Свойства числовых рядов, связанные с монотонностью

Пусть $a_{n}>0, a_{n} \uparrow$. Докажите, что ограниченность последовательности $\left\{ a_{n}\right\}$ равносильна сходимости ряда $\sum \arccos^{2}\left(\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right)$.

Пусть $a_{n} \downarrow 0$. Докажите, что

Пусть $a_{n} \downarrow 0, b_{n} \downarrow 0$ и $\sum a_{n}=\sum b_{n}=+\infty$. Всегда ли расходится ряд $\sum \min \left\{ a_{n}, b_{n}\right\}$ ?

В решениях многих последующих задач используется признак Абеля для рядов: если последовательности $\left\{ a_{n}\right\}$ и $\left\{ b_{n}\right\}$ таковы, что последовательность $\left\{ a_{n} B_{n}\right\}$ сходится (здесь $B_{n}=b_{1}+\ldots +b_{n}$), то ряды $\sum a_{n} b_{n}$ и $\sum \left(a_{n}-a_{n+1}\right) B_{n}$ сходятся или расходятся одновременно. В случае, когда ряд $\sum b_{n}$ сходится, может оказаться полезным другой вариант этого утверждения: если последовательность $\left\{ a_{n} \beta_{n}\right\}$ сходится (здесь $\beta_{n}=b_{n}+b_{n+1}+\ldots$), то ряды $\sum a_{n} b_{n}$ и $\sum \left(a_{n}-a_{n+1}\right) \beta_{n}$ сходятся или расходятся одновременно. Доказательства этих утверждений легко получить, применяя преобразование Абеля (см. § 2 гл. I) к суммам $\sum_{1 \leqslant n \leqslant N} a_{n} b_{n}$. Признак Абеля особенно удобно использовать, если последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ монотонна.

Пусть $a_{n} \downarrow 0, p>-1$. Докажите, что ряды $\sum \left(a_{n}-a_{n+1}\right) n^{p+1}$ и $\sum n^{p} a_{n}$ сходятся или расходятся одновременно и в случае сходимости $a_{n}=o\left(n^{-p-1}\right)$. В частности, ряды $\sum a_{n}$ и $\sum \left(a_{n}-a_{n+1}\right) n$ сходятся или расходятся одновременно и в случае сходимости $a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)$.

Пусть $a_{n} \downarrow 0$. Докажите, что ряды $\sum \frac{a_{n}}{n}$ и $\sum \left(a_{n}-a_{n+1}\right) \ln n$ сходятся или расходятся одновременно и в случае сходимости $a_{n}=o\left(\frac{1}{\ln n}\right)$.

Пусть $a_{n} \geqslant 0$ для всех $n \in \mathbb {N}$ и $\sum a_{n} \ln n<\infty$. Для $p>0$ положим $b_{n}=\sum_{k \geqslant n^{p}} a_{k}$. Докажите, что $\sum \frac{b_{n}}{n}<\infty$.

Пусть $p>1$ и $a_{n} \downarrow 0$. Докажите, что из сходимости ряда $\sum a_{n}^{p-1} n^{-1 / p}$ вытекает сходимость ряда $\sum a_{n}^{p}$. Существенна ли монотонность?

Пусть $a_{n} \downarrow 0$. Докажите, что

Пусть $a_{n} \downarrow 0$ и ряд $\sum x_{n}$ сходится. Докажите, что ряд $\sum a_{n} x_{n}$ сходится и $\sum_{k \geqslant n} a_{k} x_{k}=o\left(a_{n}\right)$.

Пусть $x_{n}>0, x_{n} \rightarrow 0$. Докажите, что существует такая убывающая к нулю последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$, что $\sum a_{n}=\infty$ и $\sum a_{n} x_{n}<\infty$.

Пусть $p>0, q, Q \in \mathbb {N}, Q>1$. Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ - неотрицательная последовательность и $A_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}$. Докажите эквивалентность следующих утверждений:

1. $\sum \frac{a_{n}}{n^{p}}<+\infty$;

2. $\sum \frac{A_{Q^{n}}}{Q^{p n}}<+\infty$.

3. $\sum \frac{A_{n} q}{n^{1+p q}}<+\infty$;

Докажите, что ряд $\sum \frac{x_{n}}{n^{1+\varepsilon }}$ сходится, если $\varepsilon >0$ и последовательность $\left\{ x_{n}\right\}$ такова, что $\frac{1}{n}\left(x_{1}+\ldots +x_{n}\right) \rightarrow 0$. Всегда ли сходимость абсолютная? Всегда ли сходится ряд $\sum \frac{x_{n}}{n}$ ?

Пусть $a_{n}>0$ и $S_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}, S_{n} \rightarrow +\infty$. Докажите, что

Пусть $a_{n}>0, \sum a_{n}<+\infty$ и $\alpha_{n}=\sum_{k \geqslant n} a_{k}$. Докажите, что

Пусть $p \geqslant 1, a_{n} \geqslant 0$ и $r_{n}=\sum_{k \geqslant n} a_{k}^{p}<+\infty$. Докажите, что

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ - положительная монотонная последовательность, $a_{n} \neq 1$ для всех номеров $n$ и $a_{n} \rightarrow a<+\infty$. Докажите, что ряд

расходится, если $a=0$ или $a=1$, и сходится в остальных случаях. Что будет при $a=+\infty$ ?

Пусть $f$ - положительная строго возрастающая на промежутке $[1,+\infty )$ функция и $f(x) \rightarrow +\infty$ при $x \rightarrow +\infty$. Докажите, что ряды

сходятся одновременно ($f^{-1}$ - обратная $\kappa f$ функция).

Пусть функция $f$ убывает к нулю на промежутке $[0,+\infty )$; последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ неотрицательна и ограничена, $\sum a_{n}=+\infty$. Докажите, что ряды

сходятся или расходятся одновременно.

Пусть $a_{n} \downarrow 0$ и $\sum a_{n}=A$. Для произвольного множества $\nu \subset \mathbb {N}$ суммой частичного ряда, соответствующего $\nu$, будем называть величину $A(\nu )=\sum_{n \in \nu } a_{n}$ (по определению $A(\varnothing )=0$). Докажите эквивалентность следующих утверждений:

1. суммы частичных рядов заполняют промежуток $\left[0, A\right]$;

2. $a_{n} \leqslant a_{n+1}+a_{n+2}+\ldots$ для всех номеров $n$.

Существует ли такой ряд $\sum a_{n}$, что $a_{n} \downarrow 0$ и суммы его частичных рядов (см. 2.19) заполняют канторово множество?

Пусть $a_{n} \downarrow 0$ и $\sum a_{n}=+\infty$. Докажите, что существует такая последовательность номеров $\left\{ n_{k}\right\}$, что $n_{k}<n_{k+1}, a_{n_{k}}<\frac{1}{k}$ и ряд $\sum a_{n_{k}}$ расходится. Можно ли отказаться от монотонности $\left\{ a_{n}\right\}$ ?

Пусть $\left\{ t_{n}\right\}$ - последовательность положительных чисел.