Функциональные ряды

При каких $p, q>0$ и $x, y \in \mathbb {R}$ сходится ряд

Пусть $\lambda_{n} \rightarrow 0$. Сходится ли ряд $\sum \lambda_{n} e^{-\left|x-n\right|}$ равномерно на $\mathbb {R}$ ? Оцените $\sup_{x}\left|\sum \lambda_{n} e^{-\left|x-n\right|}\right|$ при условии, что $\left|\lambda_{n}\right| \leqslant 1$ при любом $n \in \mathbb {N}$.

Сходится ли ряд

равномерно на $[0,+\infty )$ ? Оцените $\sup_{x \geqslant 0} S(x)$.

Сходится ли ряд $\sum \min \left(x n!, \frac{1}{x n!}\right)$ равномерно на $(0,+\infty )$ ? Дайте равномерную оценку его суммы при $x>0$.

При каких $p>0$ ряд $\sum \frac{1}{n^{p}} \min \left(n^{p} x^{n}, \frac{1}{n^{p} x^{n}}\right)$ равномерно сходится на ($0,+\infty$)?

Пусть $a_{n}>0$ при $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что ряд $\sum \frac{x^{n}}{\left(1+x^{n a_{n}}\right)^{n}}$

Пусть $a_{n} \in \mathbb {R}, b_{n}>0, a_{n}=O\left(b_{n}\right), \sum b_{n}=+\infty$ и пусть ряд $B(t)=\sum_{n \geqslant 0} b_{n} t^{n}$ сходится при $\left|t\right|<1$. Докажите, что ряд $A(t)=\sum_{n \geqslant 0} a_{n} t^{n}$ сходится при $\left|t\right|<1$ и

(сравните с задачей II.2.2). В частности, если $a_{n} \sim c b_{n}, c \neq 0$, то $A(t) \sim c B(t)$ при $t \rightarrow 1-0$; если $a_{n}=o\left(b_{n}\right)$, то $A(t)=o(B(t))$ при $t \rightarrow 1-0$.

Докажите, что если ряд $\sum_{n \geqslant 0} a_{n}$ сходится, то

(теорема Абеля).

Если частичные суммы $S_{n}$ ряда $\sum_{n \geqslant 0} a_{n}$ таковы, что существует конечный предел $\lim \frac{1}{n}\left(S_{1}+\ldots +S_{n}\right)=l$, то ряд $A(t)=\sum_{n \geqslant 0} a_{n} t^{n}$ сходится при $\left|t\right|<1$ и $A(t) \underset {t \rightarrow 1-0}{\longrightarrow } l$ (теорема Фробениуса).

Таким образом, метод Абеля суммирования рядов (вычисление предела $\lim_{t \rightarrow 1-0} \sum_{n \geqslant 0} a_{n} t^{n}$) сильнее метода средних арифметических (метод Чезаро).

Пусть $b_{n} \geqslant 0, \sum b_{n}=+\infty$ и ряд $B(t)=\sum_{n \geqslant 0} b_{n} t^{n}$ сходится при $\left|t\right|<1$. Если последовательность $\left\{ a_{n}\right\}_{n \geqslant 0}$ такова, что существует конечный предел

то ряд $A(t)=\sum_{n \geqslant 0} a_{n} t^{n}$ сходится при $\left|t\right|<1$ и $\frac{A(t)}{B(t)} \xrightarrow [t \rightarrow 1-0]{ } l$.

Пусть последовательность $\left\{ a_{n}\right\}$ такова, что $a_{n}>-1$ при $n \in \mathbb {N}$ и $\Pi \left(1+a_{n}\right)=A \in (0,+\infty )$. Докажите, что при $\left|t\right|<1$ сходится произведение $A(t)=\prod \left(1+a_{n} t^{n}\right)$ и, если $\sum a_{n}^{2}<+\infty$, то $A(t) \rightarrow A$ при $t \rightarrow 1-0$.

Можно ли отказаться от условия $\sum a_{n}^{2}<+\infty$ ?

Пусть $a_{n} \in \mathbb {R}$ при $n \in \mathbb {N}$ и произведение $P(t)=\prod \left(1+t a_{n}\right)$ сходится хотя бы для двух ненулевых вещественных значений $t$. Докажите, что ряды $\sum a_{n}$ и $\sum a_{n}^{2}$ сходятся.

Пусть $\left\{ v_{k}\right\}$ - строго возрастающая последовательность положительных чисел, $\left\{ c_{k}\right\}_{k \geqslant 0} \subset \mathbb {R}$. Рассмотрим обобщённый степенной ряд $c_{0}+c_{1} t^{\nu_{1}}+c_{2} t^{\nu_{2}}+\ldots$ при $t \geqslant 0$. Докажите, что

Пусть $f(x)=\sum a_{n}\left|\sin n x\right|$, где $a_{n} \geqslant 0$ и $\sum a_{n}<+\infty$. Докажите, что $f \in \operatorname {Lip}_{1}$ тогда и только тогда, когда $\sum n a_{n}<+\infty$.

Пусть $\alpha , x \in \mathbb {R}$. Докажите, что

Пусть ряд $\sum a_{n}$ сходится и $\sum a_{n} \cos \frac{x}{n} \rightarrow L \in \mathbb {R}$ при $x \rightarrow +\infty$. Докажите, что $a_{n}=0$ для всех $n \in \mathbb {N}$.

Сходятся ли ряды $\sum \frac{1}{n} \sin \frac{x}{n}$ и $\sum \frac{1}{n} \sin \frac{x}{n^{2000}}$ равномерно на $[0,+\infty )$ ?

Пусть $c_{n} \geqslant 0$ для всех $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что равномерная сходимость ряда $\sum c_{n} \sin \frac{2 \pi x}{4^{n}}$ на $[0,+\infty )$ влечёт сходимость ряда $\sum c_{n}$.

Пусть $f(x)=\sum \frac{1}{n} \sin \frac{x}{4^{n}}$. Докажите, что

Существует ли равномерно сходящийся на $\mathbb {R}$ ряд вида $\sum c_{n} \sin \frac{x}{m_{n}}$, где $c_{n}>0$ и $\sum c_{n}=+\infty$, а $\left\{ m_{n}\right\}$ - возрастающая последовательность натуральных чисел?

Пусть $-\infty \leqslant a<b \leqslant +\infty$ и пусть $F, f_{n}, g_{n} \in C((a, b))$, $f_{n} \geqslant 0, g_{n} \geqslant 0(n \in \mathbb {N})$. Докажите, что если $\sum g_{n} \leqslant F \leqslant \sum f_{n}$, то

В частности, если $F=\sum f_{n}$, то $\int_{a}^{b} F(x) d x=\sum \int_{a}^{b} f_{n}(x) d x$.