Функции

Опишите множества функций $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, обладающих одним из следующих свойств $\left(\varepsilon , \delta , x_{1}, x_{2} \in \mathbb {R}\right)$ :

Пусть функция $f$ определена на $\mathbb {R}$. Докажите эквивалентность свойств а)-д) функции $f$ :

1. функция $f$ непрерывна на $\mathbb {R}$;

2. множество $f^{-1}(G)=\left\{ x \in \mathbb {R} \mid f(x) \in G\right\}$ открыто для любого открытого множества $G \subset \mathbb {R}$;

3. множество $f^{-1}(F)=\left\{ x \in \mathbb {R} \mid f(x) \in F\right\}$ замкнуто для любого замкнутого множества $F \subset \mathbb {R}$;

4. для любого $c \in \mathbb {R}$ множества $f^{-1}((-\infty , c))$ и $f^{-1}((c,+\infty ))$ открыты;

5. для любого $c \in \mathbb {R}$ множества $f^{-1}((-\infty , c])$ и $f^{-1}([c,+\infty ))$ замкнуты.

6. Достаточно ли условие «для любого $c \in \mathbb {R}$ множество $f^{-1}(\left\{ c\right\} )$ замкнуто» для непрерывности функции $f$?

Докажите, что любая функция, определённая на множестве $E \subset \mathbb {R}$, имеет не более чем счётное множество точек разрыва первого рода.

Пусть $E_{л}, E_{П}$ - счётные множества, содержащиеся в $\left[0,1\right]$, $E_{л} \cap E_{\Pi }=\varnothing$. Определите на $\left[0,1\right]$ функцию, которая в точках $E_{л}$ непрерывна только слева, в точках $E_{П}$ - только справа и непрерывна в остальных точках отрезка $\left[0,1\right]$.

Пусть $D_{Л}(f)\left(D_{П}(f)\right)$ - множество точек, в которых определённая на $\mathbb {R}$ функция разрывна слева (соответственно, справа). Верно ли, что если одно из этих множеств не более чем счётно, то и другое таюже не более чем счётно?

Пусть $f_{0}$ - функция Дирихле:

Докажите, что множество точек разрыва произвольной функции, определённой на промежутке $\Delta \subset \mathbb {R}$, есть множество типа $F_{\sigma }$ (т. е. объединение последовательности замкнутых множеств). Верно ли это, если функция определена на произвольном метрическом пространстве?

Определите на $\mathbb {R}$ функцию с заданным множеством точек разрыва $E$, если:

Определите на интервале $(0,1)$ такую функцию, что любой непустой интервал $\Delta \subset (0,1)$ содержит континуум её точек непрерывности и точек разрыва.

Докажите, что функция $f$, определённая на промежутке $\langle a, b\rangle$, непрерывна тогда и только тогда, когда

1. функция обладает свойством Коши (т. е. образ каждого промежутка $\langle p, q\rangle$, содержащегося в $\langle a, b\rangle$, является промежутком) и

2. множество $f^{-1}(\left\{ y\right\} )$ замкнуто для любого $y \in \mathbb {R}$.

Докажите, что определённая на отрезке $\left[a, b\right]$ функция непрерывна тогда и только тогда, когда её график связен и замкнут.

Пусть $E \subset \mathbb {R}$, функция $f$ определена на $E$ и имеет в каждой неизолированной точке множества $E$ локальный экстремум. Докажите, что тогда множество $f(E)$ не более чем счётно. Верно ли это, если $E$ - сепарабельное метрическое пространство? произвольное метрическое пространство?

Опишите все непрерывные на отрезке $\left[a, b\right]$ функции, имеющие в каждой точке интервала $(a, b)$ локальный экстремум.

Пусть функция $f$ определена и взаимно однозначна на промежутке ($a, b$) и непрерывна в точке $c \in (a, b)$.

Пусть $f \in C(\langle a, b\rangle )$. Докажите, что функция $f$ взаимно однозначна тогда и только тогда, когда она строго монотонна.

Пусть положительная функция $f$ определена и дифференцируема на промежутке $[a,+\infty )$. Докажите, что если $\inf_{x \geqslant a} \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}>0$, то для любого $\varepsilon >0$

Докажите, что если $f \in C([0,+\infty ))$ и для любого $x>0$ существует предел $\lim_{n \rightarrow \infty } f(n x)$, то существует предел $\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x)$.

Определите на промежутке $[0,+\infty )$ функцию $f$, удовлетворяющую условиям:

1. $\lim_{n \rightarrow \infty } f(n x)=0$ для любого $x \in [0,+\infty )$;

2. $f$ ограничена на любом конечном промежутке и имеет разрывы только первого рода;

3. множество частичных пределов функции $f$ на бесконечности заполняет $\mathbb {R}$ (сравните с задачей 1.17).

Определите на промежутке $[0,+\infty )$ функцию $f$, удовлетворяющую условиям:

1. $\lim_{n \rightarrow \infty } f(n x)=0$ для любого $x \in [0,+\infty )$;

2. множество значений $f$ на любом непустом интервале $\Delta \subset [0,+\infty )$ заполняет $\mathbb {R}$ (сравните с задачей 1.17).

Докажите, что если $f \in C([0,+\infty ))$ и $f(x+h)-f(x) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow +\infty$ для любого $h \in \mathbb {R}$, то $f(x+h)-f(x) \rightrightarrows 0$ при $x \rightarrow +\infty$ ша любом конечном промежутке и, следовательно, функция $f$ равномерно непрерывна на $[0,+\infty )$.

Пусть $\delta >0, f \in C(\left[0,1\right])$. Будем говорить, что график $f$ имеет горизонтальную хорду длины $\delta$, если найдётся такая точка $x \in [0,1-\delta ]$, что $f(x)=f(x+\delta )$. Докажите, что если $f(0)=f(1)$, то для любого $n \in \mathbb {N}$ найдётся горизонтальная хорда длины $\frac{1}{n}$. Покажите, что для хорд другой длины это, вообще говоря, неверно.

Докажите, что если $f \in C(\mathbb {R})$ и для любого $x \in \mathbb {R}$

то $f$ - линейная функция.

Будем говорить, что функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна по Чезаро в точке $x_{0} \in \mathbb {R}$, если

Опишите все функции, непрерывные по Чезаро хотя бы в одной точке.

Пусть $f(x)=\prod_{k \geqslant 0}\left(1+x^{4^{k}}\right)$ при $0 \leqslant x<1$. Докажите, что

Существует ли непрерывная на промежутке $\left[0,1\right]$ функция, у которой все множества постоянства счётны (равномощны $\mathbb {N}$)?

Всякий ли положительный многочлен от двух вещественных переменных достигает своей нижней грани на плоскости?

Пусть функция $f$ определена и раздельно непрерывна на квадрате $Q=\left[0,1\right]^{2}$. Докажите, что найдётся такая последовательность $f_{n}$ функций, непрерывных на $Q$, что $f_{n}(x, y) \rightarrow f(x, y)$ при любых $x, y \in [0,1]$ (т.е. $f$ - функция первого класса Бэра на $Q$).

Пусть функция $f$ определена и раздельно непрерывна на $\mathbb {R}^{2}$. Докажите, что если $f$ обращается в нуль на всюду плотном множестве (т.е. множестве, замыкание которого совпадает с $\mathbb {R}^{2}$), то $f \equiv 0$.

Пусть функция $f$ определена на $\mathbb {R}$. Докажите, что следующие свойства функции $f$ эквивалентны (сравните с задачей 1.2):

1. функция $f$ полунепрерывна снизу;

2. множество $f^{-1}((c,+\infty ))$ открыто для любого $c \in \mathbb {R}$;

3. множество $f^{-1}((-\infty , c])$ замкнуто для любого $c \in \mathbb {R}$;

4. если $x_{n} \rightarrow a$, то $f(a) \leqslant \sup f\left(x_{n}\right)$;

5. для любой точки $a \in \mathbb {R}$ и любого числа $\varepsilon >0$ найдётся такая окрестность $V$ точки $a$, что $f(x) \geqslant f(a)-\varepsilon$ при $x \in V$.

Докажите, что

Докажите, что если функция полунепрерывна снизу на отрезке $\left[a, b\right]$ и принимает лишь конечные значения, то она достигает наименьшего значения на $\left[a, b\right]$ (и, следовательно, ограничена снизу). Верно ли, что она ограничена сверху?

Пусть $g$ - произвольная функция, определённая на промежутке $\Delta \subset \mathbb {R}, f(x)=\varliminf_{y \rightarrow x} g(y)(x \in \Delta )$. Докажите, что функция $f$ полунепрерывна снизу.

Пусть $\left\{ f_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ - семейство полунепрерывных снизу функций, определённых на промежутке $\Delta \subset \mathbb {R}, f(x)=\sup_{\alpha \in A} f_{\alpha }(x)$ и $f(x)<+\infty$ для любого $x \in \Delta$. Докажите, что функция $f$ полунепрерывна снизу. Верно ли это для функции $h=\inf_{\alpha \in A} f_{\alpha }$ ? Будет ли функция $h$ полунепрерывна снизу, если семейство $\left\{ f_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ конечно? счётно?

Докажите, что функция $f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb {R}$ полунепрерывна снизу, ссли и только если

Пусть

Докажите, что функция $f \in C(\mathbb {R})$ является полиномом степени не выше $m$ тогда и только тогда, когда $\Delta_{h}^{m+1} f(x)=0$ при любых $x, h \in \mathbb {R}$.

Пусть $f \in C^{1}([0,+\infty ))$. Докажите, что $f^{\prime }(x)+f(x) \rightarrow L \in \mathbb {R}$ при $x \rightarrow +\infty$ тогда и только тогда, когда $f(x) \underset {x \rightarrow +\infty }{\longrightarrow } L$ и $f^{\prime }$ равномерно непрерывна на $(0,+\infty )$.

Пусть функция $f$ дифференцируема на отрезке $\left[a, b\right]$. Докажите, что если $f^{\prime }(a) f^{\prime }(b)<0$, то существует такая точка $c \in (a, b)$, что $f^{\prime }(c)=0$ (теорема Дарбу).

Пусть функция $f$ дифференцируема на отрезке $\left[a, b\right]$. Докажите, что если множество $\left\{ x \in [a, b] \mid f^{\prime }(x)=y\right\}$ замкнуто при любом $y \in \mathbb {R}$, то $f \in C^{1}(\left[a, b\right])$.

Пусть функция $f$ определена на интервале $(a, b)$. Докажите, что $f \in C^{1}((a, b))$ тогда и только тогда, когда отношение $\frac{1}{h}(f(x+h)-f(x))$ стремится при $h \rightarrow 0$ к конечному пределу равномерно на каждом промежутке $\left[\alpha , \beta \right]$ из ($a, b$).

Пусть $f \in C((a, b))$ и для любого $x \in (a, b)$ существует конечный предел $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2 h}=g(x)$. Докажите, что

Пусть $f \in C((a, b))$ и для любого $x \in (a, b)$ существует конечный предел $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)+f(x-h)-2 f(x)}{h^{2}}=g(x)$. Докажите, что

Пусть функция $f$ дифференцируема на ($a, b$) и удовлетворяет условию: для любой точки $x \in (a, b)$ существует такое число $\delta_{x}>0$, что $f(x+h)-f(x-h)=2 h f^{\prime }(x)$ при $0<h<\delta_{x}$. Докажите, что функция $f$ есть многочлен не выше второй степени.

Пусть $F \subset \mathbb {R}$ - замкнутое множество без внутренних точек. Докажите, что существует такая строго возрастающая функция $f \in C^{1}(\mathbb {R})$, что $\left\{ x \in \mathbb {R} \mid f^{\prime }(x)=0\right\} =F$.

Пусть $f \in C(\left[0,1\right])$. Эквивалентны ли утверждения:

1. функция $f$ постоянна на $\left[0,1\right]$;

2. $\forall x \in (0,1) \exists \left\{ x_{n}\right\} : x_{n} \rightarrow x, x_{n}>x, \frac{f\left(x_{n}\right)-f(x)}{x_{n}-x} \rightarrow 0$;

3. $\forall x \in (0,1) \exists \left\{ x_{n}\right\} : x_{n} \rightarrow x, x_{n} \neq x, \frac{f\left(x_{n}\right)-f(x)}{x_{n}-x} \rightarrow 0$.

Может ли производная всюду дифференцируемой и не постоянной на интервале функции обратиться в нуль

Пусть $f \in V(\left[a, b\right]), \quad g(x)= =\stackrel{\boldsymbol {x}}{\underset {a}{\mathbf{V}}}(f) \quad (x \in (a, b]), g(a)=0$. Докажите, что если функция $f$ непрерывна в точке $c \in [a, b]$, то и функция $g$ непрерывна в этой точке.

Пусть $f \in C^{1}(\left[a, b\right])$. Докажите, что

Рис. 6

Докажите, что

Найдите длину графика канторовой функции.

При каких $\alpha >0$ канторова функция входит в класс $\operatorname {Lip}_{\alpha }(\left[0,1\right]) ?$

Пусть $K$ - обобщённое канторово множество (см. определение перед задачей I.1.29), $\Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}$ - его сегменты $n$-го ранга. Пусть, далее, $a=\inf K, b=\sup K, \delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}$ - интервалы, удаляемые из сегментов $\Delta_{\varepsilon_{1} \ldots \varepsilon_{n}}$ при построении сегментов $(n+1)$-го ранга.

Определим на $\left[a, b\right]$ функцию $\varphi$ следующим образом:

Функцию $\varphi$ будем называть канторовой функцией, соответствующей множеству $K$. Докажите, что

Пусть $F \subset \mathbb {R}$ - замкнутое множество без изолированных точек. Докажите, что существует такая функция $f \in C(\mathbb {R})$, что

1. $f^{\prime }(x)=0$ при любом $x \in \mathbb {R} \backslash F$;

2. $f(x+h)-f(x-h)>0$ при любом $x \in F$ и любом $h>0$.

Пусть $1<\alpha <2, f(x)=x^{2} \cos \frac{1}{x^{\alpha }}$ при $0<x \leqslant 1, f(0)=0$. Докажите, что $f \in V(\left[0,1\right]), f$ дифференцируема на $\left[0,1\right]$, но функция $g(x)=\underset {0}{\stackrel{x}{\mathrm{~ V}}}(f)$ не дифференцируема в нуле. Существует ли $g^{\prime }(0)$ при $\alpha =1$ ?

Пусть $\alpha , \beta >0, f(x)=x^{\alpha } \cos \frac{1}{x^{\beta }}$ при $0<x \leqslant 1, f(0)=0$. Докажите, что

Пусть $0<\gamma <1$. Постройте функцию $f$ из класса $\operatorname {Lip}_{\gamma }(\left[0,1\right])$, не имеющую ограниченной вариации ни на каком невырожденном промежутке $\Delta \subset [0,1]$.

Укажите такие функции $f, g \in C(\left[0,1\right])$, что

Пусть функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и $2 \pi$-периодична,

Докажите, что $\varphi \in \operatorname {Lip}_{1 / 2}$, точнее, что

Пусть $f(x)=\sum 2^{-n} \cos 4^{n} x$. Докажите, что $f \in \operatorname {Lip}_{1 / 2}$, но $f \notin \operatorname {Lip}_{\alpha }$ при $\alpha >\frac{1}{2}$.

Пусть $f(x)=\sum A^{-n} \sin 3^{n} x$, где $A \in (1,3)$. Докажите, что $f \in \operatorname {Lip}_{\alpha }$, где $\alpha =\log_{3} A$, но $f \notin \operatorname {Lip}_{\beta }$ при $\beta >\alpha$.

Пусть $f(x)=\sum 3^{-n} \sin 3^{n} x$. Докажите, что $f \in \operatorname {Lip}_{\alpha }$ при любом $\alpha \in (0,1)$. Верно ли, что $f \in \operatorname {Lip}_{1}$ ?

Пусть $f(x)=\sum \frac{n!}{2^{n!}} \sin \left(2^{n!} \pi x\right)$. Докажите, что

Пусть $\omega$ - произвольная определённая на полуоси $[0, \infty )$ непрерывная возрастающая функция, удовлетворяющая условиям: $\omega (0)=0, \Omega (t)=\frac{\omega (t)}{t}$ убывает при $t>0$ и $\Omega (t) \underset {t \rightarrow +0}{\longrightarrow }+\infty$.

Докажите, что существует такая непрерывная, нигде не дифференцируемая $2 \pi$-периодическая функция $F$ вида

модуль непрерывности которой есть $O(\omega )$.