Функциональные уравнения

Опишите все функции $f \in C(X)$, удовлетворяющие уравнению $f(2 x)=f(x)$ при любом $x \in X$, в следующих случая:

Пусть функция $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ удовлетворяет уравнению $f(x+y)= =f(x)+f(y)(x, y \in \mathbb {R})$. Докажите, что

Опишите все монотонные функции $f: \mathbb {R}_{+} \rightarrow \mathbb {R}$, удовлетворяющие уравнению $f(x y)=f(x)+f(y)$ для всех $x, y>0$.

Опишите все функции $f \in C(\mathbb {R})$, удовлетворяющие уравнению $f(x y)=x f(y)+y f(x)$ при любых $x, y \in \mathbb {R}$.

Найдите все функции $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, удовлетворяющие системе уравнений

Пусть $n \in \mathbb {N}, n>1$. Опишите все такие функции $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, что $f\left(x+y^{n}\right)=f(x)+(f(y))^{n}$ при любых $x, y \in \mathbb {R}$.

Пусть функция $f \in C(\mathbb {R})$ при некотором $\sigma >0$ удовлетворяет условию $\left|f(x)+f(y)-f(x+y)\right| \leqslant \sigma$ для любых $x, y \in \mathbb {R}$. Докажите, что $f$ представима в виде суммы линейной функции и функции, не превосходящей $\sigma$ по абсолютной величине.

Пусть функция $f \in C(\mathbb {R})$ удовлетворяет условию $f(x)+f(y)= =f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ при любых $x, y \in \mathbb {R}$. Докажите, что $f(x)=a x^{2}$ при любом $x \in \mathbb {R}$, где $a=f(1)$.

Пусть функция $f \in C(\mathbb {R})$ удовлетворяет условию $f \not\equiv 0$, $f(x) f(y)=f\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)$ при любых $x, y \in \mathbb {R}$. Докажите, что $f(x)=e^{a x^{2}}$ при любом $x \in \mathbb {R}$ ($a$ - фиксированное число).

Обобщите этот результат на случай, когда

при $x, y \in \mathbb {R}$ и некотором $p>0$.

Пусть $a>b>0$. Опишите все такие функции $f$ из $C\left(\mathbb {R}_{+}\right)$, что разность $f(a x)-f(b x)$ не зависит от $x \in \mathbb {R}_{+}$.

Найдите такую непрерывную строго возрастающую функцию $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$, что $f\left(x^{2}\right)=f^{4}(x)$ при любом $x \in \mathbb {R}$.

Пусть $\bar{B}=\left\{ z \in \mathbb {C}\left| \right| z \mid \leqslant 1\right\}$. Найдите все непрерывные взаимно однозначные отображения $f$ круга $\bar{B}$ на себя, удовлетворяющие условию $f\left(z^{2}\right)=f^{2}(z)$ для всех $z \in \bar{B}$.

Докажите, что существует единственная монотонная функция $f:\left[0,1\right] \rightarrow \mathbb {R}$, удовлетворяющая условиям

при любом $x \in [0,1]$.

Найдите все функции $f \in C^{2}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$, удовлетворяющие при любых $x, y, z \in \mathbb {R}$ условиям

Для каких непрерывных функций $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ найдётся такая функция $g: \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}$, что $f(x y)=g(x, f(y))$ для всех $x, y \in \mathbb {R}$ ?

Опишите все непрерывные функции $f: \mathbb {R}^{n} \rightarrow \mathbb {R}$, удовлетворяющие условиям:

1. $\min \left\{ x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right\} \leqslant f(x) \leqslant \max \left\{ x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right\} \quad$ для всех $x=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right) \in \mathbb {R}$;

2. если $f(x)<f(y)$, то $f(x+z)<f(y+z)$ при любом $z \in \mathbb {R}^{n}$.

Какие из этих функций симметричны (значение $f(x)$ сохраняется при любых перестановках координат $x_{1}, \ldots , x_{n}$)?

Найдите общий вид характеров в группах:

Найдите общий вид непрерывных характеров в группах (аддитивных)

Непрерывную функцию $f: \mathbb {R} \rightarrow S^{1}$ будем называть характером второй степени, если она удовлетворяет функциональному уравнению ($x, y, z \in \mathbb {R}$)

Докажите, что

Опишите все непрерывные гомоморфизмы $\varphi$ группы $G$ в группу $G^{\prime }$ в следующих случаях (используются обозначения, введённые в задаче 5.19):