Банк задач по математике

Задача IV.6.1

(а)(б)

Пусть $\left\{ A_{n}\right\} ,\left\{ \varphi_{n}\right\}$ - числовые последовательности, $A_{n} \rightarrow +\infty$ . Докажите, что

?

(а)

в любом непустом интервале найдётся такая точка $x_{0}$ , что $\varlimsup_{n \rightarrow +\infty } \cos \left(A_{n} x_{0}+\varphi_{n}\right)=1$ ;

(б)

в канторовом множестве $C$ найдётся такая точка $x_{0}$ , что $\cos \left(A_{n} x_{0}+\varphi_{n}\right) \nrightarrow 0$ .

Задача IV.6.2

Пусть $\alpha <\beta$ . Докажите, что $a_{n}, b_{n} \rightarrow 0$ , если

\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right) \rightarrow 0 \text{ для любого } x \in [\alpha , \beta ] .

?

Задача IV.6.3

Укажите такое множество $E \subset [0,2 \pi ]$ мощности континуума и такую последовательность $B_{n} \rightarrow +\infty$ , что $\sin B_{n} x \rightrightarrows 0$ на множестве $E$ .

?

Задача IV.6.4

Пусть $\alpha <\beta$ . Докажите, что $\sum \left(\left|a_{n}\right|+\left|b_{n}\right|\right)<+\infty$ , если $\sum \left|a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right| \leqslant$ const на $\left[\alpha , \beta \right]$ .

?

Задача IV.6.5

(а)(б)

?

(а)

Укажите иррациональную точку, в которой ряд $\sum \sin \left(2^{n^{2}} \pi x\right)$ сходится.

(б)

Докажите, что ряд $\sum a_{n} \sin \left(2^{n} \pi x\right)$ , где $a_{n} \rightarrow 0$ , абсолютно сходится хотя бы в одной иррациональной точке.

Задача IV.6.6

(а)(б)(в)

Рассмотрим ряд $\sum \sin (n!\pi x)$ .

?

(а)

Докажите, что он сходится в точках $x=\sin 1, x=\cos 1, x=\frac{2}{e}$ и их кратных, а в точках $m e(m \in \mathbb {N})$ сходится лишь при нечётном $m$ . Будет ли сходимость абсолютной?

(б)

Докажите, что этот ряд расходится в точках $x=\operatorname {sh} 1$ и (вопреки утверждению Римана, см. с. 260 и 505 в [Pи]) $x=\frac{1}{2} \operatorname {sh} 1$ .

(в)

Укажите множество мощности континуума, во всех точках которого этот ряд абсолютно сходится.

Задача IV.6.7

Докажите, что ряды

\sum \frac{1}{\sqrt{n}} e^{\pi i n(x-\ln \left[\sqrt{n}\right])} \quad \text{ и } \quad \sum \frac{1}{\sqrt{n}} e^{\pi i n(x+c \ln n)}

расходятся для любых $x, c \in \mathbb {R}, c \neq 0$ .

?

Задача IV.6.8

(а)(б)

Докажите, что при $x \in (0, \pi )$

?

(а)

$\sum_{1 \leqslant n \leqslant N} \frac{1}{n} \sin n x>0$ ;

(б)

$1+\sum_{1 \leqslant n \leqslant N} \frac{1}{n} \cos n x>0$ .

Задача IV.6.9

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}_{1}^{N}$ и $\left\{ b_{n}\right\}_{1}^{N}$ такие конечные последовательности вещественных чисел, что суммы

A(x)=\sum _{1 \leqslant n \leqslant N} a_{n} \sin n x \quad \text{ и } \quad B(x)=\sum _{1 \leqslant n \leqslant N} b_{n} \sin n x

неотрицательны на $\left[0, \pi \right]$ . Докажите, что

C(x)=\sum _{1 \leqslant n \leqslant N} \frac{a_{n} b_{n}}{n} \sin n x \geqslant 0 \quad \text{ для любого } \quad x \in [0, \pi ] .

?

Задача IV.6.10

Докажите, что при $x \in (0, \pi )$

\begin{gathered} S_{n}(x)=\sin x+\sin 2 x+\ldots +\sin n x=O\left(\min \left(n, \frac{1}{x}\right)\right) \\ C_{n}(x)=\cos x+\cos 2 x+\ldots +\cos n x=O\left(\min \left(n, \frac{1}{x}\right)\right) \end{gathered}

?

Задача IV.6.11

Вычислите пределы

\lim _{A \rightarrow +\infty } \frac{1}{\ln A} \int _{0}^{\pi / 2} \frac{\left|\sin A x\right|}{\sin x} d x \quad \text{ и } \quad \lim _{A \rightarrow +\infty } \frac{1}{\ln A} \int _{0}^{\pi / 2} \frac{\sin ^{2} A x}{\sin x} d x .

Какова асимптотика интегралов

L_{n}=\int _{-\pi }^{\pi }\left|C_{n}(x)\right| d x \text{ и } \quad \tilde{L}_{n}=\int _{-\pi }^{\pi }\left|S_{n}(x)\right| d x

(определения $C_{n}(x)$ и $S_{n}(x)$ см. в задаче 6.10)?

В задачах 6.12-6.19 последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ убывает к нулю. При решении этих задач может оказаться полезным преобразование Абеля.

?

Задача IV.6.12

Докажите, что ряды $\sum a_{n} \cos n x$ и $\sum a_{n} \sin n x$ сходятся равномерно на любом замкнутом промежутке, не содержащем точек $2 \pi k(k \in \mathbb {Z})$ .

?

Задача IV.6.13

Докажите, что для любого $m \in \mathbb {N}$ ряды

\sum a_{n} \cos n x \sin m x \quad \text{ и } \quad \sum a_{n} \sin n x \sin m x

равномерно сходятся на $\mathbb {R}$ .

?

Задача IV.6.14

Докажите, что при $x \in (0, \pi )$

\sum _{n \geqslant N} a_{n} \cos n x=O\left(\frac{a_{N}}{x}\right) ; \quad \sum _{n \geqslant N} a_{n} \sin n x=O\left(\frac{a_{N}}{x}\right) .

?

Задача IV.6.15

(а)(б)

Рассмотрим ряд $\sum a_{n} \sin n x$ . Докажите, что

?

(а)

равномерная ограниченность частичных сумм ряда равносильна соотношению $a_{n}=O\left(\frac{1}{n}\right)$ ;

(б)

равномерная сходимость ряда равносильна соотношению $a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)$ .

Задача IV.6.16

(а)(б)(в)(г)

Пусть $g(x)=\sum a_{n} \sin n x$ . Докажите, что

?

(а)

$g(x) \geqslant -\frac{a_{1}}{2 \pi } x$ при $x \in (0, \pi )$ ;

(б)

непрерывность функции $g$ в нуле равносильна соотношению $a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)$ ; в частности, из непрерывности $g$ в нуле следует её непрерывность всюду;

(в)

$\frac{g(x)}{x} \rightarrow \sum n a_{n}$ при $x \rightarrow 0$ ; в частности, из дифференцируемости функции $g$ в нуле следует её дифференцируемость всюду;

(г)

если последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ выпукла, то $g(x) \geqslant 0$ на $\left[0, \pi \right]$ .

Задача IV.6.17

Докажите, что $\sum \frac{a_{n}}{n} \sin n x \geqslant 0$ на $\left[0, \pi \right]$ .

?

Задача IV.6.18

(а)(б)(в)

Пусть $I_{p}=\int_{0}^{\pi }\left|g(x)\right| \frac{d x}{x^{p}}$ , где $g(x)=\sum a_{n} \sin n x$ и $p \in \mathbb {R}$ . Докажите, что

?

(а)

при $p<0$ интеграл $I_{p}$ сходится;

(б)

при $p \geqslant 2$ он сходится лишь в случае $g(x) \equiv 0$ ;

(в)

при $p \in [0,2)$ его сходимость равносильна сходимости ряда $\sum n^{p-1} a_{n}$ . В частности,

\int _{0}^{\pi }\left|g(x)\right| d x<\infty \Longleftrightarrow \sum \frac{1}{n} a_{n}<\infty .

Задача IV.6.19

(а)(б)

Пусть $f(x)=\sum a_{n} \cos n x$ и $\sum \frac{a_{n}}{n}<\infty$ . Докажите, что

?

(а)

$\int_{0}^{\pi }\left|f(x)\right| d x<+\infty$ ;

(б)

$\int_{0}^{t} f(x) d x \geqslant 0$ при $t \in [0, \pi ]$ .

Задача IV.6.20

Пусть $f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum a_{n} \cos n x$ . Докажите, что если последовательность $\left\{ a_{n}\right\}_{n \geqslant 0}$ выпукла и $a_{n} \rightarrow 0$ , то $f \geqslant 0$ на $\mathbb {R}$ и $\int_{0}^{\pi } f(x) d x<+\infty$ .

?

Задача IV.6.21

Пусть $\alpha \in (0,1)$ . Докажите, что при $x \rightarrow +0$

\sum \frac{\cos n x}{n^{\alpha }}=\frac{A}{x^{1-\alpha }}+O(1) \quad \text{ и } \quad \sum \frac{\sin n x}{n^{\alpha }}=\frac{B}{x^{1-\alpha }}+O(1)

где $A, B$ - положительные числа, зависящие от $\alpha$ .

?

Задача IV.6.22

Докажите, что существует такое число $\alpha_{0} \in (0,1)$ , что для любого $\alpha \geqslant \alpha_{0}$ частичные суммы ряда $\sum \frac{\cos n x}{n^{\alpha }}$ равномерно ограничены снизу, а для любого $\alpha \in \left(0, \alpha_{0}\right)$ это неверно.

Что можно сказать об ограниченности снизу частичных сумм ряда $\sum n^{-\alpha } \sin n x$ при $x \in [0, \pi ]$ ?

?

Задача IV.6.23

(а)(б)(в)

?

(а)

Пусть $x_{1}, \ldots , x_{N} \in \mathbb {R}$ . Докажите, что для всех $M<N$ справедливо неравенство Ван дер Корпута

\left|e^{i x_{1}}+\ldots +e^{i x_{N}}\right|^{2} \leqslant \frac{N+M}{1+M}\left(N+2 \sum _{r=1}^{M}\left|\sum _{n=1}^{N-r} e^{i\left(x_{n+r}-x_{n}\right)}\right|\right) .

(б)

Пусть $P$ - вещественный многочлен, $P(0)=0$ , у которого хотя бы один коэффициент иррационален. Докажите, что в этом случае сумма Вейля

W_{N}(P)=\sum _{n=1}^{N} e^{2 \pi i P(n)}

есть $o(N)$ .

(в)

Пусть $P$ - вещественный многочлен, у которого старший коэффициент - иррациональное нелиувиллево число (см. I.3.13). Докажите, что

\left|W_{N}(P)\right| \leqslant C N^{1-\theta },

где $C, \theta$ - положительные числа, зависящие только от старшего коэффициента $P$ .

Задача IV.6.24

(а)(б)

?

(а)

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{n \in \mathbb {Z}}$ - двусторонняя вещественная последовательность и

t_{N}=\sum _{1 \leqslant \left|n\right| \leqslant N} \frac{1}{n} e^{i x_{n}} .

Докажите, что

\left|t_{N}\right|^{2}<20+2 \sum _{\substack {\left|k\right|+\left|j\right| \leqslant N \\ k, j \neq 0}} \frac{\cos \left(x_{k+j}-x_{k}\right)}{k j} .

(б)

Пусть $P$ - вещественный многочлен степени $m$ и

T_{N}(P)=\sum _{1 \leqslant \left|n\right| \leqslant N} \frac{1}{n} e^{i P(n)} .

Докажите, что $\left|T_{N}(P)\right|<8 \ln^{1-\varepsilon_{m}}(N+1)$ , где $\varepsilon_{m}=\frac{1}{2^{m-1}}$ .

Тригонометрические ряды