сходимость ряда $\sum f(n)$ равносильна сходимости интеграла $\int_{1}^{\infty } f(x) d x$.

Пусть $a_{n}>0$ и $\sum a_{n}<+\infty$. Докажите, что

Пусть $0<a_{n}<1$. Докажите, что из сходимости ряда $\sum \frac{a_{n}}{\ln a_{n}}$ следует сходимость ряда $\sum \frac{a_{n}}{\ln (1+n)}$. Верно ли обратное утверждение, если $a_{n} \downarrow 0$ ? Можно ли отказаться от монотонности?

Пусть $a_{n} \geqslant 0$ и $\sum \frac{a_{n}}{n}<+\infty$. Докажите, что существует такая последовательность номеров $\left\{ n_{k}\right\}$ плотности 1 (см. задачу II.2.14), что $a_{n_{k}} \rightarrow 0$.

Докажите эквивалентность двух утверждсний:

1. $\sum \left|a_{n}\right|<+\infty$;

2. для любой последовательности номеров $\left\{ n_{k}\right\}$ плотности 0 (см. задачу II.2.14) ряд $\sum a_{n_{k}}$ сходится.

Пусть ряд $\sum a_{n}$ абсолютно сходится и $\sum a_{k n}=0$ для любого $k \in \mathbb {N}$. Докажите, что $a_{n}=0$ для любого $n$. Верно ли это утверждение для рядов, сходящихся не абсолютно?

Докажите, что если ряд $\sum a_{n} x_{n}$ сходится для любой последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$, стремящейся к нулю, то $\sum \left|a_{n}\right|<+\infty$.

Докажите, что следующие два свойства последовательности $\left\{ c_{n}\right\}$ эквивалентны:

1. $\sum \left|c_{n}-c_{n+1}\right|<+\infty$;

2. если ряд $\sum a_{n}$ сходится, то и ряд $\sum c_{n} a_{n}$ сходится.

Пусть функция $\varphi$ монотонна и ограничена на промежутке $[0,+\infty )$. Докажите, что для любого сходящегося ряда $\sum a_{n}$

Постройте положительную последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ со свойствами:

1. $a_{n} \rightarrow 0$;

2. $\sum a_{n}=+\infty$;

3. если $a_{n_{k}} \downarrow 0$, где $\left\{ n_{k}\right\}$- строго возрастающая последовательность номеров, то $\sum a_{n_{k}} \leqslant 2$.

Постройте положительную последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ со свойствами:

1. $a_{n} \rightarrow 0$;

2. $\sum a_{n}=+\infty$;

3. если строго возрастающая последовательность номеров $\left\{ n_{k}\right\}$ такова, что $\sup \left\{ a_{n_{k}} / a_{n_{j}} \mid k, j \in \mathbb {N}, k \geqslant j\right\} <+\infty$, то ряд $\sum a_{n_{k}}$ сходится.

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ - последовательность положительных чисел. Положим $A_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}, \alpha_{n}=\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{a_{n+1}}+\ldots$ Докажите, что следующие шесть утверждений эквивалентны:

1. $A_{n}=O\left(a_{n}\right)$;

2. $\alpha_{n}=O\left(\frac{1}{a_{n}}\right)$;

3. $\frac{A_{n}}{A_{n+1}} \leqslant q_{1}<1$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

4. $\alpha_{1}<+\infty$ и $\frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_{n}} \leqslant q_{2}<1$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

5. $a_{1}^{p}+\ldots +a_{n}^{p}=O\left(a_{n}^{p}\right)$, если $p>0$;

6. $\frac{1}{a_{n}^{p}}+\frac{1}{a_{n+1}^{p}}+\ldots =O\left(\frac{1}{a_{n}^{p}}\right)$, если $p>0$.

Из утверждений а)-е) следует утверждение ж) для любого $Q>1$ существует такой номер $L=L_{Q}$, что $a_{n+L} \geqslant Q a_{n}$ для всех $n \in \mathbb {N}$, т.е. последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ распадается на $L$ подпоследовательностей $\left\{ a_{n}^{(l)}\right\} =\left\{ a_{n L+l}\right\}_{n \geqslant 1}(l=0,1, \ldots , L-1)$, каждая из которых растёт не медленнее геометрической прогрессии: $a_{n+1}^{(l)} \geqslant Q a_{n}^{(l)}$. Докажите, что если последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ монотонна, то ж) ⇒ а). Верно ли это утверждение для немонотонных последовательностей?

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ - последовательность положительных чисел. Положим $A_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}, \alpha_{n}=\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{a_{n+1}}+\ldots$ Докажите, что следующие семь утверждений эквивалентны:

Пусть $p>1, a_{n} \geqslant 0$ и $A_{n}=\frac{1}{n}\left(a_{1}+\ldots +a_{n}\right)(n \in \mathbb {N})$. Докажите, что

Пусть $a_{n}>0$ для всех $n \in \mathbb {N}$ и ряд $\sum a_{n}$ сходится. Докажите, что ряд $\sum \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}}$ сходится (заметим, что ряд $\sum \frac{1}{n}\left(a_{1}+\ldots +a_{n}\right)$, очевидно, расходится).

Пусть функция $f$ определена на $\mathbb {R}$. Докажите, что следующие свойства функции $f$ эквивалентны:

1. $f(x)=O(x)$ при $x \rightarrow 0$;

2. для любого абсолютно сходящегося ряда $\sum a_{n}$ ряд $\sum f\left(a_{n}\right)$ абсолютно сходится;

3. для любого абсолютно сходящегося ряда $\sum a_{n}$ ряд $\sum f\left(a_{n}\right)$ сходится.

Пусть функция $f$ определена на $\mathbb {R}$. Докажите, что если для любого сходящегося ряда $\sum a_{n}$ ряд $\sum f\left(a_{n}\right)$ сходится, то $f(x)=C x$ в некоторой окрестности нуля.

Пусть счётное множество $Q$ содержится в интервале $(0,1)$, $\inf Q=0, \sup Q=1$. Докажите, что для любого числа $x \in (0,1)$ можно так занумеровать множество $Q=\left\{ q_{1}, q_{2}, \ldots \right\}$, что $x=\sum \frac{q_{n}}{2^{n}}$.

$\sum 3^{n} \sin^{3} \frac{x}{3^{n}}$.

$\sum (-1)^{n} \frac{\cos^{3}\left(3^{n} x\right)}{3^{n}}$.

$\sum \operatorname {arctg} \frac{1}{n^{2}+n+1}$.

$\sum \operatorname {arctg} \frac{1}{2 n^{2}}$.

$\sum_{n \geqslant 1} \frac{1}{C_{n+r}^{1+r}}(r \in \mathbb {N})$.

$\sum_{n \geqslant 0} \frac{(n!)^{2} z^{n}}{(2 n+1)!} \quad (|z|<4)$.

$\sum n(\operatorname {ch} 2 n-e) e^{-n^{2}}$.

$\sum_{n \geqslant 2}\left(\frac{1}{n} \sum_{m \geqslant 2} m^{-n}\right)$.

$\sum \frac{(-1)^{n}}{n} \ln n$.

$\sum \frac{(-1)^{n}}{n}\left[\log_{2} n\right]$.

$\sum \left(\frac{1}{2 n-1}-\ln \left(1+\frac{1}{2 n-1}\right)\right)$.

$\sum \left(\frac{1}{2 n}-\ln \left(1+\frac{1}{2 n}\right)\right)$.

$\sum \left(1-\left(n+\frac{1}{2}\right) \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\right)$.

$\sum \frac{1}{2^{n}} \operatorname {tg} \frac{1}{2^{n}}$.

$\sum \frac{1}{n} \int_{2 \pi n}^{\infty } \frac{\sin x}{x} d x$.

$\sum \frac{1}{n} \int_{\pi n}^{\infty } \frac{\sin x}{x} d x$.

Докажите, что

В частности,

Докажите, что

Здесь $p_{1}=2, p_{2}=3, \ldots$ - простые числа, занумерованные в порядке возрастания.

Докажите, что при $\left|t\right|<1$

Вычислите сумму ряда $\sum_{n \geqslant 1} \frac{a_{n}(m)}{n}$, где $m \in \mathbb {N}, m>1$ и $a_{n}(m)=1$, если $n$ не делится на $m, a_{n}(m)=1-m$, если $n$ делится на $m$.

При каких $p, q>0$ и $x, y \in \mathbb {R}$ сходится ряд

Пусть $\lambda_{n} \rightarrow 0$. Сходится ли ряд $\sum \lambda_{n} e^{-\left|x-n\right|}$ равномерно на $\mathbb {R}$ ? Оцените $\sup_{x}\left|\sum \lambda_{n} e^{-\left|x-n\right|}\right|$ при условии, что $\left|\lambda_{n}\right| \leqslant 1$ при любом $n \in \mathbb {N}$.