IV.1

Сходимость

[10/100%]
Показать
LaTeX
Задача IV.1.1

Сходится ли ряд ∗)∑εnn{ }^{*)} \sum \frac{\varepsilon_{n}}{n}, где εn=0\varepsilon_{n}=0, если в десятичной записи числа nn имеется цифра 9 , и εn=1\varepsilon_{n}=1 в противном случае?

?
Задача IV.1.2

Сходятся ли ряды

?
(а)

∑∣cos⁡2n∣n\sum \frac{\left|\cos 2^{n}\right|}{n};

(б)

∑∣sin⁡(n+ln⁡n)∣n\quad \sum \frac{\left|\sin (n+\ln n)\right|}{n};

(в)

∑∣sin⁡n2∣n\quad \sum \frac{\left|\sin n^{2}\right|}{n};

(г)

∑∣tg⁡n∣n∣tg⁡n∣\quad \sum \frac{\left|\operatorname {tg} n\right|}{n\left|\operatorname {tg} n\right|};

(д)

∑tg⁡2nn1+∣tg⁡n∣\sum \frac{\operatorname {tg}^{2} n}{n^{1+\left|\operatorname {tg} n\right|}};

(е)

∑∣cos⁡n∣n\quad \sum \frac{\left|\cos \sqrt{n}\right|}{n} ?

Задача IV.1.3

Докажите, что ряд ∑cos⁡(bln⁡n)na\sum \frac{\cos (b \ln n)}{n^{a}} сходится лишь при a>1a>1.

?
Задача IV.1.4

При каких p>0p>0 сходятся ряды

?
(а)

∑n⩾2(ln⁡n)−2pnp+p−8ln⁡n\sum_{n \geqslant 2} \frac{(\ln n)^{-2 p}}{n^{p}+p^{-8} \sqrt{\ln n}};

(б)

∑(−1)[n]np\quad \sum \frac{(-1)^{\left[\sqrt{n}\right]}}{n^{p}};

(в)

∑arccos⁡pv(n)v(n+1)\quad \sum \arccos^{p} \frac{v(n)}{v(n+1)} ?

Здесь ν(n)\nu (n) - число цифр в десятичной записи числа nn. *) Напомним, что ∑an\sum a_{n} - обозначение ряда ∑n⩾1an\sum_{n \geqslant 1} a_{n}.

Задача IV.1.5

Пусть τ(n)\tau (n) - число делителей числа n,pnn, p_{n} - nn-е простое число, φ(n)\varphi (n) - число взаимно простых с nn чисел, меньших nn. Сходятся ли ряды

?
(а)

∑τ(n)n2\sum \frac{\tau (n)}{n^{2}};

(б)

∑1pn\sum \frac{1}{p_{n}};

(в)

∑φ(n)n2\quad \sum \frac{\varphi (n)}{n^{2}};

(г)

∑1npn−(n−1)pn−1\sum \frac{1}{n p_{n}-(n-1) p_{n-1}} ?

Задача IV.1.6

Пусть φ∈C([a,b])\varphi \in C(\left[a, b\right]) и

an=∫abφ(t)dtt+ln⁡n при n⩾N>e−a a_{n}=\int _{a}^{b} \frac{\varphi (t) d t}{t+\ln n} \quad \text{ при } \quad n \geqslant N>e^{-a}

Для каких функций φ\varphi сходится ряд ∑n⩾Nan\sum_{n \geqslant N} a_{n} ?

?
Задача IV.1.7

Пусть φ∈C([−π,π])\varphi \in C(\left[-\pi , \pi \right]). Для каких функций φ\varphi сходятся ряды

?
(а)

∑n⩾3∫−ππφ(t)dtcos⁡t+ln⁡n\sum_{n \geqslant 3} \int_{-\pi }^{\pi } \frac{\varphi (t) d t}{\cos t+\ln n};

(б)

∑n⩾3∫−ππφ(t)dtsin⁡t+ln⁡n\sum_{n \geqslant 3} \int_{-\pi }^{\pi } \frac{\varphi (t) d t}{\sin t+\ln n} ?

Задача IV.1.8

Докажите, что при a>1a>1 сходится ряд

∑1na1∣sin⁡(π2n)∣ \sum \frac{1}{n^{a}} \frac{1}{\left|\sin (\pi \sqrt{2} n)\right|}
?
Задача IV.1.9

Сходятся ли двойные ряды

?
(а)

∑n,m⩾11n2+m2\sum_{n, m \geqslant 1} \frac{1}{n^{2}+m^{2}};

(б)

∑n,m⩾1min⁡(n,m)n3+m3\quad \sum_{n, m \geqslant 1} \frac{\min (n, m)}{n^{3}+m^{3}};

(в)

∑n,m⩾1max⁡(n,m)n4+m4\quad \sum_{n, m \geqslant 1} \frac{\max (n, m)}{n^{4}+m^{4}};

(г)

∑n,m⩾1nmn5+m5\sum_{n, m \geqslant 1} \frac{n m}{n^{5}+m^{5}};

(д)

∑n,m⩾1ε(n,m)n2+m2\sum_{n, m \geqslant 1} \frac{\varepsilon (n, m)}{n^{2}+m^{2}};

(е)

∑n,m⩾1 НОД (n,m)n3+m3\quad \sum_{n, m \geqslant 1} \frac{\text{ НОД }(n, m)}{n^{3}+m^{3}};

(ж)

∑n,m⩾1HOK⁡(n,m)n4+m4\quad \sum_{n, m \geqslant 1} \frac{\operatorname {HOK}(n, m)}{n^{4}+m^{4}};

(з)

∑n,m⩾11(HOK⁡(n,m))p,p>1\sum_{n, m \geqslant 1} \frac{1}{(\operatorname {HOK}(n, m))^{p}}, p>1 ?

Здесь HOK⁡(n,m)\operatorname {HOK}(n, m) - наименьшее общее кратное чисел nn и mm; НОД (n,m)(n, m) - наибольший общий делитель чисел nn и m;ε(n,m)=1m ; \varepsilon (n, m)=1, если числа nn и mm взаимно просты, ε(n,m)=0\varepsilon (n, m)=0 в противном случае.

Задача IV.1.10

Проверьте, что сумма ряда

1+12+12−1+14+14−12+14+14−12++18+18−14+18+18−14+18+18−14+18+18−14+… \begin{aligned} & 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-1+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{2}+ \\ & +\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}-\frac{1}{4}+\ldots \end{aligned}

(группа членов 12n+1+12n+1−12n\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}-\frac{1}{2^{n}} повторяется 2n2^{n} раз) равна 1. Укажите перестановку, после которой сумма ряда станет равной -1 .

?