Непрерывность и разрывы функций

Опишите множества функций $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, обладающих одним из следующих свойств $\left(\varepsilon , \delta , x_{1}, x_{2} \in \mathbb {R}\right)$ :

Пусть функция $f$ определена на $\mathbb {R}$. Докажите эквивалентность свойств а)-д) функции $f$ :

1. функция $f$ непрерывна на $\mathbb {R}$;

2. множество $f^{-1}(G)=\left\{ x \in \mathbb {R} \mid f(x) \in G\right\}$ открыто для любого открытого множества $G \subset \mathbb {R}$;

3. множество $f^{-1}(F)=\left\{ x \in \mathbb {R} \mid f(x) \in F\right\}$ замкнуто для любого замкнутого множества $F \subset \mathbb {R}$;

4. для любого $c \in \mathbb {R}$ множества $f^{-1}((-\infty , c))$ и $f^{-1}((c,+\infty ))$ открыты;

5. для любого $c \in \mathbb {R}$ множества $f^{-1}((-\infty , c])$ и $f^{-1}([c,+\infty ))$ замкнуты.

6. Достаточно ли условие «для любого $c \in \mathbb {R}$ множество $f^{-1}(\left\{ c\right\} )$ замкнуто» для непрерывности функции $f$?

Докажите, что любая функция, определённая на множестве $E \subset \mathbb {R}$, имеет не более чем счётное множество точек разрыва первого рода.

Пусть $E_{л}, E_{П}$ - счётные множества, содержащиеся в $\left[0,1\right]$, $E_{л} \cap E_{\Pi }=\varnothing$. Определите на $\left[0,1\right]$ функцию, которая в точках $E_{л}$ непрерывна только слева, в точках $E_{П}$ - только справа и непрерывна в остальных точках отрезка $\left[0,1\right]$.

Пусть $D_{Л}(f)\left(D_{П}(f)\right)$ - множество точек, в которых определённая на $\mathbb {R}$ функция разрывна слева (соответственно, справа). Верно ли, что если одно из этих множеств не более чем счётно, то и другое таюже не более чем счётно?

Пусть $f_{0}$ - функция Дирихле:

Докажите, что множество точек разрыва произвольной функции, определённой на промежутке $\Delta \subset \mathbb {R}$, есть множество типа $F_{\sigma }$ (т. е. объединение последовательности замкнутых множеств). Верно ли это, если функция определена на произвольном метрическом пространстве?

Определите на $\mathbb {R}$ функцию с заданным множеством точек разрыва $E$, если:

Определите на интервале $(0,1)$ такую функцию, что любой непустой интервал $\Delta \subset (0,1)$ содержит континуум её точек непрерывности и точек разрыва.

Докажите, что функция $f$, определённая на промежутке $\langle a, b\rangle$, непрерывна тогда и только тогда, когда

1. функция обладает свойством Коши (т. е. образ каждого промежутка $\langle p, q\rangle$, содержащегося в $\langle a, b\rangle$, является промежутком) и

2. множество $f^{-1}(\left\{ y\right\} )$ замкнуто для любого $y \in \mathbb {R}$.

Докажите, что определённая на отрезке $\left[a, b\right]$ функция непрерывна тогда и только тогда, когда её график связен и замкнут.

Пусть $E \subset \mathbb {R}$, функция $f$ определена на $E$ и имеет в каждой неизолированной точке множества $E$ локальный экстремум. Докажите, что тогда множество $f(E)$ не более чем счётно. Верно ли это, если $E$ - сепарабельное метрическое пространство? произвольное метрическое пространство?

Опишите все непрерывные на отрезке $\left[a, b\right]$ функции, имеющие в каждой точке интервала $(a, b)$ локальный экстремум.

Пусть функция $f$ определена и взаимно однозначна на промежутке ($a, b$) и непрерывна в точке $c \in (a, b)$.

Пусть $f \in C(\langle a, b\rangle )$. Докажите, что функция $f$ взаимно однозначна тогда и только тогда, когда она строго монотонна.

Пусть положительная функция $f$ определена и дифференцируема на промежутке $[a,+\infty )$. Докажите, что если $\inf_{x \geqslant a} \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}>0$, то для любого $\varepsilon >0$

Докажите, что если $f \in C([0,+\infty ))$ и для любого $x>0$ существует предел $\lim_{n \rightarrow \infty } f(n x)$, то существует предел $\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x)$.

Определите на промежутке $[0,+\infty )$ функцию $f$, удовлетворяющую условиям:

1. $\lim_{n \rightarrow \infty } f(n x)=0$ для любого $x \in [0,+\infty )$;

2. $f$ ограничена на любом конечном промежутке и имеет разрывы только первого рода;

3. множество частичных пределов функции $f$ на бесконечности заполняет $\mathbb {R}$ (сравните с задачей 1.17).

Определите на промежутке $[0,+\infty )$ функцию $f$, удовлетворяющую условиям:

1. $\lim_{n \rightarrow \infty } f(n x)=0$ для любого $x \in [0,+\infty )$;

2. множество значений $f$ на любом непустом интервале $\Delta \subset [0,+\infty )$ заполняет $\mathbb {R}$ (сравните с задачей 1.17).

Докажите, что если $f \in C([0,+\infty ))$ и $f(x+h)-f(x) \rightarrow 0$ при $x \rightarrow +\infty$ для любого $h \in \mathbb {R}$, то $f(x+h)-f(x) \rightrightarrows 0$ при $x \rightarrow +\infty$ ша любом конечном промежутке и, следовательно, функция $f$ равномерно непрерывна на $[0,+\infty )$.

Пусть $\delta >0, f \in C(\left[0,1\right])$. Будем говорить, что график $f$ имеет горизонтальную хорду длины $\delta$, если найдётся такая точка $x \in [0,1-\delta ]$, что $f(x)=f(x+\delta )$. Докажите, что если $f(0)=f(1)$, то для любого $n \in \mathbb {N}$ найдётся горизонтальная хорда длины $\frac{1}{n}$. Покажите, что для хорд другой длины это, вообще говоря, неверно.

Докажите, что если $f \in C(\mathbb {R})$ и для любого $x \in \mathbb {R}$

то $f$ - линейная функция.

Будем говорить, что функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна по Чезаро в точке $x_{0} \in \mathbb {R}$, если

Опишите все функции, непрерывные по Чезаро хотя бы в одной точке.

Пусть $f(x)=\prod_{k \geqslant 0}\left(1+x^{4^{k}}\right)$ при $0 \leqslant x<1$. Докажите, что

Существует ли непрерывная на промежутке $\left[0,1\right]$ функция, у которой все множества постоянства счётны (равномощны $\mathbb {N}$)?

Всякий ли положительный многочлен от двух вещественных переменных достигает своей нижней грани на плоскости?

Пусть функция $f$ определена и раздельно непрерывна на квадрате $Q=\left[0,1\right]^{2}$. Докажите, что найдётся такая последовательность $f_{n}$ функций, непрерывных на $Q$, что $f_{n}(x, y) \rightarrow f(x, y)$ при любых $x, y \in [0,1]$ (т.е. $f$ - функция первого класса Бэра на $Q$).

Пусть функция $f$ определена и раздельно непрерывна на $\mathbb {R}^{2}$. Докажите, что если $f$ обращается в нуль на всюду плотном множестве (т.е. множестве, замыкание которого совпадает с $\mathbb {R}^{2}$), то $f \equiv 0$.