Различные утверждения о рядах

Существует ли такая последовательность $\left\{ a_{n}\right\} , a_{n} \neq 0$, что ряды $\sum a_{n}$ и $\sum \frac{1}{n^{2} a_{n}}$ сходятся? Можно ли подобрать положительную последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ ?

Пусть $f \in C^{1}([1,+\infty ))$ и $\int_{1}^{\infty }\left|f^{\prime }(x)\right| d x<+\infty$. Докажите, что сходимость ряда $\sum f(n)$ равносильна сходимости интеграла $\int_{1}^{\infty } f(x) d x$.

Пусть $a_{n}>0$ и $\sum a_{n}<+\infty$. Докажите, что

Пусть $0<a_{n}<1$. Докажите, что из сходимости ряда $\sum \frac{a_{n}}{\ln a_{n}}$ следует сходимость ряда $\sum \frac{a_{n}}{\ln (1+n)}$. Верно ли обратное утверждение, если $a_{n} \downarrow 0$ ? Можно ли отказаться от монотонности?

Пусть $a_{n} \geqslant 0$ и $\sum \frac{a_{n}}{n}<+\infty$. Докажите, что существует такая последовательность номеров $\left\{ n_{k}\right\}$ плотности 1 (см. задачу II.2.14), что $a_{n_{k}} \rightarrow 0$.

Докажите эквивалентность двух утверждсний:

1. $\sum \left|a_{n}\right|<+\infty$;

2. для любой последовательности номеров $\left\{ n_{k}\right\}$ плотности 0 (см. задачу II.2.14) ряд $\sum a_{n_{k}}$ сходится.

Пусть ряд $\sum a_{n}$ абсолютно сходится и $\sum a_{k n}=0$ для любого $k \in \mathbb {N}$. Докажите, что $a_{n}=0$ для любого $n$. Верно ли это утверждение для рядов, сходящихся не абсолютно?

Докажите, что если ряд $\sum a_{n} x_{n}$ сходится для любой последовательности $\left\{ x_{n}\right\}$, стремящейся к нулю, то $\sum \left|a_{n}\right|<+\infty$.

Докажите, что следующие два свойства последовательности $\left\{ c_{n}\right\}$ эквивалентны:

1. $\sum \left|c_{n}-c_{n+1}\right|<+\infty$;

2. если ряд $\sum a_{n}$ сходится, то и ряд $\sum c_{n} a_{n}$ сходится.

Пусть функция $\varphi$ монотонна и ограничена на промежутке $[0,+\infty )$. Докажите, что для любого сходящегося ряда $\sum a_{n}$

Постройте положительную последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ со свойствами:

1. $a_{n} \rightarrow 0$;

2. $\sum a_{n}=+\infty$;

3. если $a_{n_{k}} \downarrow 0$, где $\left\{ n_{k}\right\}$- строго возрастающая последовательность номеров, то $\sum a_{n_{k}} \leqslant 2$.

Постройте положительную последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ со свойствами:

1. $a_{n} \rightarrow 0$;

2. $\sum a_{n}=+\infty$;

3. если строго возрастающая последовательность номеров $\left\{ n_{k}\right\}$ такова, что $\sup \left\{ a_{n_{k}} / a_{n_{j}} \mid k, j \in \mathbb {N}, k \geqslant j\right\} <+\infty$, то ряд $\sum a_{n_{k}}$ сходится.

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ - последовательность положительных чисел. Положим $A_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}, \alpha_{n}=\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{a_{n+1}}+\ldots$ Докажите, что следующие шесть утверждений эквивалентны:

1. $A_{n}=O\left(a_{n}\right)$;

2. $\alpha_{n}=O\left(\frac{1}{a_{n}}\right)$;

3. $\frac{A_{n}}{A_{n+1}} \leqslant q_{1}<1$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

4. $\alpha_{1}<+\infty$ и $\frac{\alpha_{n+1}}{\alpha_{n}} \leqslant q_{2}<1$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

5. $a_{1}^{p}+\ldots +a_{n}^{p}=O\left(a_{n}^{p}\right)$, если $p>0$;

6. $\frac{1}{a_{n}^{p}}+\frac{1}{a_{n+1}^{p}}+\ldots =O\left(\frac{1}{a_{n}^{p}}\right)$, если $p>0$.

Из утверждений а)-е) следует утверждение ж) для любого $Q>1$ существует такой номер $L=L_{Q}$, что $a_{n+L} \geqslant Q a_{n}$ для всех $n \in \mathbb {N}$, т.е. последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ распадается на $L$ подпоследовательностей $\left\{ a_{n}^{(l)}\right\} =\left\{ a_{n L+l}\right\}_{n \geqslant 1}(l=0,1, \ldots , L-1)$, каждая из которых растёт не медленнее геометрической прогрессии: $a_{n+1}^{(l)} \geqslant Q a_{n}^{(l)}$. Докажите, что если последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ монотонна, то ж) ⇒ а). Верно ли это утверждение для немонотонных последовательностей?

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ - последовательность положительных чисел. Положим $A_{n}=a_{1}+\ldots +a_{n}, \alpha_{n}=\frac{1}{a_{n}}+\frac{1}{a_{n+1}}+\ldots$ Докажите, что следующие семь утверждений эквивалентны:

Пусть $p>1, a_{n} \geqslant 0$ и $A_{n}=\frac{1}{n}\left(a_{1}+\ldots +a_{n}\right)(n \in \mathbb {N})$. Докажите, что

Пусть $a_{n}>0$ для всех $n \in \mathbb {N}$ и ряд $\sum a_{n}$ сходится. Докажите, что ряд $\sum \sqrt[n]{a_{1} a_{2} \ldots a_{n}}$ сходится (заметим, что ряд $\sum \frac{1}{n}\left(a_{1}+\ldots +a_{n}\right)$, очевидно, расходится).

Пусть функция $f$ определена на $\mathbb {R}$. Докажите, что следующие свойства функции $f$ эквивалентны:

1. $f(x)=O(x)$ при $x \rightarrow 0$;

2. для любого абсолютно сходящегося ряда $\sum a_{n}$ ряд $\sum f\left(a_{n}\right)$ абсолютно сходится;

3. для любого абсолютно сходящегося ряда $\sum a_{n}$ ряд $\sum f\left(a_{n}\right)$ сходится.

Пусть функция $f$ определена на $\mathbb {R}$. Докажите, что если для любого сходящегося ряда $\sum a_{n}$ ряд $\sum f\left(a_{n}\right)$ сходится, то $f(x)=C x$ в некоторой окрестности нуля.

Пусть счётное множество $Q$ содержится в интервале $(0,1)$, $\inf Q=0, \sup Q=1$. Докажите, что для любого числа $x \in (0,1)$ можно так занумеровать множество $Q=\left\{ q_{1}, q_{2}, \ldots \right\}$, что $x=\sum \frac{q_{n}}{2^{n}}$.