Полунепрерывные функции

Пусть функция $f$ определена на $\mathbb {R}$. Докажите, что следующие свойства функции $f$ эквивалентны (сравните с задачей 1.2):

1. функция $f$ полунепрерывна снизу;

2. множество $f^{-1}((c,+\infty ))$ открыто для любого $c \in \mathbb {R}$;

3. множество $f^{-1}((-\infty , c])$ замкнуто для любого $c \in \mathbb {R}$;

4. если $x_{n} \rightarrow a$, то $f(a) \leqslant \sup f\left(x_{n}\right)$;

5. для любой точки $a \in \mathbb {R}$ и любого числа $\varepsilon >0$ найдётся такая окрестность $V$ точки $a$, что $f(x) \geqslant f(a)-\varepsilon$ при $x \in V$.

Докажите, что

Докажите, что если функция полунепрерывна снизу на отрезке $\left[a, b\right]$ и принимает лишь конечные значения, то она достигает наименьшего значения на $\left[a, b\right]$ (и, следовательно, ограничена снизу). Верно ли, что она ограничена сверху?

Пусть $g$ - произвольная функция, определённая на промежутке $\Delta \subset \mathbb {R}, f(x)=\varliminf_{y \rightarrow x} g(y)(x \in \Delta )$. Докажите, что функция $f$ полунепрерывна снизу.

Пусть $\left\{ f_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ - семейство полунепрерывных снизу функций, определённых на промежутке $\Delta \subset \mathbb {R}, f(x)=\sup_{\alpha \in A} f_{\alpha }(x)$ и $f(x)<+\infty$ для любого $x \in \Delta$. Докажите, что функция $f$ полунепрерывна снизу. Верно ли это для функции $h=\inf_{\alpha \in A} f_{\alpha }$ ? Будет ли функция $h$ полунепрерывна снизу, если семейство $\left\{ f_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ конечно? счётно?

Докажите, что функция $f:\left[a, b\right] \rightarrow \mathbb {R}$ полунепрерывна снизу, ссли и только если